最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题08 幂函数与二次函数

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专题08 幂函数与二次函数
【考点预测】
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
O
图2-9
O
图2-8
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
时，； = 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【方法技巧与总结】
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的定义及其图像
题型二：幂函数性质的综合应用
题型三：二次方程的实根分布及条件
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【典例例题】在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根
题型一：幂函数的定义及其图像
例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数为幂函数求出，再验证单调性可得.
【详解】
因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，
所以.
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p、q的取值情况.
【详解】
因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，
又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.
故选：D
例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
点坐标代入幂函数解析式，求得，然后计算函数值．
【详解】
点A（4，2）代入幂函数解得，，
故答案为：．
例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围.
【详解】
设，
则，
所以，
在上递增，且为奇函数，
所以.
故答案为：例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
【答案】α越大函数增长越快
【解析】
【分析】
根据幂函数的图象与性质确定结论．
【详解】
解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．
从上面任取一个即可得出答案．
故答案为：α越大函数增长越快．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析.
【解析】
（1）由题意可得：，解不等式结合即可求解；
（2）由（1）可得，分别讨论、、且时奇偶性即可求解.
【详解】
（1）因为幂函数（）在是严格减函数，
所以，即 ，解得：，
因为，所以，当时，，此时为奇函数，不符合题意；
当时，，此时为偶函数，符合题意；
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
所以，
（2），
令
当时，，，此时是奇函数，
当时，，此时是偶函数，
当且时，，，
，，此时是非奇非偶函数函数.
【方法技巧与总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
题型二：幂函数性质的综合应用
例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a，b满足，，则（ ）
A．-2B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知构造函数，利用，，及函数的单调性、奇偶性即可得出结果.
【详解】
构建函数，则为奇函数，且在上单调递增.
由，，
得，，所以.
故选：B.
例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】对于A、B：作出和在第一象限的图像判断出：在上，有，在上，有，在上，有.即可判断A、B；对于C：判断出, ，即可判断；对于D：判断出，，即可判断.
【详解】
对于A、B：
作出和在第一象限的图像如图所示：
其中的图像用虚线表示，的图像用虚线表示.
可得，在上，有，在上，有，在上，有.
因为，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
对于C：,而，所以.故C错误；
对于D：，而，所以.故D错误.
故选：A
例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析函数的性质，作出图象，数形结合即可求解作答.
【详解】
当时，函数是增函数，函数值集合是，当时，是减函数，函数值集合是，
关于的方程有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，
在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根，
所以实数的取值范围为.
故选：A
例10．（2022·浙江·模拟预测）已知，函数的图象不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论，与三种情况下函数的单调性情况，从而判断.
【详解】
当时，，此时函数为一条射线，且函数在上为增函数，B选项符合；当时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上为增函数，此时函数在上只有一个零点，A选项符合；当时，时，函数的增长速度远小于函数的增长速度，所以时，函数一定为减函数，选项D符合，C不符合.
故选：C
例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
【答案】
【解析】
【分析】
将不等式化为，构造根据其单调性可得，求解即可.
【详解】
不等式变形为
所以，
令，则有，显然在R上单调递增，
则，可得解得.故不等式的解集为．
故答案为：
例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义及所过的点求出，再根据对数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】
解：因为函数是幂函数，
所以，解得，
又其图象过点，
所以，所以，
则，
则，解得或，
令，
则函数在上递增，在上递减，
又因函数为减函数，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，作出函数的图像，进而数形结合，将问题转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，再结合二次函数零点分布求解即可.
【详解】
解：根据题意，作出函数的图像，如图：
令，因为方程有8个相异的实数根，
所以方程在区间上有两个不相等的实数根，
故令，则函数在区间上有两个不相等的零点.
所以，即，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；
（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.
【详解】
（1）（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假设存在，使得在上的值域为，
①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
②当时，，显然不成立；
③当时，，在和上单调递增，
故，解得.
综上所述，存在使得在上的值域为.
【方法技巧与总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
题型三：二次方程的实根分布及条件
例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设：二次函数的图象恒在x轴的上方，：关于的方程的两根都大于－1，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由可得，由可得，进而判断两集合关系，即可得到答案.
【详解】由，则，解得；
由，方程的两根为，，
则，解得，
因为 ，所以是的充分不必要条件，
故选：A
例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.
【详解】
二次函数，对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
要使二次函数的两个零点都在区间内，
需，解得
故实数a的取值范围是
故选：C
例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据求出a即可；
(2)方程参变分离得，换元法求值域即可.(1)
由，可得：，解得：，
∴；
(2)
由，可得，
令，则，
则原问题等价于y＝m与y＝h(t)＝在上有交点，
数形结合可知m∈[h()，h(4)]＝.
故实数的取值范围为：.
例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数，．
(1)求的最大值及取最大值时的值；
(2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围．
【答案】(1)当，，时，
(2)
【解析】
【分析】
（1）去掉绝对值，化为分段函数，求出每一段上的最大值；（2）令，问题转化为在上存在两个相异的实根，进而列出不等式组，求出的取值范围.
(1)
∵，
∴当时，
∴当时， ．
故当时， ．
(2)
令，则，使方程存在8个不等的实数根，则方程在上存在两个相异的实根，
令，则，解得：．
故所求的的取值范围是．
【方法技巧与总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
例19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若的值域为，，的值域为，，则实数的最大值为（ ）
A．0B．1
C．2D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
设，即有，，可得函数，的图象为的图象的部分，即有的值域为的值域的子集，即有的范围，可得最大值为2．
【详解】
解：设，由题意可得，，
函数，的图象为的图象的部分，
即有的值域为的值域的子集，
即，，，
可得，
即有的最大值为2．
故选：C．
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．
(1)求的表达式；
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据可以判断函数的对称轴，再根据函数的值域可以确定二次函数的顶点坐标，则可设，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知进行求解，求出的值，即可得出的表达式；
（2）根据题意，可以判断出函数在区间上的单调性，由，求得，进而可知的对称轴方程为，结合二次函数的图象与性质以及单调性，得出，即可求出的取值范围.
(1)
解：由，可得的图象关于直线对称，
函数的值域为，所以二次函数的顶点坐标为，
所以设，
根据根与系数的关系，可得，，
因为方程的两个实根满足
则，
解得：，所以.
(2)
解：由于函数在区间上的最大值为，最小值为，
则函数在区间上单调递增，
又，即，
所以的对称轴方程为，则，即，
故的取值范围为.
例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【答案】(1)
(2)或【解析】
【分析】
（1）代入解不等式组可得答案；
（2）由题意，结合最大值为0最小值是分、数形结合可得答案.
(1)
当时，不等式，
即为，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集为．
(2)
，
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：
，的最大值为4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在① 对任意都成立，② 函数的图像关于轴对称，③ 函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
由，可求得，由条件可得函数的对称轴，又的最大值为4，可得关于的方程组，求解即可.
【详解】
解：由，可求得，则
若选择① 对任意都成立
可得的对称轴为，所以1，又的最大值为4，可得且，即，解得，此时；
若选择函数的图像关于轴对称
可得的对称轴为，则2，
又f（x）的最大值为4，可得且，即，解得a，，此时
若选择③ 函数f（x）的单调递减区间是，
可得f（x）关于x对称，则，又的最大值为4，可得且，即
解得，此时
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）[1,2].
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求函数的解析式，设，根据已知条件建立方程组，从而可求出解析式；
（2）根据在上有最小值，最大值，，从而函数的对称轴在区间上，离对称轴远，建立关系式，从而求出的范围
【详解】
（1）设，
则
解之得：
（2）根据题意：
解之得：
的取值范围为
例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】【分析】
（1）根据，结合可解；
（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得.
(1)
∵，∴.即，
因为任意实数x，恒成立，则
且，∴，，
所以.
(2)
因为，
设，要使在上单调，只需要
或或或，
解得或，所以实数k的取值范围.
【方法技巧与总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
【答案】B
【解析】【分析】
根据题目条件，画出函数草图，即可判断.
【详解】
由，，可知，，抛物线开口向上．因为
，，即1是方程的一个根，
所以，都有，B正确，A、C、D错误.
故选：B．
2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有，即可判断奇偶性和单调性.
【详解】
由为奇函数且在上递增，
A、B：、非奇非偶函数，排除；
C：为奇函数，但在上不单调，排除；
D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.
故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．1或B．1C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义和单调性求得的值.
【详解】
依题意是幂函数，所以，解得或.
当时，在递增，不符合题意.
当时，在递减，符合题意.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习（理））设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．、或
【答案】A
【解析】
【分析】
由幂函数的相关性质依次验证得解.
【详解】
因为定义域为，所以，，
又函数为奇函数，所以，则满足条件的或.
故选:A
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.
【详解】
幂函数的图像过点，，解得，
，
的值域是.
故选：D.
6．（2022·北京·高三专题练习）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
【详解】
因为表示不超过的最大整数．由得，
由得，
由得，所以，
所以，
由得，
所以，
由得，与矛盾，
故正整数的最大值是4．
考点：函数的值域，不等式的性质．
7．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
【答案】C【解析】
【分析】
根据幂函数的图像和性质利用排除法求解
【详解】
由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D；
当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合得到，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果.
【详解】
因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
作出在上的图象，如图：
关于x的方程有5个不同的实根，
令，则有两个不同的实根，所以，
令，则，解得，
故选：A.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】BC
【解析】
【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】
函数的图象如图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，
结合a是正整数，所以BC正确.
故选： BC.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据题意，令，则，结合的值域为，求出的取值范围，进而区间的特征，即可得到正确选项.
【详解】
令，则，
由，得，即，得；
由，得（舍）或2，即；根据的图象特征，知，，.
故选：BCD．
11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，实数满足不等式，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性及单调性结合不等式可得所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断.
【详解】
因为，
所以为奇函数，
因为，
所以上单调递增，
由，
得，
所以，
即，，
因为在R上是增函数，所以，故A正确；
因为在上是增函数，所以，故C正确；
因为在R上是增函数，所以，故D错误；
令，可验证B错误.
故选：AC
12．（2022·全国·高三专题练习）设点满足．则点（ ）
A．只有有限个B．有无限多个
C．位于同一条直线上D．位于同一条抛物线上
【答案】BC
【解析】
【分析】
由已知得，根据的单调性有，即可知的性质.【详解】
由题意，可得，
又单调递增，得，则，
故满足条件的点有无穷多个，且都在直线上．
故选：BC
三、填空题
13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
【答案】（答案不唯一）；
【解析】
【分析】
根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式.
【详解】
由所给性质：在上恒正的偶函数，且，
结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.
【详解】
解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.
故答案为：-1.
15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.【答案】
【解析】
【分析】
分析函数的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.
【详解】
函数恒过点 ，且其图象开口向上，的零点为1，
当的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：
函数的零点至多有两个，不符合题意，
故要使恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图示，
故
解得，
故答案为：16．（2022·全国·高三专题练习）是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则______.
【答案】30
【解析】
【分析】
先求出函数的解析式，得到，从而得到，对利用分组求和法求和即可.
【详解】
由，得，，.
因为点在函数上，所以，即.
所以
，
所以
.
故答案为：30.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式．
【答案】．
【解析】
【分析】
不等式变形为，将视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数，然后由函数的单调性解不等式．【详解】
令，易知在R上单调递增．
原不等式变形为，即．
由在R上单调递增得，解得或．
所以原不等式的解集为．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在区间上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由幂函数的系数为得，再根据函数为增函数得；
（2）由（1）得，再根据函数单调性的定义证明即可.
【详解】
（1）解：由题可知：，解得或.
若，则在区间上单调递增，符合条件；
若，则在区间上单调递减，不符合条件.
故.
（2）证明：由（1）可知，.
任取，，且，
则.
因为，
所以，，，
所以，
即，故在区间上单调递减.【点睛】
本题考查幂函数的解析式，定义法证明函数的单调性，解题的关键在于幂函数的系数为1，且在在区间上单调递增，考查运算求解能力，是中档题.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；
（2）将（1）中求得的解析式代入后，假设存在使得命题成立，分情况讨论利用函数单调性求值域，列出方程组求解即可.
【详解】
（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以.
（2）由（1）得，所以，
假设存在使得命题成立，则
当时，即，在单调递增，
所以；
当，即，显然不成立；
当，即，在单调递减，
所以，无解；
综上所述：存在使命题成立.
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义及单调性及函数的值域，意在考查学生的数形结合思想及数学运算能力，属基础题.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数.(1)当时，函数定义域和值域都是，，求的值；
(2)若函数在区间上与轴有两个不同的交点，求的取值范围.
【答案】(1)10
(2)
【解析】
【分析】
（1）确定二次函数对称轴为，再分类讨论与对称轴的关系，结合单调性确定函数最值，进而得解；
（2）可设，结合根与系数关系表示出，代换可得
，由基本不等式即可求解.
(1)
当时，函数，其图象的对称轴为直线，
故在区间，单调递减，在区间，单调递增.
①当时，在区间，上单调递减；故，此时无解；
②当时，在区间，上单调递减，，上单调递增，且，故，解得；
③当时，在区间，上单调递减，，上单调递增，且，故，此时无解.
综上所述，的值为10；
(2)
设函数的两个零点为，，
则，
又，，
，
，
因为，故，即的取值范围为
21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，
(1)若函数在，上存在零点，求的取值范围；
(2)设函数，，当时，若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据判别式和零点存在性定理列不等式求解；
（2）将问题转化为的值域是的值域的子集，求出和的值域，然后列不等式组求解即可.
(1)
依题意知，
解得．
(2)
依题意知，当，时，
，
即，当，时的值域为，
若对任意的，，总存在，，使得，可得的值域是的值域的子集，
又
或
解得或
即的范围是或．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且.
（1）求的值，并确定的解析式；
（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.
【答案】（1）或,（2）存在;
【解析】
【分析】（1）根据函数为偶函数,且可知且为偶数,即可求得的值,进而确定的解析式.
（2）将（1）所得函数的解析式代入即可得的解析式.根据复合函数单调性对底数分类讨论,即可求得在区间上为减函数时实数的取值范围.
【详解】
（1）因为
则,解不等式可得
因为
则或或
又因为函数为偶函数
所以为偶数
当时, ,符合题意
当时, ,不符合题意,舍去
当时, ,符合题意
综上可知, 或
此时
（2）存在.理由如下:
由（1）可得
则且
当时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为增函数且满足在上恒成立
即解不等式组得
当时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为减函数且满足在上恒成立
即解不等式组得
综上可知,当或时, 在上为减函数所以存在实数,满足在上为减函数
【点睛】
本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.