【中考二轮】2024年中考数学【热点·重点·难点】（江苏专用）热点01 实数（11大题型+满分技巧+限时分层检测）-专题训练.zip

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中考中，实数部分主要考察实数的有关概念、科学记数法、实数大小的比较等;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试题难度设置的偏小，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。
考向一：实数的有关概念
【题型1 正数与负数】
1．（2023•盐城）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023B．﹣2023C．12023D．0
【分析】根据负数的定义即可求得答案．
【解答】解：2023，12023，0都不是负数，
﹣2023是负数，
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2023•盐都区三模）若海平面以上2000米，记作+2000米，则海平面以下2022米，记作（ ）
A．﹣2022米B．2022米C．22米D．﹣22米
【分析】由题意可知，海平面以下用负数表示，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，
海平面以上2000米，记作+2000米，则海平面以下2022米，记作﹣2022米．
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，理解正数和负数在实际问题中的意义是解题的关键．
3．（2023•泗阳县一模）既不是正数也不是负数的数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】既不是正数也不是负数的数只有0．
【解答】解：0既不是正数也不是负数．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的知识，注意熟练掌握：既不是正数也不是负数的数只有0．
4．（2023•海州区一模）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作 ．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【解答】解：∵零上2℃记作+2℃，
∴零下3℃记作﹣3℃．
故答案为：﹣3℃．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【题型2 有理数与无理数】
1．（2023•溧阳市一模）下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣3B．πC．227D．2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A．﹣3是整数，属于有理数，不符合题意；
B．π是无理数，符合题意；
C．227是分数，是有理数，不符合题意；
D．2是整数，属于有理数，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）等有这样规律的数．
2．（2023•淮阴区三模）下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．﹣1B．0C．12D．1
【分析】正整数是指既是正数还是整数，由此即可判定求解．
【解答】解：A、﹣1是负整数，故选项错误；
B、0是非正整数，故选项错误；
C、12是分数，不是整数，错误；
D、1是正整数，故选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查正整数概念，解题主要把握既是正数还是整数两个特点，比较简单．
3．（2022•连云港）写出一个在1到3之间的无理数： ．
【分析】由于12＝1，32＝9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．
【解答】解：1到3之间的无理数如2，3，5．答案不唯一．
【点评】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．
4．（2023•雨花台区校级模拟）写出一个有理数，使这个数的绝对值等于它的倒数： ．
【分析】根据绝对值的性质和倒数的定义解答即可．
【解答】解：∵一个数的绝对值等于它的倒数，
∴这个数是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【题型3 绝对值】
1．（2023•海州区校级二模）﹣5的绝对值是（ ）
A．15B．5C．﹣5D．-15
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．（2023•射阳县校级模拟）2023的绝对值为（ ）
A．2023B．﹣2023C．12023D．-12023
【分析】根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
【解答】解：|2023|＝2023，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
3．（2022•南京）已知实数a，b，a＞b，下列结论中一定正确的是（ ）
A．|a|＞|b|B．1a＞1bC．a2＞b2D．a3＞b3
【分析】根据绝对值的定义、乘方的定义、实数大小关系解决此题．
【解答】解：A．由a＞b，如1＞﹣2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不正确，故A不符合题意．
B．由a＞b，如2＞1，但12＜11，那么1a＜1b不正确，故B不符合题意．
C．由a＞b，如1＞﹣2，但12＜（﹣2）2，那么a2＞b2不正确，故C不符合题意．
D．由a＞b，则a3＞b3，那么C正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查绝对值、乘方、实数大小比较，熟练掌握绝对值的定义、乘方的定义、实数大小关系是解决本题的关键．
【题型4 相反数】
1．（2023•苏州）有理数23的相反数是（ ）
A．-23B．32C．-32D．±23
【分析】绝对值相等，但符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0；据此即可得出答案．
【解答】解：23的相反数是-23，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义，此为基础概念，必须熟练掌握．
2．（2023•栖霞区校级三模）﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．12D．-12
【分析】利用相反数的定义判断即可．
【解答】解：﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
3．（2023•镇江）﹣100的相反数是 ．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数即可得出结论．
【解答】解：﹣100的相反数为100，
故答案为：100．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
考向二：实数大小的比较
【题型5 数轴 】
1．（2023•鼓楼区校级模拟）若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+c|+|b﹣a|﹣|b﹣c|的结果是（ ）
A．﹣2bB．﹣2a﹣2cC．﹣2b+2cD．2a﹣2b
【分析】先根据数轴上点的位置推出a+c＜0，b﹣a＜0，b﹣c＞0，然后化简绝对值即可得到答案．
【解答】解：由题意得：c＜b＜0＜a，|a|＜|b|＜|c|，
∴a+c＜0，b﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴|a+c|+|b﹣a|﹣|b﹣c|
＝﹣（a+c）﹣（b﹣a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣c﹣b+a﹣b+c
＝﹣2b，
故选：A．
【点评】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的加减法计算，整式的加减计算，化简绝对值，正确根据题意得到a+c＜0，b﹣a＜0，b﹣c＞0是解题的关键．
2．（2023•盱眙县模拟）如图，在数轴上，点A表示的数是4，将点A沿数轴向左移动a（a＞4）个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（ ）
A．0B．﹣1C．0.5D．2
【分析】判断点P所在的大概位置，估计即可．
【解答】解：∵点A表示的数是4，将点A沿数轴向左移动a（a＞4）个单位长度得到点P，
∴点P在原点左边，即点P表示的数为负数．
故选：B．
【点评】本题考查的是数轴，关键是熟悉数轴上的点左减右加的知识点．
3．（2023•建邺区二模）表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（ ）
A．a+b＞b+cB．a﹣c＞b﹣cC．ab＞bcD．ac＞bc
【分析】根据图示，可得a＜b＜c且﹣2＜a＜﹣1，﹣1＜b＜0，1＜c＜2，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得a＜b＜c且﹣2＜a＜﹣1，﹣1＜b＜0，1＜c＜2，
∵a＜c，
∴a+b＜b+c，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣c＜b﹣c，
∴选项B不符合题意；
∵a＜c，b＜0，
∴ab＞bc，
∴选项C符合题意；
∵a＜b，c＞0，
∴ac＜bc，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4．（2023•玄武区二模）数轴上表示﹣2的点与表示6的点之间的距离为 ．
【分析】用数轴上右边的数6减去左边的（﹣2），再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可求解．
【解答】解：6﹣（﹣2）＝6+2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了数轴上两点间的距离的求解，用右边的数减去左边的数进行计算即可，比较简单．
【题型6 实数比较大小的方法】
1．（2023•扬州）已知a=5，b＝2，c=3，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞cB．a＞c＞bC．a＞b＞cD．b＞c＞a
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．
【解答】解：∵3＜4＜5，
∴3＜4＜5，
即3＜2＜5，
则a＞b＞c，
故选：C．
【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2023•姑苏区三模）在10，﹣3，0，﹣12这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A．10B．﹣3C．0D．﹣12
【分析】根据绝对值的定义求出每个数的绝对值，再比较大小即可．
【解答】解：∵|10|＝10，|﹣3|＝3，|0|＝0，|﹣12|＝12，
∴0＜3＜10＜12，
∴绝对值最大的数是﹣12．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值以及有理数大小比较，解决本题的关键是明确绝对值的定义．
3．（2023•海安市校级二模）下列各数中最大的负数是（ ）
A．-13B．-12C．﹣1D．﹣3
【分析】根据有理数的大小比较即可求出．
【解答】解：因为﹣3＜﹣1＜-12＜-13，
所以最大的负数是-13，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的大小，解题的关键是熟练运用有理数的大小比较法则，本题属于基础题型．特别记住：两个负数，绝对值大的其值反而小．
4．（2023•高港区二模）下列各数中，比5大，比13小的数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵2＜5＜3，3＜13＜4，
∴比5大，比13小的数是3，
故选：C．
考向三：平方根与立方根
【题型7 平方根的概念与性质】
1．（2022•姑苏区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．212是414的平方根B．0.2是0.4的平方根
C．﹣2是﹣4的平方根D．2是4的平方根
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：A、214的平方根是±172，故A不符合题意．
B、0.4的平方根是±21010，故B不符合题意．
C、﹣4没有平方根，故C不符合题意．
D、2是4的平方根，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根与立方根，解题的关键是正确理解立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
2．（2023•无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．19D．﹣9
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解：实数9的算术平方根是3，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
3．（2024•泗洪县一模）化简162的结果是 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：162=42=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
4．（2023•宿迁）计算：4= ．
【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，即4=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
【题型8 立方根的概念与性质】
1．（2022•常州）化简：38= ．
【分析】直接利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴38=2．
故填2．
【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根．
2．（2023•灌云县校级模拟）在实数中，立方根为它本身的有 ．
【分析】根据立方根的定义计算可得．
【解答】解：在实数中，立方根为它本身的有±1和0，
故答案为：±1和0．
【点评】本题主要考查立方根，解题的关键是熟练掌握立方根的定义．
3．（2023•淮阴区三模）8的立方根是 ．
【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可得到答案．
【解答】解：∵23＝8，
∴8的立方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．
4．（2023•鼓楼区校级三模）64的平方根与立方根的和是 ．
【分析】64的平方根是±64，64的立方根是364，据此分别求出64的平方根与立方根，再把它们相加即可．
【解答】解：64的平方根是：±64=±8，
64的立方根是：364=4，
∴64的平方根与立方根的和是：﹣8+4＝﹣4或8+4＝12．
故答案为：﹣4或12．
【点评】此题主要考查了平方根、立方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
【题型9 实数的运算】
1．（2023•常州）计算：（3-1）0+2﹣1＝ ．
【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再合并即可．
【解答】解：原式＝1+12=112．
故答案为：112．
【点评】此题考查的是实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，掌握其运算法则是解决此题的关键．
2．（2023•清江浦区一模）对于实数a、b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝a2﹣ab，如4⊗2＝42﹣4×2＝8．若x⊗4＝﹣4，则实数x的值是 ．
【分析】直接利用新定义得出方程，进而计算得出答案．
【解答】解：∵x⊗4＝﹣4，
∴x2﹣4x＝﹣4，
则（x﹣2）2＝0，
解得：x1＝x2＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确运用计算公式是解题关键．
3．（2023•连云港）计算|﹣4|+（π-2）0﹣（12）﹣1．
【分析】根据绝对值的性质，零次幂和负整数指数幂进行计算即可．
【解答】解：原式＝4+1﹣2
＝5﹣2
＝3．
【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（2023•苏州）计算：|﹣2|-4+32．
【分析】根据绝对值性质，算术平方根，有理数的乘方进行计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣2+9
＝0+9
＝9．
【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
考向四：科学记数法
【题型10 绝对值大于10的科学记数法】
1．（2023•南通）2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，40个重大项目集中签约，计划总投资约41800000000元，将41800000000用科学记数法表示为（ ）
A．4.18×1011B．4.18×1010
C．0.418×1011D．418×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将41800000000用科学记数法表示为4.18×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2023•淮安）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约4900mL．数据4900用科学记数法表示为（ ）
A．0.49×104B．4.9×104C．4.9×103D．49×102
【分析】根据科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，由此可得答案．
【解答】解：4900＝4.9×103．
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2023•宿迁）港珠澳大桥被誉为“新世界七大奇迹”之一，全长55000米．将数字55000用科学记数法表示是 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故答案为：5.5×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【题型11 绝对值小于1的科学记数法】
1．（2023•高新区二模）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084＝8.4×10n，则n为（ ）
A．﹣5B．﹣6C．5D．6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6，
则n为﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（2023•泰州）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000028＝2.8×10﹣9．
故答案为：2.8×10﹣9．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2023•天宁区校级模拟）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm＝10﹣9m，则28nm用科学记数法表示是 m．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：28nm＝28×10﹣9m＝2.8×10﹣8m．
故答案为：2.8×10﹣8．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
（建议用时：15分钟）
1．（2023•邗江区二模）下列式子的运算结果是负数的是（ ）
A．（﹣1）+（﹣3）B．（﹣1）﹣（﹣3）C．（﹣1）×（﹣3）D．（﹣1）÷（﹣3）
【分析】根据有理数的四则运算法则，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、（﹣1）+（﹣3）＝﹣4，故本选项符合题意；
B、（﹣1）﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2，故本选项不符合题意；
C、（﹣1）×（﹣3）＝3，故本选项不符合题意；
D、（﹣1）÷（﹣3）=13，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
2．（2023•南京）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷．用科学记数法表示3830000是（ ）
A．3.83×106B．0.383×106C．3.83×107D．0.383×107
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：3830000＝3.83×106．
故选：A．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．（2023•徐州）如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（ ）
A．|a|B．|b|C．|c|D．|d|
【分析】结合数轴得出a，b，c，d四个数的绝对值大小进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得点A离原点距离最远，其次是D点，再次是B点，C点离原点距离最近，
则|a|＞|d|＞|b|＞|c|，
其中值最小的是|c|，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴的关系及绝对值的几何意义，离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键．
4．（2023•南京）整数a满足19＜a＜29，则a的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值．
【解答】解：∵19＜25＜29，
即19＜5＜29，
∴整数a＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．
5．（2023•射阳县一模）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＜0B．|a|＜|b|C．ab＞0D．ab＞0
【分析】根据数轴可得﹣1＜a＜0＜1＜b，结合绝对值的定义和有理数的运算法则即可求解．
【解答】解：由图可知：﹣1＜a＜0＜1＜b，
A、a+b＞0，故A不正确，不符合题意；
B、|a|＜|b|，故B正确，符合题意；
C、ab＜0，故C不正确，不符合题意；
D、ab＜0，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小和有理数的运算法则，解题的关键是掌握在数轴上左边的数小于右边的数；两数相乘（除），同号得正，异号得负；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相加．
6．（2023•镇江模拟）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（12）＝2，f（13）＝3，f（14）＝4…．
利用以上规律计算：f（2022）﹣f（12022）等于（ ）
A．2021B．2022C．12021D．12022
【分析】从已知可得，n为正整数时，f（n）＝2n，f（1n）＝n，从而可得答案．
【解答】解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044，
由（2）知f（12022）＝2022，
∴f（2022）﹣f（12022）
＝4044﹣2022
＝2022，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是读懂题意，从已知中找到规律．
7．（2023•南京）计算23×44×(18)5的结果是 ．
【分析】逆向应用积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：23×44×(18)5
=[23×43×(18)3]×4×(18)2
=(2×4×18)3×4×164
=13×4×164
=1×4×164
=116．
故答案为：116．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
8．（2023•连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b 0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）
【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用绝对值较大的数减去较小的数即可求得答案．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
则a+b＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查实数与数轴及其加法法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（2023•宝应县校级三模）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的算式是（+2）+（﹣2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是 ．
【分析】根据红色为正，黑色为负即可得出答案．
【解答】解：∵红色为正，黑色为负，
∴图2表示的算式是：（+3）+（﹣6）．
故答案为：（+3）+（﹣6）．
【点评】本题考查了正数和度数，有理数的加法，掌握红色为正，黑色为负是解题的关键．
10．（2023•新北区校级二模）计算：18+(-3)2-(π+2)0-(12)-1．
【分析】直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝32+9﹣1﹣2
＝32+6．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
11．（2023•东海县三模）计算：（﹣1）2017+|﹣5|+327．
【分析】先计算乘方、绝对值、立方根，最后计算加减．
【解答】解：（﹣1）2017+|﹣5|+327
＝﹣1+5+3
＝7．
【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能进行正确的计算．
12．（2023•姑苏区三模）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+3cd+a+bm的值．
【分析】（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可；
（2）把各自的值代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2；
（2）当m＝2时，原式=2+3×1+02=2+3+0=5；
当m＝﹣2时，原式=-2+3×1+02=-2+3+0=1，
则原式的值为5或1．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
（建议用时：20分钟）
1．（2023•常州）2022年10月31日，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场发射成功．长征五号B运载火箭可提供1078t起飞推力．已知1t起飞推力约等于10000N，则长征五号B运载火箭可提供的起飞推力约为（ ）
A．1.078×105NB．1.078×106N
C．1.078×107ND．1.078×108N
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1078×10000＝1.078×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
2．（2023•高港区二模）实数a、b在数轴上对应的点如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a+b＞0B．a＞﹣bC．a﹣b＞0D．﹣a＞b
【分析】根据图中的点的位置即可确定a、b的正负，即可判断．
【解答】解：根据数轴可知：a＜﹣1、0＜b＜1．
∴a+b＜0．故选项A错误，不符合题意；
a＜﹣b．故选项B错误，不符合题意；
a﹣b＜0．故选项C错误，不符合题意；
﹣a＞b．故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查数轴与实数对应关系、绝对值、有理数的加减法，乘除法知识，熟记运算法则是解题的关键．
3．（2022•雨花台区校级模拟）2+3的小数部分是（注：[n]表示不超过n的最大整数）（ ）
A．2+3-2B．2+3-3C．4-2-3D．[2+3]﹣2
【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，则其算术平方根越大）解决此题．
【解答】解：∵1＜1.96＜2＜2.89＜3＜4，
∴1＜1.4＜2＜2.89＜3＜2．
∴1.4＜2＜1.7＜3＜2．
∴2+3的小数部分是2+3-3．
故选：B．
【点评】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解决本题的关键．
4．（2023•贾汪区一模）已知甲地的海拔高度是200m，乙地的海拔高度是﹣80m，那么甲地比乙地高 m．
【分析】根据有理数减法的运算方法，用甲地的海拔高度减去乙地的海拔高度，求出甲地比乙地高多少即可．
【解答】解：200﹣（﹣80）＝280（m）
答：甲地比乙地高280m．
故答案为：280．
【点评】此题主要考查了有理数减法的运算方法，要熟练掌握．
5．（2023•海陵区校级模拟）若a+b-3+a2b2+1=2ab，则代数式a2b+ab2的值是 ．
【分析】先运用完全平方公式和非负数的性质求得a+b和ab的值，再将a2b+ab2变形为ab（a+b）后代入、求解．
【解答】解：∵a+b-3+a2b2+1=2ab，
∴a+b-3+（a2b2﹣2ab+1）
=a+b-3+（ab﹣1）2
＝0，
∴a+b﹣3＝0，ab﹣1＝0，
解得a+b＝3，ab＝1，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×3
＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了非负数的性质、完全平方公式、因式分解的综合运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6．（2023•宿迁四模）有2023个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么这2023个数的和是 ．
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以得到数字的变化规律，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前6个数的和是：0+1+1+0﹣1﹣1＝0，
∵2023÷6＝337…1，
∴这2023个数的和是：0×337+0＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．
7．（2023•南京模拟）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是 ．
【分析】数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．
【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．
画数轴易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x 到﹣3，﹣1，1，2这四个点的距离之和．
令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3时，y＝11，
x＝﹣1时，y＝7，
x＝1时，y＝7，
x＝2时，y＝9，
可以观察知：当﹣1≤x≤1时，由于四点分列在x两边，恒有y＝7，
当﹣3≤x＜﹣1时，7＜y≤11，
当x＜﹣3时，y＞11，
当1≤x＜2时，7≤y＜9，
当x≥2时，y≥9，
综合以上：y≥7 所以：a≤7
即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7对一切实数x恒成立．
从而a的取值范围为a≤7．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．（亭湖区校级三模）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减31元，满100元减45元，如果小宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐总费用最低可为 元．
【分析】根据满30元减12元，满60元减31元，满100元减45元，每份订单的配送费为3元，列出算式计算即可得到结论．
【解答】解：小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，
所以点餐总费用最低可为：
（30×2﹣31）+（12×2+3×2﹣12）+3×2
＝（60﹣31）+（24+6﹣12）+6
＝29+18+6
＝53（元）．
所以他点餐总费用最低可为53元．
故答案为：53．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确的理解题意是解题的关键．
9．（2023•江都区二模）计算：（12）﹣1+|3-2|+12．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2+2-3+23=4+3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2023•宝应县模拟）如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的是b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）＝ ，d（10﹣2）＝ ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（mn）＝d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
d(a3)d(a)= （a为正数），若d（2）＝0.3010，则d（4）＝ ，d（5）＝ ，d（0.08）＝ ；
（3）下表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；
（2）根据d（a3）＝d（a•a•a）＝d（a）+d（a）+d（a）即可求得d(a3)d(a)的值；
（3）通过9＝32，27＝33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5＝10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．
【解答】解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2；
故答案为：1，﹣2；
（2）d(a3)d(a)=3d(a)d(a)=3；
因为d（2）＝0.3010
故d（4）＝d（2）+d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.6990，
d（0.08）＝d（8×10﹣2）＝3d（2）+d（10﹣2）＝﹣1.0970；
故答案为：3；0.6020；0.6990；﹣1.0970．
（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）＝2d（3）≠4a﹣2b，
d（27）＝3d（3）≠6a﹣3b，
从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，
∴d（3）＝2a﹣b，
若d（5）≠a+c，则d（2）＝1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，
∴d（8）＝3d（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）＝d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，
表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d（5）＝a+c．
∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：
d（1.5）＝d（3）+d（5）﹣1＝3a﹣b+c﹣1，
d（12）＝d（3）+2d（2）＝2﹣b﹣2c．
【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．满分技巧
1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略；
2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度；
3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数.
注意：0既不是正数，也不是负数！
拓展知识：循环小数化成分数
如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．
循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数.
（1）纯循环小数化分数
从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：.
（2）混循环小数化分数
如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，.
满分技巧
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”.
绝对值图示：
绝对值的性质
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即
3.绝对值的非负性
对于任何一个有理数a，我们都有.
满分技巧
1. 求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可；
2. 求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！
满分技巧
1.有理数和无理数都可以用数轴上的点表示.
（1）正数可以用数轴上原点右边的点表示；
（2）负数可以用数轴上原点左边的点表示；
（3）0用原点表示.
2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数.
3.数轴上的点与有理数、无理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础.
4. 利用数轴比较有理数的大小
（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数.
满分技巧
比较两个实数大小的常用方法：
（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；
（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；
（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.
（5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则
（6）倒数比较法：a、b为正数，若，则；
（7）平方比较法：a、b为正数，若，则.
满分技巧
1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）；
3.负数没有平方根；
4.；
5..
6.平方根与算术平方根的区别与联系
平方根
算术平方根
区别
个数
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
一个正数的算术平方根只有一个
表示方法
非负数a的平方根表示为
非负数a的算术平方根表示为
取值范围
正数的平方根是一正一负
正数的算术平方根一定是正数
联系
包含条件
平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0.
存在条件
平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0.
PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1.
满分技巧
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
1.平方根与立方根的区别与联系
关系名称
平方根
立方根
区别
个数不同
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根
正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数
表示方法
非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写
数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写
被开方数的取值范围
在中，a是非负数，即
在中，a是任意数
联系
转化条件
都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究.
2.立方根等于本身的有0和.
3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.
4.，.
满分技巧
科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法.
如何确定科学记数法中的a和n
a是一个整数数位只有一位的数，即；
确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几.
满分技巧
一般地，用科学记数法可以将一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中，n是负整数.
用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤：
1.确定a：a是绝对值大于或等于1且小于10的数；
2.确定n：
（1）n的绝对值等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的那个0）；
（2）小数点向右移动到第一个不为0的数字后，小数点移动了几位，n的绝对值就等于几；
3.将原数用科学记数法表示为（，n是负整数）的形式.
菜品
单价（含包装费）
数量
水煮牛肉（小）
30元
1
醋溜土豆丝（小）
12元
1
豉汁排骨（小）
30元
1
手撕包菜（小）
12元
1
米饭
3元
2
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d（x）
3a﹣b+c
2a﹣b
a+c
1+a﹣b﹣c
3﹣3a﹣3c
4a﹣2b
3﹣b﹣2c
6a﹣3b