最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第12讲 零点问题、隐零点问题与零点赋值问题

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第12讲 零点问题、隐零点问题与零点赋值问题
【典型例题】
例1．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．
例2．已知．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）当时，研究函数在区间上的单调性；
（3）是否存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
例3．已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极小值点，且．
例4．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）证明函数存在唯一的极大值点，且．
例5．已知函数，为的导函数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）在区间存在唯一极小值点；
（3）有且只有一个零点．
例6．已知函数，，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若曲线在点，处的切线与曲线在点，处的切线平行，证明：；
（Ⅲ）证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
例7．已知，函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）证明函数存在唯一的极值点；
（3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围．
例8．已知函数，且．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）证明：存在唯一的极大值点，且．
例9．已知实数，函数．
（1）若函数在中有极值，求实数的取值范围；
（2）若函数有唯一的零点，求证：．
（参考数据：，．
【同步练习】
一．解答题
1．已知函数，其中为非零常数．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）设，且，证明：当时，函数在上恰有两个极值点．
2．已知函数，其中为大于零的常数．
（1）若函数在区间，内单调递增，求的取值范围；
（2）求函数在区间，上的最小值；
（3）对于函数，若存在，，使不等式成立，求实数的取值范围．
3．设，已知函数，．
（Ⅰ）当时，证明：当时，；
（Ⅱ）当时，证明：函数有唯一零点．
4．设函数，其中为自然对数的底数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，求证：无零点．
5．设函数，其中为自然对数的底数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，，求证：无零点．
6．已知函数．
（1）若函数，求函数的单调区间；
（2）若直线为曲线在点，处的切线，直线与曲线相交于点，，且，求实数的取值范围．
7．已知函数
（1）若在区间上存在极值，求实数的范围；
（2）若在区间上的极小值等于0，求实数的值；
（3）令，．曲线与直线交于，，，两点，求证：．
8．设函数，曲线在处的切线与轴交于点．
（1）求；
（2）若当，时，，记符合条件的的最大整数值、最小整数值分别为，，求．
注：为自然对数的底数．
9．已知函数，．
（1）当时，证明：；
（2）设函数，若有极值，且极值为正数，求实数的取值范围．
10．已知曲线（其中为自然对数的底数）在处切线方程为．
（Ⅰ）求，值；
（Ⅱ）证明：存在唯一的极大值点，且．
11．已知曲线（其中为自然对数的底数）在处的切线方程为．
（1）求，值；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
12．设函数
（1）当时，求函数在点，（1）处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点，
①求实数的范围；
②证明：．
13．已知函数．
（1）当时，求函数，，的最大值；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数存在两个极值点，，，且，若，求证：．
14．已知函数，恰好有两个极值点，．
（Ⅰ）求证：存在实数，使；
（Ⅱ）求证：．
15．已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间．
（2）若函数有两个极值点、，且，证明：．
16．已知函数，其中为自然对数的底数，
（1）若对，恒成立，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，
（ⅰ）证明：有三个根，，；
（ⅱ）设，请从以下不等式中任选一个进行证明：
①；
②．
．参考数据：，．
17．设函数，为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当，时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间，内的零点，其中，证明：．
18．已知，．
（1）若函数，，求的单调区间；
（2）若过点能作函数的两条切线，求实数的取值范围；
（3）设，且，求证：．
19．设为正实数，函数存在零点，，且存在极值点与．
（1）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）求的取值范围，并证明：．
20．已知函数．
（1）当时，判断并证明函数的奇偶性；
（2）设．
①求实数的取值范围，并将表示为的函数；
②若，均有，求实数的取值范围．
21．已知函数．
（1）当，时，判断函数在区间内的单调性；
（2）已知曲线在点，处的切线方程为．判断方程在区间上解的个数，并说明理由．
22．已知函数．
（Ⅰ）时，试判断的单调性并给予证明；
（Ⅱ）若有两个极值点，．
求实数的取值范围；
证明：．（注是自然对数的底数）
23．已知函数有两个不同的极值点，．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）记函数的导函数为．若函数有两个不同的零点，，函数有两个不同的零点，，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
（注是自然对数的底数）
24．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，判断函数的零点个数．
25．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，；
（3）若函数有两个零点，，比较与0的大小，并证明你的结论．
26．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明．
27．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，，证明：．
28．已知函数在时取到极大值．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）记．设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
29．已知函数．
（Ⅰ）若，求证：当时，；
（Ⅱ）讨论方程的根的个数．
30．已知函数，．
（1）当时，求函数 的极值；
（2）若存在与函数， 的图象都相切的直线，求实数的取值范围．
31．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．