最新高考数学二轮复习（新高考）【专题突破精练】 第25讲 数列不等式的经典放缩问题

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第25讲 数列不等式的经典放缩问题
【题型归纳目录】
题型一：裂项放缩
题型二：等比放缩
题型三：通项放缩
题型四：函数放缩
【典型例题】
题型一：裂项放缩
例1．记为的前项和，已知，是公差为2的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解析】解：（1），是公差为2的等差数列，
，
，
即，
当时，，
即，
，又，
数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
，则．
（2）证明：由（1）得：，
，
，
．
例2．设数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）记，，求证：．
【解析】解：（Ⅰ）当时，．因为，所以，解得
（Ⅱ）当时
所以①，
②，
由②①得：，
所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列．
所以．
（Ⅲ）当时，；
当时，
，
所以．
例3．已知函数（其中、且、为常数）的图象经过点，．，，，，，是函数图象上的点，，，，，，是轴正半轴上的点．
（1）求的解析式；
（2）设为坐标原点，△，△，，△，是一系列正三角形，记它们的边长是，，，，，，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，数列满足，记的前项和为，证明：．
【解析】解：（1）由题意可得，，
解得，即有；
（2）由题意可得，，，
代入函数，可得，解得，
又，，
代入函数，可得，，①
将换成，可得，②
①②，可得．
即有．
化简可得，，
即有；
（3）证明：，
③
④
③④，可得
，
即有．
变式1．已知数列与满足：，且为正项等比数列，，．
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，为数列的前项和，证明：．
【解析】解：（1）由①
时，②
①②可得：，
，，设公比为，
，
，
．
（2）证明：由已知：．
变式2．已知正项数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，证明：．
【解析】（1）解：根据题意，在正项数列中，
，
，
①，
当时，②；
当时，③，
①③得，④，
②不满足④，
数列的通项公式即为：．
（2）证明：根据题意，由（1）可得，，
则当时，，
．
从而得证．
变式3．已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令的前项和为，求证：．
【解析】解：（1）由，，
可得，解得，
又对两边取倒数，可得，
则是首项为1，公差为2的等差数列，
可得，
所以；
（2）证明：由（1）可得，
所以，
因为，所以，
则．
变式4．已知数列满足且，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）解：因为，
所以，
两式相减得，
当时，，又，所以，，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）证明：，
所以，
由，得，得，得，得，
所以，
综上所述，．
题型二：等比放缩
例4．记为的前项和，已知，是公差为2的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解析】解：（1），是公差为2的等差数列，
，
，
即，
当时，，
即，
，又，
数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
，则．
（2）证明：由（1）得：，
，
，
．
例5．记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）求证：对任意的，．
【解析】（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，，
因为，，
则，
解得或（舍去），
所以；
（Ⅱ）证明：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，
故
，
所以．
例6．已知数列满足，．
（1）求的值；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．
【解析】（1）解：由，解得（2分）
（2）证明：，
，
，（6分）
数列是以3为首项，公比为的等比数列．（7分）
（3）解：由（2）得．（8分）
，
，（10分）
．（12分）
．（14分）
变式5．定义数列如下：，，，求证：
（Ⅰ）对于恒有成立；
（Ⅱ）．
【解析】证明：（Ⅰ），，，
，，
由归纳法可知（4分）
（Ⅱ）由，得：，
以上各式两边分别相乘得：
，
又，（7分）
又，
，
，
又，
，
．（15分）
变式6．设数列的前项和为，满足，，且，，成等差数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
【解析】解：（1）在中，
令得：，
令得：，
解得：，
又
解得
（2）由，①
，②
①②得：，
又，也满足，
所以对成立
，又，，
，
；
（3），
，
．
变式7．已知数列满足，，．
（1）求证：当时，和均为等比数列；
（2）求证：当为奇数时，；
（3）求证：．
【解析】解：（1）由得：
，
且，．
当时，是首项为15公比为3的等比数列，
是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，
以上两式相减得．
当为奇数时，
，
．
（3）由（2）知，当为奇数时，；
当为偶数时，
当为奇数时，
题型三：通项放缩
例7．已知函数．
（1）求的值；
（2）已知数列满足，，求证：是等差数列；
（3）求证：．
【解析】解：（1）函数，
当时，
．
即有
；
（2）证明：，，
，
，
则有是首项为1，公差为2的等差数列；
（3）证明：由（2）可得，，
即有，
运用数学归纳法证明．
当时，成立；
假设时，，
当时，，
要证，
即证，
即证，
上式显然成立．
即有当时，成立，
则有．
例8．已知数列的首项为1，各项均为正数，其前项和为，．
（1）求，的值；
（2）求证：数列为等差数列；
（3）设数列满足，，求证：．
【解析】解：（1）数列的首项为1，各项均为正数，其前项和为，．
当时，，解得，
当时，，整理得．
（2）证明：由于①，
当时，②，
①②整理得，
去分母化简得：，
所以数列为等差数列；
（3）证明：数列满足，③，
当时，，又，故，
由③知，④，
由③④得，，即，
依题意，，故，
当时，
，
当时，也成立．
综上，．
例9．已知数列满足，．
求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
令，，设数列的前项和为，求证：当时，．
【解析】证明：由题意知，，
又因为，
所以数列是首项为1、公比为的等比数列，
所以，故，；
由可知，
则
，
，
两式相减，得：
，
所以，
当时，，
所以．
变式8．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）解：由题意，，
，，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
，
，．
（2）证明：由（1），得，
则
．
不等式对于恒成立．
变式9．已知正项数列的首项，其前项和为，且数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，证明：．
【解析】解：由得，两式相减得，
由，，
数列的偶数项和奇数项分别是分差为2的等差数，当为奇数时，，当为偶数时，，
综上所述：，；
证明：由，，，
两式相减得，适合上式，
，则，
那么，
，
，
．
变式10．已知正项数列满足，．
（1）求的值；
（2）证明：对任意实数，；
（3）记数列的前项和为，证明：对任意，．
【解析】解：（1），，
即有，
解得（负的舍去）；
（2）证明：，
可得，
即有，
由于正项数列，
即有，，
则有对任意实数，；
（3）由（1）可得对任意实数，；
即为，可得，，
，，
前项和为
，
又，
即有，
则，数列递减，
即有
．
则有对任意，．
变式11．已知正项数列，其前项和为，且对任意，与1的等差中项等于与1的等比中项数列满足且
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【解析】解：（1）正项数列，其前项和为，且对任意，与1的等差中项等于与1的等比中项，所以，整理得，所以当时，，
所以两式相减得，所以（常数），
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
所以（首项符合通项），故．
证明：（2）数列满足且，
所以当时，，故，
所以
．
变式12．已知正项数列，其前项和为，且对任意的，与1的等差中项等于与1的等比中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足．，求证：
【解析】解：（Ⅰ）与1的等差中项等于与1的等比中项．
，
即，
当时，，解得．
当时，，
化为：，
数列是正项数列，
．
数列是等差数列，公差为2，首项为1．
．
（Ⅱ）证明：．，即，
当时，，
两式相减可得，
可得，
则
．
当时，左边，右边，不等式成立．
综上可得．
题型四：函数放缩
例10．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围；
（3）设，证明：．
【解析】解：（1）当时，，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）令，，
因为，
所以，
又，
所以在上不能单调递增，
否则存在上使得，
所以当时，，
，且，
令，
，
又，，
①当，即时，
存在满足当时，，即，与矛盾，
②当时，，
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，
所以，
所以，满足题意，
所以实数的取值范围为，．
（3）证明：令，
则，
所以（1），即，
令，
可得，
即，
所以，
所以
，得证．
例11．已知且函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
【解析】解：（1）当时，，
所以，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），，，
则（1），
，
①当时，有，
所以当，，在，上单调递减，
所以当时，（1），与在，上恒成立矛盾，
②当时，，此时在，上成立，
所以在，上是增函数，
所以（1），
即在，上恒成立，
综上所述，的取值范围为，．
（3）证明：由（2）知当时，在，上恒成立，
即，
当时，有，
所以当时，，
令，则有，
即，，2，，
将上述个不等式依次相加得：
，
整理得，．
例12．已知函数，，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式在，时恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：．
【解析】解：（1）求导数可得，
当时，，函数在，上单调递增；
当时，由可得，
函数在，上单调递增，在，上单调递减；
（2）由（1）知当时，函数在，上单调递增，
，即不等式在，时恒成立，
当时，函数在，上单调递减，
存在，使得，
即不等式不成立，
综上可知实数的取值范围为，；
（3）由（2）得当时，不等式在时恒成立，
即，，．
即，
，，，，
将上述式子相加可得
原不等式得证．
变式13．已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式在，时恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：．
【解析】解：（1）因为所以，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增．
（2）求导数可得，
当时，，函数在，上单调递增；
当时，由可得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
①当时，函数在，上单调递增，
，即不等式，在，时恒成立，
②当时，函数在上单调递减，
存在使得，所以不合题意，舍去．
综上可知实数的取值范围为，；
（3）由（2）得当时，不等式在时恒成立，
即，，．
即，
，
，
，
，
将上述式子相加可得，
原不等式得证．
变式14．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
【解析】解：（1）因为函数，，
所以，且（1）．
所以当时恒成立，此时在上单调递增，
故当时，（1），这与矛盾；
当时令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，即（a），
若，则（a）（1），从而与矛盾；
所以；
（2）由（1）可知当时，即，
所以当且仅当时取等号，
所以，．
，
即；
因为为整数，且对于任意正整数，成立，
当时，，
所以的最小值为3．
变式15．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，．
（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
【解析】解：（1）因为，
所以，
由对任意的恒成立，即，
由，
当时，，的单调递增区间为，
所以时，，
所以不满足题意．
当时，由，得，
时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的最小值为．
设（a），所以（a），①
因为（a），
令（a），得，
所以（a）在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以（a）（1），②
由①②得（a），则．
（2）由（1）知，即，
令，，1，2，3，，，则，
所以，
所以
，
所以，
又，
所以的最小值为2．
变式16．已知函数，且函数在点，（1）处的切线为轴．
（1）当时，证明：；
（2）已知，，求证：．
【解析】证明：（1）函数的定义域是，
，
由，得，解得：，
故，
故，
当时，，当时，，
故在递增，在递减，
故（1），
即，
化简得，（当且仅当时“”成立），
故当时，由，得，
由，得，
故当时，有；
（2）由（1）可知，取，2，3，，，将所得各式相加得：
，
故．
变式17．已知函数为自然对数的底数），其中．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）证明：．
【解析】解：（1），
当时，，在上单调递增；
当时，由得，．
当时，，
当时，．
在和上单调递增，
在上单调递减．（5分）
（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递增，
在上单调递增．
当且时，，即，
当且时，，
．
（12分）
变式18．（1）已知函数．
（ⅰ）试讨论函数的单调性；
（ⅱ）若，为函数的两个极值点，证明：．
（2）证明：为自然对数的底数，，．
【解析】解：（1）函数，则，，
令，则△，
当△，即时，，故在上单调递增；
当△，即或时，
当时，，恒成立，故在上单调递增；
当时，令，解得，，
列表如下：
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，
在上单调递减；
证明：由（1）可知，当时才有两个极值点，，且，，
不妨设，
则，
要证，即证，
即证，即证，
设，
由（1）可知，当时，在上单调递增，
又，所以在上单调递减，
所以（1），所以，
故原不等式得证；
（2）证明：因为，
所以，即，
故，
所以．
变式19．已知函数，．
（1）试讨论的单调性；
（2）若对任意，均有，求的取值范围；
（3）求证：．
【解析】解：（1），（1分）
若，则，在上单调递减；（2分）
若，由，得当时，，在上单调递增，（3分）
当，时，，在，上单调递减．（4分）
综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在，上单调递减；
（2）当时，，符合题意；（5分）
当时，由（1）知在上单调递减，
而，不合题意；（6分）
当时，，即，得；（7分）
综上，实数的取值范围为；（8分）
（3）证明：由（2）知，当时，，即，（9分）
所以，
所以，（11分）
所以，得证．（12分）
变式20．已知函数的图象在点，（1）处的切线方程为．
（1）试用表示出，；
（2）若在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：．
【解析】解：（1），
（1）．
又点，（1）在切线上，
，
．
（2），
在，上恒成立，
设，则在，上恒成立，
，又，
而当时，．
当即时，
在，上恒成立，
；
当即时，
时；
且时，，
当时，；
则①，
又与①矛盾，不符题意，故舍．
综上所述，的取值范围为：，．
（3）证明：由（2）可知时，在，上恒成立，
则当时，在，上恒成立，
令依次取时，
则有，，
，
由同向不等式可加性可得
，
即，
也即，
也即．
解法二：①当时左边，右边，不等式成立；
②假设时，不等式成立，就是．
那么
．
由（2）知：当时，有
令有
令得
这就是说，当时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立．
变式21．已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）求证：．
【解析】解：（1），
，，
：①当时，．
故的单调增区间是；单调减区间是．
②当时，令，得，或．
当时，与的情况如下：
当时，令，得，或．
当时，与的情况如下：
所以，的单调增区间是；单调减区间是和．
当时，的单调减区间是．
当时，，与的情况如下：
所以，的单调增区间是，；单调减区间是和．
③当时，的单调增区间是；单调减区间是．
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是和，；
当时，的减区间是；
当时，的增区间是，；减区间是和．
（3）证明：
．
变式22．已知函数且．
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：．
【解析】解：（1），
，
①当时，若，则，若，，
的单调递增区间，单调递减区间；
②当时，若，则，若，，
的单调递减区间，单调递增区间；
（2）令，则，
所以（1），
由（1）可知在，单调递减，故（1），（当时取等号），
所以，即，
从而有，
即，
．
变式23．已知函数，，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）求证：．
【解析】解：（1），是等比数列，又，数列的通项公式为：．
（2）由（1）知，，
．
（3）由函数，得，又，，
递减，（1），
即，也就是，
于是：，
即，
故．
变式24．已知函数
（1）若函数为上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）求证：．
【解析】解：（1），，
函数为上的单调函数，
恒成立，或恒成立，
，不能恒成立，
而，时，为单调递减函数，
综上：；
（2）由（1）得时，在上是减函数，
，即，，
，
，，，
令，，则，
在上是减函数，
，即，，
，，，，
，
即，
．，
，
0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增
，
，
0
0
，
，
0
0