思想04 运用转化与化归的思想方法解题（4大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc159355196" 01 运用“熟悉化原则”转化化归问题 PAGEREF _Tc159355196 \h 1
\l "_Tc159355197" 02 运用“简单化原则”转化化归问题 PAGEREF _Tc159355197 \h 5
\l "_Tc159355198" 03 运用“直观化原则”转化化归问题 PAGEREF _Tc159355198 \h 9
\l "_Tc159355199" 04 运用“正难则反原则”转化化归问题 PAGEREF _Tc159355199 \h 13
01 运用“熟悉化原则”转化化归问题
1．（2024·广东清远·高三校考阶段练习）在 中， ，于D，点E在线段 上，点关于直线 的对称点分别为 ，则 的面积的最大值为 .
【答案】
【解析】在中，,由正弦定理：即，
则，所以，得，
由点关于直线的对称点分别为可知，
又 ，所以点在以A为圆心为半径的圆弧上运动（如图），
延长交圆弧于点P,
当运动至点P时,的边上的高最大，此时 ，
此时的面积取得最大值为，
故答案为：
2．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）若，且，则的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意令（），则
，
所以当，即时， 取得最大值，
所以的最大值为，
故答案为：
3．（2024·全国·高三专题练习）设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵2＝，，
∴，且，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得≤m≤2，
∴，又∵λ＝2m－2，
∴，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
4．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，是两个新建小区，到公路的垂直距离分别为，且，中国移动决定在线段两点之间找一个点P建立一个信号塔（P不与重合），当P对两地的张角越大时，信号的辐射范围越大．
①当为直角时， ；
②当 ，信号的辐射范围最大．
【答案】 1或2/2或1 /
【解析】设，
，
①当时，
，
解得或2，所以此时或；
②当时，，
由题意，张角要达到最大，，
令取负数时，
对应的是钝角，时，，
当且仅当时取等，由正切函数单调性可知，
此时张角为达到最大．
即.
故答案为：1或2；
5．（2024·江苏·统考模拟预测）已知函数，若方程在上有两个不相等的实数根，，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以，
而，
所以当时，，
在[3,4]上单调递减，当时,
∴在上,上,
所以在上单调减，上单调递增，
,
因为方程在上有两个不相等的实数根，，
可知.
由得，，
所以，
因为，
所以设，，，
则.
故答案为：
02 运用“简单化原则”转化化归问题
6．（2024·四川成都·统考模拟预测）如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（ ）
A．点P落在三棱锥内部的概率为
B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为
C．若点P在平面ACD上，且满足，则点P的轨迹长度为
D．若点P在平面ACD上，且满足，则线段PB长度为定值
【答案】D
【解析】如图示，由题意可知底面BCD,
由于E为线段BD中点，
故 ,
故P落在三棱锥内部的概率为 ,故A正确；
若直线PE与平面ABC没有交点，则P点在过点E和平面ABC平行的平面上，
如图示，设CD的中点为F,AD的中点为G,连接EF,FG,EG,
则平面EFG平面 ABC,
则点P的轨迹与平面ADC的交线即为GF,
由于△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，故 ,
则 ,故B正确；
若点P在平面ACD上，且满足，以D为原点，DC,DA为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，
则 ,设 ，则 ，
即，故P点在平面ADC上的轨迹即为该圆被平面ADC截得的圆弧 （如图示），由可得，则,
则点P的轨迹长度为,故C正确；
由题意可知 ,故平面ADC,
故 ,由于P在圆弧上，圆心为M,
故PD的长不是定值，如上图，当 位于N点时， ,
当 位于T点时，,故线段PB长度不是定值，D错误，
故选：D
7．（2024·四川泸州·统考三模）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A．6πB．30π
C．D．
【答案】D
【解析】依题意得，设底面等腰直角三角形的边长为，
三棱锥的体积
解得：
的外接圆半径为
球心到底面的距离为
，
又顶点P到底面ABC的距离为3，
顶点的轨迹是一个截面圆的圆周
当球心在底面和截面圆之间时，
球心到该截面圆的距离为，
截面圆的半径为，
顶点P的轨迹长度为；
当球心在底面和截面圆同一侧时，
球心到该截面圆的距离为，
截面圆的半径为，
顶点P的轨迹长度为；
综上所述，顶点P的轨迹的总长度为
故选：D．
8．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，解得，
由 是正三角形可知：其外接圆半径为 ，
设点S到平面ABC的距离为h，故，
解得或，
则或（舍去），
故，则 ,而 ，故 为等腰直角三角形， ，
故 为等腰直角三角形，,则 ,
又 ,故平面SCM，
取CB中点F，连接NF交CM于点O，则 ,则平面SCM ,
故平面SCM，则，
要求最小，首先需PQ最小，此时可得平面SCM，则；
再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中 位置，
当共线且时，的最小值即为的长，
由 为等腰直角三角形，
故，，
∴，即，∴，
可得，，
故选：B.
03 运用“直观化原则”转化化归问题
9．（2024·四川凉山·统考一模）已知，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】由已知可知，
所以.
故选：A
10．（2024·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于的不等式的解集为（ ）
A．{或}B．{或}
C．{或}D．{或}
【答案】C
【解析】依题意，由，是函数的两个不同的零点，
可知，是一元二次方程的两个不同的根，
由根据根与系数的关系，可得，
因为，所以，
又因为，，这三个数可适当排序后成等比数列，
所以只有为该等比数列的等比中项才满足题意，
即，
因为，，这三个数可适当排序后成等差数列，
所以只有不能为该等差数列的中项，
当为等差中项时，
根据等差中项的性质有，
当为等差中项时，
根据等差中项的性质有，
综合，可得，
所以不等式，解得或.
故选：C
11．（2024·上海徐汇·高三上海中学校考期末）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值是B．的最大值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【解析】对于C，由，
整理得，，可以看作关于的一元二次方程，
所以，
即，可以看作关于的一元二次不等式，
所以，解得，
当时，，，
所以x的最大值是，故C正确；
对于B，由，
即，
即，
令，，，则，
即，即，
由，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即，
所以
即，即，
所以，
即，
即，当且仅当，即时等号成立，
对于D，所以的最大值是，故B正确；
由，即，
所以，即，
当且仅当，时等号成立，
所以的最大值是，故D正确；
对于A，取，，，
则，
而，
又，
而，
所以，故A错误.
故选：A.
12．（2024·全国·高三对口高考）将正整数按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，……，则第60个数对是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知可知，其点列的排列规律是的和从开始，
依次是逐渐增大，其中也是依次增大，
当时，只有，1个；
当时，有，2个；
当时，有，3个；
……
当时，有，10个；
此时，共有个，
所以，当时，依次是：……，
所以第个数对为.
故选：C.
04 运用“正难则反原则”转化化归问题
13．（2024·广西梧州·高三蒙山中学校考开学考试）5个正四面体，每个四面体各面上分别标有A，B，C，D，同时掷出，连掷3次，则至少一次全部出现同一字母的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设“同时抛出一次全部都是同一数字”为事件，则，再分别表示“同时抛出一次不都是同一数字”的概率以及抛出3次都不是同一数字的概率，最后求对立事件的概率.设“同时抛出一次全部都是同一数字”为事件，
则,
则“同时抛出一次不都是同一数字”的概率是,
那么抛出3次都不是同一数字的概率是，
则至少一次全部出现同一字母的概率为.
故选：D
14．（2024·全国·高三专题练习）已知矩形, , ,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折的过程中
A．存在某个位置,使得直线和直线垂直
B．存在某个位置,使得直线和直线垂直
C．存在某个位置,使得直线和直线垂直
D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直
【答案】A
【解析】如图所示：作于，于
翻折前，易知存在一个状态使，满足，，平面，平面，故正确错误；
若和垂直，平面，平面，不成立，故错误；
若和垂直，故平面，平面，，因为 ，故不成立，故错误；
故选：
15．（2024·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.
16．（2024·全国·高三专题练习）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统，．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N1正常工作的概率为___________，系统正常工作的概率为___________．
【答案】 0.648 0.792
【解析】分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件，，．
因为事件A、B、C是相互独立的，系统N1正常工作的概率为．
系统正常工作的概率．
故答案为：0.648；0.792.