最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第03讲 多元问题的最值处理技巧

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第03讲 多元问题的最值处理技巧
【典型例题】
例1．（2022•唐山二模）已知正数、、满足，则的最小值为
A．3B．C．4D．
【解析】解：由题意可得，，
，
当且仅当即时取等号，
又，，
当且仅当时取等号，，
，，
，
当且仅当且时取等号，
的最小值为4
故选：．
例2．（2022•浙江开学）已知、、、均为正实数，且，则的最小值为
A．3B．C．D．
【解析】解：由题意可得，
当且仅当且且时，取得最小值，
故选：．
例3．（2022•泸州模拟）已知实数，，满足，，则的取值范围是
A．，B．C．D．，
【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
例4．（2022春•洛阳期中）若实数，，，满足，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：，
点是曲线上的点，是直线上的点，
要使最小，当且仅当过曲线上的点且与平行时．
，
由得，；由得．
当时，取得极小值．
由，可得（负值舍去）
点到直线的距离为，
故选：．
例5．（2022•江苏模拟）已知实数，，满足，，则的取值范围是 ， ．
【解析】解：，，
，得；
又，，
即，整理得，；
故答案为，．
例6．（2022秋•海淀区校级期末）已知实数，，满足，，则的取值范围是 ．
【解析】解：由得，，由可得，
由柯西不等式可得，
即，化简得，解得，
因此的取值范围为，
故答案为：．
【同步练习】
1．（2022秋•普陀区校级期末）若，，是正实数，且，则的最小值是
A．4B．3C．2D．1
【解析】解：，
，
，
当且仅当时取“”．
故选：．
2．（2022秋•金东区校级期中）已知正数，，满足，则的最小值是
A．B．C．D．
【解析】解：，，（当且仅当时取等号），
，
，
又因为已知正数，，满足，
所以．
即，
故，．
令，．
，
可得：，此时函数递减；，，此时函数递增．
故，
故选：．
3．（2022•河东区二模）已知正实数，，满足，当取最小值时，的最大值为
A．2B．C．D．
【解析】解：正实数，，满足，
可得，
，
当且仅当取得等号，
则时，取得最小值，
且，
当时，有最大值为．
故选：．
4．（2022秋•浙江月考）设实数，，满足，若的最大值和最小值分别为，，则的值为
A．9B．C．D．19
【解析】解：由题意，，
，
令，
则；
可化为，
故，
即，，
即，
则；
即，
则，；
故；
故选：．
5．（2022•山东）设正实数，，满足．则当取得最大值时，的最大值为
A．0B．1C．D．3
【解析】解：，
，又，，均为正实数，
（当且仅当时取“” ，
，此时，．
，
，当且仅当时取得“”，满足题意．
的最大值为1．
故选：．
6．（2022•重庆）若，，且，则的最小值是
A．B．3C．2D．
【解析】解：，
当且仅当时取等号，
故选：．
7．（2022春•武邑县校级期末）设，，，则的最小值为
A．2B．4C．D．
【解析】解：因为，，，
所以，
由基本不等式，得（当且仅当时，即，时，等号成立）
所以，，故，
故的最小值为．
故选：．
8．（2022秋•杨浦区校级期末）设，则取得最小值时，的值为
A．B．2C．4D．
【解析】解：法一：，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
，
故选：．
法二：
，
当且仅当，，，即，，时取等号，
故取得最小值时，的值为．．
故选：．
9．（2022•岳普湖县一模）已知实数，，满足，，则的最小值是
A．B．C．D．1
【解析】解：，，
，，，
，
又，，解得，
令，
则，
则当，，时，，当时，，
则在，、，上单调递增，在上单调递减，
且，，
故的最小值是，
故选：．
10．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则
A．B．C．D．
【解析】解：方法一：由可得，，
令，则，
，，故错，对，
，，
故对，错，
方法二：对于，，由可得，，即，
，，故错，对，
对于，，由得，，
，故对；
，，
，故错误．
故选：．
11．（多选题）（2022秋•番禺区校级期中）已知，，且，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，，
，
当且仅当时等号成立，
，故正确；
，，，
，
，
，故正确；
，
当且仅当，即，时等号成立，故正确；
，，，当且仅当时等号成立，
，
，故不正确．
故选：．
12．（2022•浙江）设，为实数，若，则的最大值是 ．
【解析】解：
，
令则，
，
即，
△，
解得，
的最大值是，当，时，取得等号．
故答案为：．
13．（2022秋•沧州月考）已知实数，，满足，，则的取值范围是 ， ．
【解析】解：，，
，，
，
△，，
的取值范围是，．
故答案为：，．
14．（2022秋•徐汇区校级期中）已知实数，且满足：，，则的取值范围是 ．
【解析】解：，，
，，
，
，
，
即，
，
，
下面精确的下限，
假设，由，由
，，
所以，，，
因此，矛盾，故，所以，
综上可得，
故答案为：．
15．（2022•盐城二模）若实数、、、满足，则的最小值为 ．
【解析】解：，
点是曲线上的点，是直线上的点，
．
要使最小，当且仅当过曲线上的点且与线平行时．
，
由得，；由得．
当时，取得极小值，为1．
作图如下：
，直线的斜率，
，
或（由于，故舍去）．
．
设点到直线的距离为，则．
，
的最小值为．
故答案为：．
16．对任意的，，的最小值为 3 ；若正实数，，满足，则的最大值是 ．
【解析】解：①对任意，，
，
当且仅当，，，成立，
的最小值为3；
②正实数，，满足，
，
当且仅当时，等号成立，
，
的最大值为．
故答案为：3；．
17．已知正实数，，满足，当取最大值时，的最小值为 ．
【解析】解：，
，
，
，
，当且仅当时取等号，
，
即，即，
，当且仅当时取等号
故答案为：
18．（2022•湖北校级二模）已知正实数，，满足，则的最小值为 ．
【解析】解：，，满足，
，
又
，，为正实数，
即，当且仅当时等号成立
的最小值为．
故答案为
19．（2022•淮安一模）已知正数，，满足，则的最小值为 ．
【解析】解：正数，，满足，
当且仅当时取等号．
故答案为：
20．（2022春•梅河口市校级期中）已知，，且，则的最小值为 ．
【解析】解：因为，，且，
则，
当且仅当，即且，此时，或，时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
21．（2022•黄冈模拟）设正实数，，满足，则的最小值是 7 ．
【解析】解：正实数，，满足，
令，，且．
，
由可得．
．
，
令，解得．
当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．因此当时，函数取得最小值，．
的最小值是7．
故答案为：7．
22．（2022•江苏一模）若正实数，，满足，，则的最大值为 ．
【解析】解：，，，
，
，
，
，
的最大值．
故答案为：
23．（2022秋•越城区校级期末）已知实数，，，，如果，，是公差为2的等差数列，则的最小值为 ．
【解析】解：实数，，，，，，是公差为2的等差数列，
，
的最小值为．
故答案为：．
24．（2022•宁波模拟）已知，均为正数，且，，则的最小值为 ．
【解析】解：因为，
所以，
当且仅当即、时取等号，
所以，
当且仅当时取等号，
故答案为：．
25．已知，，不同时为0，求的最大值．
【解析】解：要求最大值，可设，，．
，
，
，
当且仅当时，等号成立，
故所求最大值为．
26．（2022秋•枣阳市校级月考）（1）已知，求的最小值；
（2）若、，，求的最大值．
【解析】解：（1）因为，则，
又，当且仅当，即时，取等号，故最小值为9，
（2），当且仅当时取等号，
，
又，当且仅当，即时，取等号，
联立方程组，得，，
，当且仅当，时取等号，
故最大值为．