技巧04 结构不良问题解题策略（5大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc159614900" PAGEREF _Tc159614900 \h 1
\l "_Tc159614901" PAGEREF _Tc159614901 \h 1
\l "_Tc159614902" PAGEREF _Tc159614902 \h 2
\l "_Tc159614903" PAGEREF _Tc159614903 \h 4
\l "_Tc159614904" 考点一：三角函数与解三角形 PAGEREF _Tc159614904 \h 4
\l "_Tc159614905" 考点二：数列 PAGEREF _Tc159614905 \h 6
\l "_Tc159614906" 考点三：立体几何 PAGEREF _Tc159614906 \h 7
\l "_Tc159614907" 考点四：函数与导数 PAGEREF _Tc159614907 \h 10
\l "_Tc159614908" 考点五：圆锥曲线 PAGEREF _Tc159614908 \h 11
结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注．
1、灵活选用条件，“牵手”解题经验
对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系，尽量选择比较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中．因此，条件的初始判断分析还是比较重要的，良好的开端是成功的一半嘛！
2、正确辨析题设，开展合理验证
对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应从多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提出了新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程．
3、全面审视信息，“活”学结合“活”用
数学必备知识是学科理论的基本内容，是考查学生能力与素养 的有效途径和载体，更是今后生活和学习的基础．数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体．“活”的知识才是能力，“活”的能力才是素养．我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此基础上活学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题．
1．（2023•北京）已知函数，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在，上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求、的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在，上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
4．（2021•甲卷）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
6．（2021•北京）在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长．
条件①；
条件②的周长为；
条件③的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
考点一：三角函数与解三角形
【典例1-1】在①；②向量；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．
问题：在 中， 分别是内角 的对边，已知 为AC 边的中点，若________，求 BD 的长度．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【典例1-2】在①，②，③三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设的面积为S，已知______．
求角C的值；
若，点D在边AB上，CD为的平分线，的面积为，求边长a的值．
【变式1-1】设函数
若，求的值．
已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【变式1-2】已知函数
求函数的单调递增区间；
在中，分别是角的对边，，若D为BC上一点，且满足____________，求的面积
请从①；②AD为的中线，且；③AD为的角平分线，且这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
考点二：数列
【典例2-1】已知数列的前n项和为，，
求数列的通项公式；
令
①
②
③
从上面三个条件中任选一个，求数列的前n项和
【典例2-2】已知数列的前n项和为，，且
证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
若____________，求数列的前n项和
从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题．
【变式2-1】已知等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，，________，，，是否存在正整数k，使得数列的前k项和，若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．
从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答．
【变式2-2】设数列的前n项和为，已知，__________．
求数列的通项公式；
设，数列的前n项和为，证明：
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解若两个都选，则按所写的第1个评分：
①数列是以为公差的等差数列；②
考点三：立体几何
【典例3-1】如图，在四棱锥中，侧棱平面BCDE，底面四边形BCDE是矩形，，点P，M分别为棱AE，AC的中点，点F在棱BE上．
若，求证：直线平面
若，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面ADE与平面ABC的交线为直线l，l与直线CF成角的余弦值为
②二面角的余弦值为
【典例3-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，M，N分别是BC，PD的中点．
求证：平面PAB；
再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值．
条件①：；
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【变式3-1】如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．
条件①条件②条件③平面平面
求证：平面
求直线BC与平面所成角的正弦值．
【变式3-2】如图在三棱柱中，D为AC的中点，，
证明：；
若，且满足：______，______待选条件
从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值．
①三棱柱的体积为；②直线与平面所成的角的正弦值为；
③二面角的大小为；
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
考点四：函数与导数
【典例4-1】已知函数，
求函数的极值；
请在下列①②中选择一个作答注意：若选两个分别作答则按选①给分
①若恒成立，求实数a的取值范围；
②若关于x的方程有两个实根，求实数a的取值范围．
【典例4-2】已知函数
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点．
①，；
②，
【变式4-1】已知函数
讨论的单调性；
从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点．
①；
②
考点五：圆锥曲线
【典例5-1】已知双曲线的实轴长为，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为
求双曲线C的方程；
点P在第一象限，在直线上，点均在双曲线C上，且轴，M在直线AQ上，三点共线．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：①Q是AM的中点；②直线AB过定点
【典例5-2】已知双曲线C：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积．
若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②；③
【变式5-1】已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；
若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②；③注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【变式5-2】在①；②；③面积的最小值为8，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并解答下列问题．
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，_____________．
求抛物线的方程；
点C在抛物线上，的重心G在y轴上，直线AC交y轴于点点Q在点F上方记的面积分别为，求T的取值范围．