全国各地中考数学试卷分类汇编：图形的相似与位似

这是一份全国各地中考数学试卷分类汇编：图形的相似与位似，共38页。试卷主要包含了即＝0等内容，欢迎下载使用。
1．（2013湖北孝感，9，3分）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
2．（2013湖北孝感，12，3分）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）
3．（2013湖北宜昌，15，3分）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
4. .[2013湖南邵阳，14，3分] 如图(四)所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若DE=5，则BC=___________．
知识考点：三角形中位线定理.
审题要津：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
满分解答：解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线.又DE=5，则BC=2DE=10.故答案为10.
名师点评：本题考查了三角形中位线的性质，解题时注意数形结合思想的运用.
5．（2013·聊城，11，3分）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（ ）
A．a B． C． D．
考点：相似三角形的判定与性质．
分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．
解答：解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积＝1：3，
∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
6．（2013•东营，10，3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个
答案：B
解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为 SKIPIF 1 < 0 ，故x的值可以为5或 SKIPIF 1 < 0 ．两种情况。
7．（2013·济宁，11，3分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为 cm．
考点：相似三角形的应用．
分析：根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
解答：解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC∴=
设屏幕上的小树高是x，则=
解得x=18cm．故答案为：18．
点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
8. （2013•新疆（5分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（ ）
【答案】C．
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
则=，
∵DE=1，AD=2，DB=3，
∴AB=AD+DB=5，
∴BC==．
【方法指导】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据平行证明△ADE∽△ABC
9.（2013四川绵阳，10，3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ B ）
A． B． C． D．
［解析］OA=4，OB=3，AB=5，△BDH∽△BOA，
BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5，
AH=AB-BH=5-18/5=7/5，△AGH∽△ABO，
GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5 / 4，GH=21/20。
10.（2013四川内江，8，3分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
11．（2013黑龙江省哈尔滨市，9） 如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为( )．
(A) SKIPIF 1 < 0 (B) SKIPIF 1 < 0 (C) SKIPIF 1 < 0 (D)
考点：相似三角形的性质。，三角形的中位线
分析：利用相似三角形的判定和性质是解题的关键
解答：由MN是三角形的中位线，2MN=BC, MN∥BC
∴△ABC∽△AMN∴三角形的相似比是2：1，∴△ABC与△AMN的面积之比为4：1．，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选B
【解析】∵BC为圆的直径，∴∠BDC=90°,即BD⊥AC。
∵BD平分∠ABC，∴AD=DC. ∴△ABC是等腰三角形。
由题意得∠ADE=∠ABC, ∠A为公共角，∴△ADE∽△ABC, ∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴AC2=2AB·AE。∴△ADE是等腰三角形。
故只有D不一定正确。
【方法指导】本题是以圆为背景 的几何证明题，涉及到的知道点等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质。
13．（2013浙江台州，8，4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1： SKIPIF 1 < 0 B．1:2 C．1:3 D．1:4
【答案】：C．
【解析】分别取AB、AC的中点M、N，连结MN，又∵，易知AM=AE，AN=AD，易证△ADE≌△ANM（SAS），由于MN为△ABC的中位线，利用相似三角形的性质，易知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 =1:3.
【方法指导】本题考查中位线定理、证明三角形全等、相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识点，解决本题时，通过作中位线构造全等三角形。
14．（2013重庆，4，4分）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3︰4，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．4︰3 B．3︰4 C．16︰9 D．9︰16
【答案】D
【解析】解：△ABC与△DEF的相似比为3︰4，∴△ABC与△DEF的面积比为 SKIPIF 1 < 0 ，即9︰16，故选D．
【方法指导】本题考查了相似三角形的面积比与相似比的关系．相似三角形的对应边、对应高、对应周长比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方；反过来，相似图形对应边、对应高、对应周长的比都等于面积比的算术平方根．
【关键词】相似三角形 相似比
【易错警示】不要误认为面积比等于相似比的算术平方根．
15．（2013四川雅安，8，3分） 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED的值为（ ）

A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5
【答案】A
【解析】易知S△ADE∶S四边形BCED＝1∶3，S△ADE＝S△CEF，所以S△CEF∶S四边形BCED＝1∶3．
【方法指导】本题考查的知识点有：三角形中位线的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定．虽有综合性，但难度不大．
二．填空题
1．（2013白银，14，4分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．
2．（2013广西钦州，16，3分）如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积的比是 1：4 ．
3．（2013贵州安顺，15，4分）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= ．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．
解答：解：∵DE：EC=1：2
∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴BF：EF=AB：EC=3：2．
∴BF：BE=3：5．
点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．
4.（2013湖南长沙，16，3分）如图，在⊿ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则⊿ADE与⊿ABC的周长之比等于 .
答案：1:2
【详解】由于点D、E分别是AB、AC的中点，即DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC、且DE=0.5BC，所以△ADE∽△ABC，两三角形的周长比等于相似比，即为0.5:1=1：2。
5.（2013四川巴中，18，3分）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米 ．
6．（2013贵州省六盘水，13，4分）如图，添加一个条件： ∠ADE=∠ACB（答案不唯一） ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）

7．（2013山东菏泽，14，3分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ= SKIPIF 1 < 0 CE时， EP+BP=____________.
（第14题）
【答案】12．
【解析】延长BQ角射线EF于M.
∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF//BC，即EM//BC.
∴△EQM∽△EQB，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即，∴EM=12.
∵∠CBP的平分线交CE于Q，∴∠PBM=∠CBM，
∵EM//BC，∴∠EMB=∠CBM，
∴∠PBM=∠EMB，∴PB=PM，所以EP+BP=EM=12.
【方法指导】本题考查三角形相似、三角形中位线性质、角平分线意义等.本题是一道动点型问题，解题时要善于从“动中求静，联想关联知识”.
8．（2013江苏泰州，15，3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A， B的坐标分别为（3， 0），(2，-3)，则△AB' O' 是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为(一1, 0)，则点B' 的坐标为___________.
【答案】． SKIPIF 1 < 0
【解析】∵△AB' O' 是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为(一1, 0)，∴AO'=4，即AO：AO'=3：4，根据相似三角形性质，△AB' O' 与△ABO的过点B' 与B的高之比等于位似比3：4，∵B（2，-3），B' SKIPIF 1 < 0 .
【方法指导】两个位似图形对应点的连线必过位似中心，位似比等于对应高之比、等于相似比.
三．解答题
1．（2013年佛山市，17，6分）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．
若A，B，C，D，E，F都是格点，
试说明△ABC∽△DEF．
分析：利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．
解：证明：∵AC=，BC==，AB=4，DF==2，EF==2，ED=8，
∴===2，
∴△ABC∽△DEF．
点评：本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
2．（2013广东珠海，21，9分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．
3．（2013湖南娄底，25，10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
4. （2013江苏南京，27，10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个
三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为
逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，
因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与
A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。
(1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC；
 △GHO与△KFO； △NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)
(2) 如图，在锐角△ABC中，A