最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题13 函数模型及其应用

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题13 函数模型及其应用
【考点预测】
1.几种常见的函数模型：
2.解函数应用问题的步骤：
(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;
(3)解模：求解数学模型，得出结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
【题型归纳目录】
题型一：二次函数模型，分段函数模型
题型二：对勾函数模型
题型三：指数函数、对数函数模型
【典例例题】函数模型
函数解析式
一次函数模型
，为常数且
反比例函数模型
，为常数且
二次函数模型
，，为常数且
指数函数模型
，，为常数，，，
对数函数模型
，，为常数，，，
幂函数模型
，为常数，
题型一：二次函数模型，分段函数模型
例1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题意解出长度，设，得到，再分析求值域，判断取等条件即可求解.
【详解】
设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
设，，则，
，所以在中，有，
令，所以，
所以，
因为，所以，则要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，
所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），
则射门时甲离上方端线的距离为：.
故选：B.
例2．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边、与运动，记，将的面积表示为关于的函数，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
【答案】C
【解析】
【分析】
分、、三种情况讨论，求出的边上的高，结合三角形的面积公式可得出的表达式.
【详解】
，则，易得，，
所以，，则.
当时，点在线段上（不包括点），则，
此时，；
当时，点在线段上（不包括点），此时；
当时，点在线段上（不包括点），
此时，则，则.
故选：C.
例3．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】(1)
(2)当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元【解析】
【分析】
（1）分和两种情况，由利润 = 销售收入—成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可，
（2）当时，利用配方法求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可
(1)
当时，
，
当时，
，
所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为
(2)
当时，，
所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450，
当时，
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490，
因为，
所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元
例4．（2022·全国·高三专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量.
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)【答案】(1)；
(2)300，25000元.
【解析】
【分析】
(1)由题意，由总收益总成本利润可知，分及求利润，利用分段函数表示；
(2)在及分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值．从而得到最大利润．
(1)
由题意，当时，；
当时，；
故；
(2)
当时，；
当时，(元
当时，(元
，
当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．
例5．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.
【答案】 200 7.94
【解析】
【分析】
将利润表示为关于的一个二次函数，求出该函数的最值即可.
【详解】
由题意易得日利润，
故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，
故答案为：200，7.94.
【方法技巧与总结】
1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
2.构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.
题型二：对勾函数模型
例6．（2022·全国·高三专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，求得关于的表达式，利用基本不等式求出的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】
设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，
则年后的设备维护费用为，
所以年的平均费用为（万元），
当且仅当时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.
故选：B.
例7．（2022·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为___________．（本题中取进行计算）
【答案】
【解析】【分析】
设圆弧的半径为x，根据平面几何知识写出关于x的函数关系式，运用基本不等式求解函数的最大值即可.
【详解】
设圆弧的半径为，根据题意可得：
令，则，
根据基本不等式，，当却仅当 ，即时取“=”.
， 时，
故答案为：.
例8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，设矩形的周长为cm，把沿折叠，折过去后交于点，设cm，cm．
(1)建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域;
(2)求的最大面积以及此时的的值．【答案】(1)，定义域为
(2)，的最大面积为
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，再由可求出的取值范围，
（2）设，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，从而可求得，化简后利用基本不等式可求得结果
(1)
因为，，矩形ABCD的周长为20cm，
所以，因为，所以，
解得．所以，定义域为．
(2)
因为ABCD是矩形，所以有，．
因为是沿折起所得，
所以有，，因此有，
，所以≌，因此，．
设．而ABCD是矩形，所以，
因此．
在直角三角形ADP中，有，．
所以，
化简得，
当且仅当时取等号，即时，的最大面积为．
例9．（2022·全国·高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长，大扇形半径，设小扇形半径，弧度，则
①关于x的函数关系式_________．
②若雕刻费用关于x的解析式为，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．
【答案】 ，；
【解析】
【分析】
利用弧长公式求与根据扇环周长可得关于x的函数关系式；根据扇形面积公式求出扇环面积，进而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
由题意可知，， ，，
所以，，，
扇环周长，
解得，
砖雕面积即为图中环形面积，记为，
则
，
即雕刻面积与雕刻费用之比为，
则，
令，则，

，当且仅当时（即）取等号，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为.
故答案为：，；
【方法技巧与总结】
1.解决此类问题一定要注意函数定义域；2.利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.
题型三：指数函数、对数函数模型
例10．（2022·全国·模拟预测）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等、目视星等和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为，目视星等为，则观测者与织女星和大角星间的距离的比值约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设观测者与织女星和大角星间的距离分别为，，根据题意，列出方程组，化简整理，即可得答案.
【详解】
设观测者与织女星和大角星间的距离分别为，，则有，
两式相减得，所以，，
故选:D．
例11．（2022·河南·模拟预测（文））金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度与其采摘后时间（天）满足的函数解析式为，．若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知，结果取一位小数）（ ）
A．4.0天B．4.3天C．4.7天D．5.1天
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件两式相除求出，设天后开始失去全部新鲜度，则，再与已知一式相除可求得．
【详解】
由已知，相除得，，，因为，故解得，
设天后开始失去全部新鲜度，则，又，
所以，，，，．
故选：C．
例12．（2022·陕西西安·三模（理））2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中△v为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量增加的百分比约为（ ）（参考数据：，，
A．15%B．30%C．35%D．39%
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，速度的增量为，，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】
由题意，当时，速度的增量为；
当时，速度的增量为，
所以.
故选：D.
例13．（2022·贵州·模拟预测（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）（ ）
A．天B．天C．天D．天
【答案】C【解析】
【分析】
根据已知数据可求得，设初始时间为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，利用，结合对数运算法则可求得结果.
【详解】
，，，，解得：.
设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，
则（天）.
故选：C.
例14．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10%B．20%C．22%D．32%
【答案】B
【解析】
【分析】
设年平均增长率为，依题意列方程求即可.
【详解】
由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.
故选：B
例15．（2022·广西·模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．
【详解】
设初始状态为，则，，
又，，即，
，，，，．
故选：D．
例16．（2022·贵州贵阳·二模（理））2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数，（单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻；（单位：秒）表示地震动总持时；是衰减因子，控制下降段衰减的快慢．在一次抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2，则当秒时，地震动时程强度包络函数值是（ ）
A．B．1C．9D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得当时，，即得.
【详解】
由题可知，，，
∴当时，，
∴当秒时，地震动时程强度包络函数值是.
故选：A.
【方法技巧与总结】
1.在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型.2.在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像 求解最值问题.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：
由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合散点图的特点，选择合适的方程类型作为回归方程类型.
【详解】
由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的增长速度越来越快，
所以最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型.
故选：C
2．（2022·全国·模拟预测）影响租金的因素有设备的价格、融资的利息和费用、税金、租赁保证金、运费、各种费用的支付时间、租金的计算方法等，而租金的计算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法每期租金R的表达式为（其中P为租赁资产的价格；N为租赁期数，可按月、季、半年、年计；i为折现率；r为附加率）．某小型企业拟租赁一台生产设备，租金按附加率法计算，每年年末支付，已知设备的价格为84万元，折现率为8%，附加率为4%，若每年年末应付租金为24.08万元，则该设备的租期为（ ）A．4年B．5年C．6年D．7年
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意构造函数，即可求解.
【详解】
由题意，R＝24.08万元，P＝84万元，i＝8%，r＝4%，则，解得N＝6，
故选:C．
3．（2022·全国·模拟预测）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（ ）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
【答案】C
【解析】
【分析】
由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果
【详解】
设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍，
故选：C．
4．（2022·全国·模拟预测）施工企业承包工程，一般实行包工包料，需要有一定数量的备料周转金，由建设单位在开工前拨给施工企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、结构件所需的流动资金．确定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于工程预付款的数额．计算公式为：（：工程预付款起扣点，：承包工程合同总额，：工程预付款数额，：主要材料及构件所占比重）．某施工企业承接了一个合同总额为208万元的新工程，该工程预付款起扣点为160万元，主要材料及构件所占比重为65%，则建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的（ ）
A．12%B．15%C．18%D．21%【答案】B
【解析】
【分析】
设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的，根据所给公式得到方程，解得即可；
【详解】
解：设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的，
则由，得，解得，
故选：B．
5．（2022·北京·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数．如果在前污染物减少，那么再过后污染物还剩余（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定的函数模型及已知可得，再计算后污染物剩余量.
【详解】
由题设，，可得，
再过5个小时，，
所以最后还剩余.
故选：D
6．（2022·全国·模拟预测）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C（单位：）随时间t（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）
A．3hB．4hC．5hD．6h
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式求最值可得．
【详解】
依题意，，所以，所以，
当且仅当，即t＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h．
故选：A．
7．（2022·云南曲靖·二模（文））某大型家电商场，在一周内，计划销售、两种电器，已知这两种电器每台的进价都是万元，若厂家规定，一家商场进货的台数不高于的台数的倍，且进货至少台，而销售、的售价分别为元/台和元/台，若该家电商场每周可以用来进货、的总资金为万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售、电器的总利润（利润售价进价）的最大值为（ ）
A．万元B．万元C．万元D．万元
【答案】D
【解析】
【分析】
设卖场在一周内进货的台数为台，则一周内进货的台数为，根据题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，再写出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的最大值.
【详解】
设该卖场在一周内进货的台数为台，则一周内进货的台数为，
设该卖场在一周内销售、电器的利润为万元，
由题意可得，可得，且，
，
函数随着的增大而增大，故（万元）.
故选：D.
8．（2022·全国·高三专题练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（ ）
A．3.6天B．3.0天C．2.4天D．1.8天
【答案】A
【解析】【分析】
由已知先确定系数,即可确定函数解析式，再利用解析式及提供数据即可求解累计感染病例数增加3倍需要的时间
【详解】
因为，，且，则，于是得
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为，则有
即，所以，
而，解得
所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天
故选：A．
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习（理））某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为（不超过按起步价付费）；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶，乘客需付费8元
B．出租车行驶，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶，乘客需付费25.45元
D．某人两次乘出租车均行驶的费用之和超过他乘出租车行驶一次的费用
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据题意，逐一分析各个选项，即可得答案
【详解】
对于A：出租车行驶，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；
对于B：出租车行驶，乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误；
对于C：出租车行驶，乘客需付费元，故C正确；
对于D：某人两次乘出租车均行驶的费用之和为元，
一次行驶的费用为25.45元，，故D正确.
故选：CD
10．（2022·全国·高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决．
【详解】
由函数图象可知，
当时，，即，解得，
，故正确，
药物刚好起效的时间，当，即，
药物刚好失效的时间，解得，
故药物有效时长为小时，
药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，
故选：．
11．（2022·全国·高三专题练习）“双”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：（1）如果购物总额不超过元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；（3）如果购物总额超过 元但不超过元，则按标价给予折优惠；（4）如果购物总额超过元，其中元内的按第（3）条给予优惠，超过 元的部分给予折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ）
A．如果购物总额为78元，则应付款为73元
B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元
C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元
D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元
【答案】ABD
【解析】
根据优惠规则计算应付款项，判断各选项．
【详解】
购物总额为78元，则应付款为元，A正确；
购物总额为228元，则应付款为元，B正确；
购物总额为368元，则应付款为元，C错误；
购物时一次性全部付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有元对应购物额度为，因此购物总额为元，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查函数的应用，在求解应付款时，如果购物总额大于300元，计算时需先计算300元应付270元，多于300元的乘以0.8，这才是正确结论，不能全部乘以0.8．
12．（2022·全国·高三专题练习）某一池溏里浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，下列说法中正确的说法是（ ）
A．浮萍每月增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到所经过时间分别为，则
【答案】ABD
【解析】
函数关系式y=2t，再由，可判断A；当t=5时，计算函数值可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得t1，t2，t3，可判断D.
【详解】函数关系式y=2t，∵，∴每月的增长率为1，A正确；
当t=5时，y=25=32>30，∴B正确；
∵第二个月比第一个月增加y2-y1=22-2=2(m2)，
第三个月比第二个月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y1，∴C不正确；
∵2=，3=，6=，∴t1=lg22，t2=lg23，t3=lg26，
∴t1+t2=lg22+lg23=lg26=t3，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）
【答案】6.6
【解析】
【分析】
写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.
【详解】
设h后血液中的药物量为mg，
则有，
令得：
故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
故答案为：6.6
14．（2022·辽宁丹东·模拟预测）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长4%，则2026年的利润是______万元．（结果精确到1万元）
【答案】122
【解析】
【分析】
根据题意得出含指数的利润表达式，利用二项式定理求近似值即可.
【详解】
由题意可知， (万元)，
即2026年的利润大约是122万元.故答案为：122
15．（2022·北京·二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限，劳累程度，劳动动机相关，并建立了数学模型．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】
设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，
对于①，，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故①正确；
对于②，，，，
∴，，
则，
∴，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，，，，，
∴，，
，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，，，，
∴，，∴，
所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故答案为：①②④.
16．（2022·全国·高三专题练习）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．
【答案】②④
【解析】
【分析】
需满足四个条件：1.自变量的取值范围为；
2.函数值域为的子集；
3.该函数在上恒有；
4.该函数为上增函数；
逐一对照分析求解即可.
【详解】
① ，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意；
② 为增函数，且
且，则，符合题意；
③ ，当时，不合题意
④ ，当时，，故该函数在上单调递增，又设
即，
易知在上为减函数
令，则存在，有
当，；当，；
故在递增，在递减.
，
故上
即上
故④符合题意
故答案为：②④
【点睛】
本题考查学生实际运用数学的能力.需要学生具备一定的数学建模思想，将文字语言描述的要求转化为数学表达式，再用数学方法分析求解.
四、解答题
17．（2022·上海交大附中高三期中）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为．
(1)求实数，的值及助滑道曲线的长度．
(2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）．
【答案】(1)，，助滑道曲线的长度为米
(2)米
【解析】
【分析】
（1）令，即可得到，，即可得到的几何意义，根据二次函数的性质得到，，即可求出、的值，从而求出曲线的长度；
（2）由（1）可得的解析式，依题意可得，代入解析式中解出，即可求出点坐标，根据两点间的距离公式计算可得；
(1)
解：因为，令，则，，
所以表示以为圆心，半径的圆弧，
因为由图象可知函数开口向下，
所以，又对称轴为，又，
所以当时，，
解得，所以，
即，，助滑道曲线的长度为米
(2)
解：依题意可得，，，
由（1）可得，
令，即，解得，（舍去）；
所以，所以，
即该运动员飞行距离约为米；
18．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点，以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系．设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点B距离最近的垃圾投放点的距离．
(1)若，求、、的值，并写出的函数解析式；
(2)若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？
【答案】(1)，，
(2)垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．
【解析】
【分析】
（1）理解题意，根据所给数据求解
（2）作出图象，表示出与坐标轴围成的面积后解不等式
(1)投放点，，表示与距离最近的投放点（即的距离，
所以，同理得，，，
由题意得，，，
则当，即时，；
当，即时，；
综上；
(2)
由题意得，，
所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，
所以，
由题意，，即，
解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利．
19．（2022·上海市松江二中高三开学考试）某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标与时间（单位：小时）之间的关系的函数模型：，，其中，代表大气中某类随时间变化的典型污染物质的含量，参数代表某个已测定的环境气象指标，且.现环保部门欲将的最大值作为每天的大气环境综合指数予以发布.
(1)求的值域；
(2)若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过，请求出的表达式，并预测该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由.
【答案】(1)；(2)，不会超标，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，理由正弦函数的性质求的值域即可.
（2）令，讨论的大小关系求出的分段函数形式，在讨论的范围求对应表达式，并判断的值域，由其最大值与2的大小关系判断是否会超标.
(1)
由题设，，则，
所以，即的值域为.
(2)
由（1）知：，则，
所以，
当时，在上递增，故；
当时，，此时在上，在上；
而得：，故，
综上，，易知：恒成立，故该市目前的大气环境综合指数不会超标.
20．（2022·安徽亳州·高三期末（理））如图所示，两村庄和相距，现计划在两村庄外以为直径的半圆弧上选择一点建造自来水厂，并沿线段和铺设引水管道.根据调研分析，段的引水管道造价为万元，段的引水管道造价为万元，设，铺设引水管道的总造价为万元，且已知当自来水厂建在半圆弧的中点时，.
(1)求的值，并将表示为的函数；
(2)分析是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，，其中；
(2)存在，且的最大值为.
【解析】
【分析】
（1）求得，根据已知条件求出的取值范围，根据题意得出，将代入函数解析式可求得的值，由此可得出表示为的函数关系式；
（2）利用导数分析函数在上的单调性，由此可得出结论.
(1)
解：因为为半圆弧的直径，则，则，
由题意可得，可得，
所以，，其中，
当点在的中点时，，此时，解得，
因此，，其中.
(2)
解：因为，其中，则，
因为函数在上为减函数，由可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
故当时，函数取最大值，即.21．（2022·全国·高三专题练习）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)百辆，最大利润为万
【解析】
【分析】
（1）根据题意分情况列式即可；
（2）根据分段函数的性质分别计算最值.
(1)
由题意得当时，，
当时，，
所以,
(2)
由（1）得当时，，
当时，，
当时，
，当且仅当，即时等号成立，
，时，，，
时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
22．（2022·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)
(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)4千克，480元﹒
【解析】
【分析】
(1)用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
(2)分段判断的单调性，求出的最大值即可．
(1)
依题意，又，
∴．
(2)
当时，，开口向上，对称轴为，
在，上单调递减，在，上单调递增，
在，上的最大值为．
当时，，
当且仅当时，即时等号成立．
∵，∴当时，．
∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．