最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第02讲 取整函数

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第02讲 取整函数
【典型例题】
例1．（2022•广元模拟）已知函数其中表示不超过的最大整数，若直线与的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是
A．，B．C．D．
【解析】解：作出的函数图象如下：
，恒过点
若与的图象有3个交点，则必须满足：
，解得．
故选：．
例2．（2022秋•焦作期中）设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，若直线与函数的图象恰有2个不同的交点，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：当，，此时，
当，，，
当时，函数的周期为1，作出函数的图象如图：
直线过定点，
由图象可知当直线经过点时，两个函数的图象有2个交点，此时，
解得，
当直线经过点时，两个图象有3个交点，此时，解得，但此时不满足条件，
故要使直线与函数的图象恰有2个不同的交点，
则，
故选：．
例3．（2022春•平顶山期末）设，记不超过的最大整数为，例如，，令，则
A．是等差数列但不是等比数列
B．既是等差数列也是等比数列
C．是等比数列但不是等差数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
【解析】解：根据题意，，
则，，
则，即，1，，
分析可得：，成等比数列，
，不成等差数列，
故选：．
例4．（2022•浙江模拟）设表示不超过的最大整数，例如，，．设集合，集合，则表示的平面区域的面积为 ．
【解析】解：集合表示一个以原点为圆心的单位圆（即半径为1的圆）．
集合可以这样考虑，当时，，所以，的取值范围为，或，与无交集．
当时，，所以的取值范围为，或，在第三象限于相交，所以交所表示的平面区域为一个在第三象限的四分之一单位圆．面积为．
故答案为：
例5．（2022秋•上海月考）设表示不超过的最大整数，若，．给出下列命题：
①对任意的实数，都有．
②对任意的实数、，都有．
③．
④若函数，当，时，令的值域为，记集合中元素个数为，则的最小值为，其中所有真命题的序号为 ①②④ ．
【解析】解：对于①，由表示不超过的最大整数，则对任意的实数，都有，命题①正确；
对于②，记，，
则，故②正确；
对于③，，，，．
，
，
，
，
，命题③错误；
对于④，根据题意：，
．
在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，，．
，则，
当时，最小值为，命题④正确．
故答案为：①②④．
【同步练习】
1．（2022•湖南一模）设函数，表示不超过的最大整数，如，，则函数的值域为
A．B．，C．，0，D．，
【解析】解：
当
当
当
所以：当
当不等于0
所以，的值域：，
故选：．
2．（2022•陕西）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，，有
A．B．C．D．
【解析】解：对，设，则，，所以选项为假．
对，设，，，所以选项为假．
对，设，对，，，所以选项为假．
故选项为真．
故选：．
3．（2022秋•潞州区校级期中）为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上
A．为奇函数B．为偶函数C．为增函数D．值域为，
【解析】解：根据题意，，则，
则在上为周期是1的函数，
在区间，上，，则，其值域为，，正确，
同时既不是奇函数又不是偶函数，正确，在上为周期是1的函数，不是增函数，错误，
故选：．
4．（2022•陕西）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有
A．B．C．D．
【解析】解：对，设，则，，所以选项为假．
对，设，则，，所以选项为假．
对，，则，，所以选项为假．
故选项为真．
故选：．
5．已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是
A．，B．，
C．，，D．，
【解析】解：函数有4个零点，
函数与函数的图象有4个不同的交点，
作函数与函数的图象如下，
结合图象可知，，，，，
故实数的取值范围是，，；
故选：．
6．（2022•盐湖区校级二模）设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，，若有三个不同的根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：
函数的图象如下图所示：
，故函数图象一定过点
若有三个不同的根，
则与的图象有三个交点
当过点是，
当过点是，
故有三个不同的根，则实数的取值范围是
故选：．
7．（多选题）（2022秋•历城区校级月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列说法正确的有
A．是奇函数B．在上是增函数
C．是偶函数D．的值域是，
【解析】解：对于，，为奇函数，正确；
对于，在上单调递增，在上单调递减，
，在上单调递减，即在上是减函数，错误；
对于，，（1）（1），
（1），不是偶函数，错误；
对于，，
，，，，，
当，时，，
当，时，，
的值域是，，正确．
故选：．
8．（2022•漳浦县校级模拟）设，记不超过的最大整数为，令，若已知给出下列结论：（1）（2）；（3）（4）（5）．其中正确的结论是 （1）（3） ．
【解析】解：因为不超过的最大整数为，令，
所以，
对于①，，所以①对；
对于②，因，所以，所以②错；
对于③，所以③对；
对于④，因为，所以，所以④不对，
对于⑤，，所以⑤错；
故答案为（1）（3）
9．（2022•开化县校级模拟）设为不超过的最大整数，如，．设集合，，，则所表示的平面区域的面积是 ．
【解析】解：由题意知：
集合表示以原点为圆心，以1为半径的单位圆，
表示坐标轴上的点，
其中轴上是，的线段长，轴上也是，的线段长；
表示坐标轴上的点，
其中轴上是，的线段长，轴上也是，的线段长，
所表示的平面区域是以1为半径的单位圆，
所表示的平面区域的面积是：
．
故答案为：．
10．（2022春•宜春期末）已知表示不超过实数的最大整数，如：，，．定义，给出如下命题：
①使成立的的取值范围是；
②函数的定义域为，值域为，；
③；
④设函数，则函数，，的不同零点有7个．
其中正确的命题的序号为 ①③④ ．
【解析】解：对于①，有，解得，故①正确
对于②，，函数的值域是，，故②错误；
对于③，，，，
所以；，故③正确
对于④当时，，当，则，
当，则，
当，则
当，则，则，
当，则，则，
当，则，则，
令，则，在同一个坐标系中，画出函数和
的图象，显然有7个交点，故④正确．
故其中正确的命题的序号为①③④．
故答案为：①③④
11．设，记不超过的最大整数为，令，则以，，为前三项的数列的通项公式 ．
【解析】解：，
，
，
，，
是以为首项，以为公比的等比数列，
．
故答案为：．
12．（2022•武侯区校级开学）设，定义表示不超过的最大整数，如，等，则称为高斯函数，又称取整函数．现令，设函数的零点个数为，函数的零点个数为，则的和为 127 ．
【解析】解：由得．
则或，
即或．
即或．
若，，
当时，，由，解得，即，此时有16个零点，
若，，
当时，不成立，由，解得，此时有16个零点，
综上的零点个数为个．
，
，由得，分别作出函数和的图象如图：
由图象可知当和时，函数和没有交点，
但时，函数和在每一个区间上只有一个交点，
，
的零点个数为个．
故，．
．
故答案为：127．
13．（2022秋•渭滨区校级月考）设是不大于的最大整数．若函数存在最大值，则正实数的取值范围是 ．
【解析】解：记为实数的小数部分，即．
当时，，因此，是以1为周期的周期函数，
因此当，时，，
当，时，，在处达到最大值．
当时，，类似可知没有最大值．
当时，若，，
若，，．
于是当时，有最大值；当时，没有最大值．
综上知时，有最大值，
故答案为：．
14．（2022秋•仙游县校级月考）（附加题）
（1）设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，．关于实数的方程的全部实根之和等于 ．
（2）若表示不大于的最大整数，方程的所有解为 ．
【解析】解：（1）设，则，，
于是原方程等价于，即，
从而，即或．
相应的为．于是所有实根之和为
（2），，
，，；
，，与矛盾；
，，与矛盾；
，，与矛盾；
，，；
，，；
，，
综上知，方程的所有解为，
故答案为：（1）；（2），
15．（2022秋•白云区校级期中）函数的函数值表示不超过的最大整数，如，，已知．
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）记函数，在给出的坐标系中作出函数的图象；
（Ⅲ）若方程且有且仅有一个实根，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）由题意，
①当时，；②当时，；
③当时，；④当时，；
所以．
（Ⅱ），图象如图所示：
（Ⅲ）方程仅有一根等价于与图象仅有一个交点，
由图象可知时，（1），解得；
时，（2）或，解得或．
综上，的范围是，，，．