最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题38 椭圆及其性质

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专题38 椭圆及其性质
【考点预测】
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴长，短轴长
长轴长，短轴长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆
的关系
切线方程
（为切点）
（为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得
切点弦所在的直线方程
焦点三角形面积
①，（为短轴的端点）
②
③
焦点三角形中一般要用到的关系是
焦半径
左焦半径：
又焦半径：
上焦半径：
下焦半径：
焦半径最大值，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
【方法技巧与总结】
（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为，距离的最小值为．
（2）椭圆的切线
①椭圆上一点处的切线方程是；
②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；
③椭圆 与直线 相切的条件是．
【题型归纳目录】
题型一：椭圆的定义与标准方程
题型二：椭圆方程的充要条件
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换
方向2：利用与建立一次二次方程不等式
方向3：利用最大顶角满足
方向4：坐标法
方向5：找几何关系，利用余弦定理
方向6：找几何关系，利用正弦定理
方向7：利用基本不等式
方向8：利用焦半径的取值范围为．
方向9：利用椭圆第三定义．弦长公式
设直线与椭圆的两个交点为，，，
则弦长
（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
题型七：椭圆的简单几何性质问题
题型八：利用第一定义求解轨迹
【典例例题】
题型一：椭圆的定义与标准方程
例1．（2022·全国·高三专题练习）点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．13B．1C．7D．5
【答案】D
【解析】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，
故
故选：D
【方法技巧与总结】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.
②与椭圆共焦点的椭圆可设为.
③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.
例2．（2022·全国·高三专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
(2)经过点，；
(3)一个焦点为，一个顶点为；
(4)一个焦点为，长轴长为4；
(5)一个焦点为，离心率为；
(6)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2.
【解析】（1）由题设，，又焦点在y轴上，故椭圆标准方程为；（2）设椭圆方程为，又，在椭圆上，
所以，即，故椭圆标准方程为.
（3）由题设，，则，又焦点为
所以椭圆标准方程为.
（4）由题设，，则，又焦点为
所以椭圆标准方程为.
（5）由题设，，则，，又焦点为
所以椭圆标准方程为.
（6）由题设，，则，故，
所以椭圆标准方程为或.
例3．（2022·全国·高三专题练习）过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
【答案】
【解析】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又点(，－)在所求椭圆上，即，
联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为.
故答案为：
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为，，为了使椭圆C的方程为，可以再添加一个条件：______．
【答案】椭圆上的点到两焦点的距离和为10（答案不唯一）
【解析】根据椭圆的焦点坐标可知，，并且焦点在轴，若使椭圆方程为，只需，所以可添加条件“椭圆上的点到两焦点的距离和为10”.
故答案为：椭圆上的点到两焦点的距离和为10（答案不唯一）
例5．（2022·全国·高三专题练习（理））过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
【答案】
【解析】因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，
所以其焦点在轴上，且.
设它的标准方程为，
因为，且，故①，
又点在所求椭圆上，
所以②
由①②得，，
所以所求椭圆的标准方程为.
例6．（2022·山西大同·高三阶段练习（文））如图，､分别为椭圆的左右焦点，点Р在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【解析】由于是面积为的正三角形，
所以且，
则，代入椭圆方程得，解得.
故选：A
题型二：椭圆方程的充要条件
例7．（2022·全国·高三专题练习）“ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
【方法技巧与总结】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
例8．（2022·江西·模拟预测（理））“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】[解法一]
方程即方程，表示椭圆的充分必要条件是,
显然“，”是“”既不充分也不必要条件，
故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，[解法二]
当时，满足“，”，此时题中方程可化为：,表示的曲线是圆而不是椭圆，当时，不满足“，”，只是题中方程可化为：,表示中心在原点，半长轴为1，半短轴为的椭圆，
故：“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
故选：
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述错误的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
【答案】B
【解析】由为3与5的等差中项，得，即，由为4与16的等比中项，得，即，则曲线的方程为或．其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；
其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．
故选：B
例10．（2022·全国·高三专题练习）关于椭圆：，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：的焦距为6；丁：的焦点在轴上.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【解析】当甲乙为真命题时，椭圆方程为，
椭圆的焦距为：，且焦点在轴上，
此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．
当乙，丙和丁是真命题时，，，，
此时椭圆方程为：，符合题意，故甲是假命题．
故选：．
例11．（2022·全国·高三阶段练习）“”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件D．充分不必要条件
【答案】C
【解析】因为（）是焦点在轴上的椭圆，
所以,解得：，
由可得成立，反之不能推出成立.
所以”是“曲线：（）是焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件．
故选：C．
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
故选：C．
【方法技巧与总结】
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.例13．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．
【答案】
【解析】，．
在中，，
．
故答案为：.
例14．（多选题）（2022·河北·高三阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点，使得B．满足为等腰三角形的点有2个
C．若，则D．的取值范围为
【答案】CD
【解析】根据题意:可得，的最小值为1，所以，
则，所以椭圆方程
当为该椭圆顶点时，此时,
所以存在点，使得，故A错误；
当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形，
又因为，，
所以满足的点有两个，
同理，满足的点有两个，故B错误.
若，则，
所以C正确.
因为,
分析可得，，
所以D正确.故选:CD.
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
【答案】A
【解析】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由， ，又，解得，
.故选：A.
例17．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为，
故选：C．
例18．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校一模（理））设F1，F2是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1| =|PQ|，若PF1F2的面积为，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由椭圆的定义，，
由余弦定理有：
，
化简整理得：，又，
由以上两式可得：
由，得，∴，
又，所以F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知轴，
所以.
故选：B.
例19．（2022·全国·高三专题练习（文））椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【解析】
在椭圆中，，，.易知.
又，所以为等边三角形，即，所以，即.
故选：C.
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
例21．（2022·安徽淮北·一模（理））为椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由题意，圆心为椭圆的右焦点，圆的半径为，因为为圆的任意一条直径，
，由椭圆的定义可得，所以．
故答案为：
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______．
【答案】10
【解析】椭圆的方程为，∴，，，
连接，，则由椭圆的中心对称性可得
的周长，
当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，
．
故答案为：10
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．
【答案】
【解析】椭圆，所以，即、，
直线过左焦点，所以，，，
所以；
故答案为：
例24．（2022·重庆一中高三期中）在中，点，，点C在椭圆上，则的周长为____________．
【答案】16
【解析】由椭圆方程可知，，，则，即、为椭圆的两个焦点，所以的周长为.故答案为：16.
例25．（2022·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.
【答案】
【解析】由，且，

在中，∠

.
故答案为：
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________.
【答案】
【解析】由已知条件得，，，则（－1，0），（1，0）.
设点P的坐标为（，），则，
，即①，
∵第一象限点P在C上，∴则，即②，
联立解得
由椭圆的定义得
设的内切圆半径为r，则
又∵，
∴，即.
故答案为：
例27．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率，点P为椭圆的上顶点，若的面积为1，则右焦点的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知，解得，
故右焦点的坐标为.
故答案为：
例28．（2022·陕西·西安交大第二附属中学南校区高二期末（理））已知为椭圆上一点，、是焦点，，则______．
【答案】
【解析】由已知得，，所以，从而，
在中，，
即，①
由椭圆的定义得，
即，②
由①②得，所以.
故答案为：
例29．（2022·全国·高三专题练习）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】易知当点为椭圆与轴的交点时，最大，
因为椭圆方程为，
所以，，
此时，，
满足，
所以为等腰直角三角形，所以．
故答案为：
例30．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点，且，若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知的面积为，
故 ，
在中，设，
由余弦定理可得，
即
，
则，
所以的面积
，即 ，
所以，即，
由于 ，．
又．所以△的是等边三角形，即，
由椭圆的定义可得，
即有则，则，则，
，则．
故选：．
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
例31．（多选题）（2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）已知椭圆C：的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上B．△PF1F2的周长为8+2
C．|PF1|的取值范围为[，4）D．tan∠F1PF2的最大值为3
【答案】ABD
【解析】对于，由椭圆的方程可知，椭圆焦点在轴上，故正确；
对于，因为，而的周长为，故B正确；对于，因为不在轴上，所以，所以的取值范围为，故C不正确；
对于，设椭圆的上顶点为，则，所以的最大值为.设，则，且，而，所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【方法技巧与总结】
利用几何意义进行转化.
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，求的取值范围．
【解析】由椭圆方程可得，则，
如图所示：
设锐角，在中，，
因为，即，故，
所以.
故答案为：.
例33．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.
【答案】
【解析】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且，
于是得，
因，则当时，，
所以的最大值为.
故答案为：
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为______．
【答案】1
【解析】由椭圆C：知：，故，
所以，
所以，的最小值为.
故答案为：
例35．（2022·广西柳州·模拟预测（文））已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．
【答案】1
【解析】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
所以.
所以，所以（当且仅当时等号成立）.
所以.
即的最小值为1.
故答案为：1
例36．（2022·上海市市北中学高三期中）焦点在x轴上的椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为__________．【答案】
【解析】由题意得，即，解得，
故答案为：
例37．（2022·河北石家庄·一模）设点是椭圆：上的动点，点是圆：上的动点，且直线与圆相切，则的最小值是______.
【答案】
【解析】由题可知，＝1，设，，，
则，
∴当时，.
故答案为：.
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
例38．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．
【答案】9
【解析】根据题意可得：
则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点
∴，即
∵，即点A在椭圆内
，当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.
故答案为：9．
【方法技巧与总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
例39．（2022·全国·高三专题练习）已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标．
【解析】如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M．
∵椭圆的离心率，∴由第二定义得，
的最小值为|AN|的长，且，
的最小值为10，此时点M的坐标为．
例40．（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由题, 设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.则椭圆的焦点为.又,.
故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故答案为：.
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆的一个焦点，点为椭圆上任意一点，点，则取最大值时，直线的斜率为________
【答案】1
【解析】如图所示，设椭圆的右焦点为．
由题意可得：，，．
由椭圆的定义可得：，连接并延长交椭圆于点，
则
（当且仅当三点，，共线时，即运动到图中点取等号）
．
故答案为：1．
例42．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
【答案】
【解析】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
例43．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆C：的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|－|PF|的最小值为________．
【答案】1
【解析】如图，
设椭圆的左焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝4，所以|PF|＝4－|PF′|，
所以|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF′|－4，
当且仅当P，A，F′三点共线时，
|PA|＋|PF′|取最小值|AF′|＝＝5，
所以|PA|－|PF|的最小值为1.
故答案为：1.例44．（2022·重庆·高三阶段练习（文））点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为____________
【答案】
【解析】记椭圆的左焦点为，
由椭圆的定义可得，，所以，
由得，
即圆的圆心为，半径为，
作出图形如下：
由圆的性质可得，，
（当且仅当四点共线时，等号成立.）
故答案为：.
例45．（2022·全国·高三专题练习）已知，F是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】设椭圆C的右焦点为，依题意，，由椭圆的定义得：，
而，即，有，
因此，，当且仅当点P是线段的延长与椭圆C的交点时取“=”，
所以的最小值为4.
故答案为：4
题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用椭圆定义去转换
例46．（2022·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为
A．[,1)B．[,]C．[,]D．[,]
【答案】D
【解析】如图：
设椭圆的另一个焦点为，
因为，
所以
由，
所以，
所以，即，
所以.
因为点在椭圆内，所以，所以，
所以，解得，
因为，
所以.
故选：D
例47．（2022·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【解析】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.
例48．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意四边形为平行四边形，
又由四点共圆，可得平行四边形为矩形，即
又直线的倾斜角为，则有则，，
则，即
则椭圆的离心率
故选：B
例49．（2022·海南中学高三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会经过另一个焦点．设椭圆方程为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，则该椭圆的离心率为_________．
【答案】
【解析】由椭圆的光学性质可知，都经过，且在中，，如图，
所以，
由椭圆的定义可知，即，又，
可得，在中，，
所以，所以.
故答案为：例50．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】如图所示：
延长，交于点Q，
∵PA是的外角平分线，
，，
又O是的中点，，且.
又，
，
，
∴离心率为.
故答案为：
例51．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，AB是椭圆过点的弦，点A关于原点O的对称点为，，且，则椭圆的离心率为___________.【答案】
【解析】连接，，，设，
因为，所以四边形为平行四边形，
而，故四边形为矩形，故.
又，由椭圆的定义可得，，
，即，
解得，∴是短轴的端点，且，，.
故答案为：.
例52．（2022·山东·青岛二中高三期末）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在椭圆C：中，
由椭圆的定义可得，
因为，
所以，在中，，
由余弦定理得，
即，
所以，
所以C的离心率.
故选：A.
例53．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，
所以，则，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，
所以，解得，，
在中，，
在中，，
因为，
所以，即，
所以
所以.
故选：C
例54．（2022·山西太原·一模（理））设，是椭圆：的左、右焦点，过点斜率为的直线交椭圆于点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因过点斜率为的直线交椭圆于点，则有，，
因此，在中，，令椭圆半焦距为c，于是得，，
由椭圆定义得：，，
所以椭圆的离心率是.
故选：B
例55．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的两个焦点是，过的直线与交于P，Q两点，若，且，则椭圆的离心率为_____________．
【答案】
【解析】设椭圆 ，，
设 由椭圆的定义可得 ， 可得
取 的中点 ，连接 ，则
由勾股定理可得 即为将带入上式化简可得，
所以，所以，
所以或者，所以或（舍），
所以 .
故答案为：．
方向2：利用与建立一次二次方程不等式
例56．（2022·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【解析】是2和8的等比中项，或，
当时，方程为，表示椭圆，
，离心率为，
当时，方程为，表示双曲线，
，离心率为，
故选：A
例57．（2022·江西·高三开学考试（文））设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故选：C．
例58．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得：，则，
由椭圆定义可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即
故E的离心率为.
故选：C.
例59．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（ ）A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得 ,故，即，故， ，在△中，由余弦定理可得： ，
，化简得
，即，则，，因为 ，所以
解得或（舍），
故选：B.
例60．（2022·贵州·高三期末（理））已知椭圆的左、右焦点分别是，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，且四边形的面积为（c是椭圆C的半焦距），则椭圆C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由椭圆的对称性可知四边形是平行四边形．因为，所以平行四边形是矩形．
设，，则整理得，所以，解得，故椭圆C的离心率为．
故选：B.
例61．（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．【答案】A
【解析】根据题意可得如图椭圆，是直角三角形，，
不妨设，则，
因为，
所以，
，
所以离心率．
故选：A．
例62．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】连接，延长交轴于，则
，又，，
所以，
故，即，
又，
所以，即.
故选：D.
方向3：利用最大顶角满足
例63．（2022·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
【答案】
【解析】设点，易知，，则，
故点的轨迹为圆，由题意可知，圆与椭圆相交，
由图可知，即，可得，又因为，故．
故答案为：．
例64．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）已知，分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点使得（，是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】根据椭圆的几何意义可知
椭圆的离心率最小值为
根据椭圆离心率的取值范围可知
故答案为：
例65．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】由椭圆的定义可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，故，
所以，，解得：.
故答案为：
方向4：坐标法
例66．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将代入C中，得，，由题意得，
即，．
故选：D.
例67．（2022·河南洛阳·三模（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
【答案】
【解析】如图，设与轴的交点为，连接，
因为平行于轴，故为的中点，且，
故，又，故，
因为，故，
所以，
故四边形为：
，故即离心率为，
故答案为：
例68．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，
设，由，且，
故，，
由点在椭圆上，故，整理得，
故离心率，
故选：B.
例69．（2022·安徽蚌埠·一模）若椭圆上存在两点到点的距离相等，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．【答案】B
【解析】记中点为，则，
由题意点在线段的中垂线上，
将坐标代入椭圆方程得
两式相减可得，
所以，得，
所以的中垂线的方程为，令得，
由题意，，故，所以
所以
故选：B.
方向5：找几何关系，利用余弦定理
例70．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
例71．（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
【答案】
【解析】设关于平分线的对称点为Q，
则三点共线，
设，则，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由椭圆定义可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故答案为：
例72．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
例73．（2022·浙江·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.
故选：A
方向6：找几何关系，利用正弦定理
例74．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得：，令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B
例75．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
【答案】D
【解析】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.
因为为椭圆上一点，所以，即，
整理得，所以，解得.故选D.
例76．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．例77．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
例78．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
方向7：利用基本不等式例79．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：B
例80．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性不妨设为第一象限的点，即，则，，因为，
所以
，
所以，则，解得，
故选：A.
例81．（2022·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴
当且仅当取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即，
∴，即，
所以，
故椭圆离心率的最大值为.
故答案为：.
例82．（2022·全国·高三专题练习）已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是___________.
【答案】；
【解析】设为椭圆的另一焦点，如图，连接，
根据椭圆和直线的对称性，可得四边形为平行四边形，
又因为，所以.
在中，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即，又因为，所以，
又因为，故.
故答案为：.
方向8：利用焦半径的取值范围为．
例83．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，
解得，，
由题意可得，解得，又，所以，
所以椭圆离心率的取值范围是．
故答案为：.
例84．（2022·广西南宁·二模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】设点的横坐标为，，则由椭圆的定义可得，
，由题意可得，
，
，，
则该椭圆的离心率的取值范围是，，
故答案为：，．
例85．（2022·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.
【答案】
【解析】，，
又，，
解得，则.
故答案为
例86．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率，
故选：A.
例87．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，若，则该椭圆的离心率不可能是（ ）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设．因为点M在椭圆C上，所以，所以．
因为，所以，解得．
由题意可知，
即．
由，可得，即，显然成立．
由，可得，则．
又，所以，
因为，，，，
故选：A．
例88．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，所以，即，
若，则，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；
②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或
当时，则，即，则，
当时，则有，则，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是.
故选：A.
方向9：利用椭圆第三定义．
例89．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题可知，，设，由点P在椭圆上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案为：.
例90．（2022·全国·高三专题练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题得：，所以
故选：A．
例91．（2022·全国·高三专题练习（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法1：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
解法2：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
【方法技巧与总结】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型七：椭圆的简单几何性质问题
例92．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，则椭圆E的长轴长为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的方程为，
所以，，，
又椭圆的离心率为
所以，解得，
所以,
所以椭圆E的长轴长为．
故选：C.
【方法技巧与总结】例93．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆为其左焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，若（为原点），则椭圆的长轴长等于（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的左焦点为，所以，
又垂直于轴，在椭圆上，故可设，
所以，又，所以，
又
所以．，
解得从而，
故选：C.
例94．（2022·湖南湖南·二模）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，点P在椭圆C标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长，短轴长
离心率
（注：离心率越小越圆，越大越扁）
上，的周长为16，则___________.
【答案】5
【解析】设焦距为2c，因为的周长为16，
所以，化简得①.
又，所以，
可得②，由①②，解得.
故答案为：5
例95．（2022·全国·高三专题练习）椭圆的焦距为4，则m的值为___________.
【答案】7或11
【解析】在椭圆中，由已知可得，解得.
若椭圆的焦点在x轴上，
可得，
解得；
若椭圆的焦点在y轴上，
可得，
解得.
因此，或11.
故答案为：7或11．
例96．（2022·贵州省思南中学高三阶段练习（文））已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，，
所以该圆的方程为：，
由，消去y得：解得，又∵P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上，
由于的左右顶点横坐标分别为-3和3，
∴为使为锐角，
的取值范围是
又动点坐标在第一象限，
故答案为：．
例97．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆满足，长轴上2021个等分点从左至右依次为点，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；以此类推，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，点在x轴上方；则4042条直线的斜率乘积为___________．
【答案】
【解析】由椭圆的对称性可知：，
同理可得：，
所以4042条直线的斜率乘积为.
故答案为：
题型八：利用第一定义求解轨迹
例98．（2022·全国·高三专题练习）已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．
【答案】或
【解析】，且△ABC的周长等于16，
，故顶点的轨迹是以为焦点的椭圆，除去与轴的交点，
，，
，故顶点的轨迹方程为或故答案为：或
例99．（2022·全国·高三专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线
【答案】C
【解析】因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，
当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；
当 时，，此时动点 的轨迹是线段．
故选：C．
【方法技巧与总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
例100．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，
，，，则，
所以点轨迹方程是．
故选：C．
例101．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（ ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6D．M到两定点，的距离之和为8
【答案】BD
【解析】因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；
因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合，
故选：BD
例102．（2022·全国·高三专题练习）设为椭圆的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点P的轨迹的方程为______．
【答案】
【解析】对椭圆，其左焦点的坐标为，设点的坐标分别为，
因为点是线段的中点，故可得，即，
又点在椭圆上，故，即，整理得：.
故答案为：.
例103．（2022·全国·高三专题练习）已知、动点满足，则动点的轨迹方程_______．
【答案】
【解析】因为，所以，点的轨迹是以、的椭圆，
且，则，，则，
因此，动点的轨迹方程为.
故答案为：.
例104．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：和圆：，动圆同时与圆外切和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
【答案】
【解析】由圆：可得圆心，半径，
由圆：可得圆心，半径，
设圆的半径为，因为动圆同时与圆外切和圆内切，
所以，，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，
所以，，，
所以动圆的圆心的轨迹方程为：，
故答案为：.
例105．（2022·全国·高三专题练习）动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是___________.
【答案】
【解析】因为动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，
所以，即，
整理可得：，即，
故答案为：.
例106．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________.
【答案】()．
【解析】由圆，圆得到，半径，，半径，
设动圆的半径为，∵圆在圆内，∴动圆只能在内与圆内切，不能是在动圆内，即：，
∵动圆与圆外切，∴，∵动圆与圆内切，∴，
∴，即到和到的距离之和为定值，
∴是以、为焦点的椭圆，且，，所以，
∴动圆圆心的轨迹方程为，又圆过点，椭圆也过点，而点显然不在圆上，
所以所求轨迹方程为：.
故答案为：.
例107．（2022·全国·高三专题练习（理））设F1，F2为椭圆的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．
【答案】x2＋y2＝4
【解析】
由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|OD|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4.
故答案为：
例108．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，已知△ABC的两顶点坐标，，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=2，动点C的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】由题意结合切线长定理可得，，，
所以，
所以动点C的轨迹是以，为焦点的椭圆（不在x轴上），且该椭圆满足，，所以，
所以该椭圆方程为.
故答案为：.
例109．（2022·全国·高三专题练习）一动圆与圆：内切，且与圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】由题意，圆：的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为，
设动圆的圆心，半径为，
动圆与圆：内切，与圆：外切，
所以，，
所以，
所以的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，且，，
所以，
椭圆的方程为.
故答案为：．
例110．（2022·辽宁·沈阳二中高三阶段练习（理））一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】设动圆半径为，根据题意知：，，故.
故轨迹为椭圆，，，故，故轨迹方程为：.
故答案为：.
例111．（2022·江西宜春·高三阶段练习（文））已知定点,直线相交于点，且它们的斜率之积为，则动点的轨迹方程为_______．
【答案】【解析】设点，

动点的轨迹方程为
例112．（2022·广东湛江·一模（理））已知圆，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】设的中点为，切点为，连，，则三点共线，且，
取关于轴的对称点，连，根据中位线的性质有．且当在时也满足题意.
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆．其中，，，则动点的轨迹方程是．
故答案为：．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）椭圆：的左、右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于A，两点，若的周长为16，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，即，所以椭圆的离心率.
故选：A.
2．（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知：，因为，
所以，整理得，
所以，得，.
故选：A
3．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知集合关于的方程无实数根方程表示椭圆，则（ ）
A．B．点
C．D．
【答案】D
【解析】由无实根，则，即，
由表示椭圆，则，可得或，
所以，或.
故.
故选：D
4．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知分别为椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，设，由椭圆定义得，
由于以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，
所以，即，
整理得，得，得，所以．
故选：A
5．（2022·湖南·高三开学考试）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）､（2）､（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别，设图（1）､（2）､（3）中椭圆的离心率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为椭圆的离心率，
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.由，
所以.
故选：B.
6．（2022·江西·高三阶段练习（文））设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，则，从而．设左焦点为，
则，所以B为短轴端点，
所以．
故选:C．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（ ）
A．B．，
C．D．，
【答案】A
【解析】因为椭圆方程为=1，所以椭圆得离心率，
设点M到椭圆右准线的距离为d，根据椭圆第二定义有：
，所以，所以
表示椭圆上一点M到椭圆内定点P和到椭圆右准线的距离之和，
当垂直于右准线时，取得最小值.此时的纵
坐标为-1，代入椭圆方程=1，求得的横坐标为.
所以点M坐标为，故B，C，D错误.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以离心率
故选：．
二、多选题
9．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】不妨设焦点在轴上且为右焦点，显然不会是右顶点，
分类讨论：①若为左顶点，为右顶点，则，解得，此时离心率；
②若为左顶点，为上（下）顶点，则，无解，不满足；
③若为上（下）顶点，为左（右）顶点，则，无解，不满足；④若为上（下）顶点，下（上）顶点，则，解得，，，此时离心率为，
故选：AB.
10．（2022·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C的两个焦点分别为，若曲线C上存在点P满足，则曲线C的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】AC
【解析】若曲线是椭圆则其离心率为；
若曲线是双曲线则其离心率为；
故选：AC
11．（2022·全国·高三专题练习）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】AC
【解析】由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或.
当时，将代入可得，所以的面积为.
当时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得.
因为，
所以，此时的面积为
综上所述，的面积为4或.
故选：.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ）
A．的离心率为B．的周长为
C．D．
【答案】CD
【解析】对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误；
对于B，由椭圆定义知：，，
的周长为，B错误；
对于C，当为椭圆短轴端点时，，
，，即，
，C正确；
对于D，，，，D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是________.
【答案】
【解析】双曲线的焦点在轴上，且焦点为，
所以椭圆的焦点在轴上，且，
依题意，椭圆短半轴，则，
所以椭圆的方程为.
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．
【答案】
【解析】依题意可知，设，，
因为四边形为平行四边形，所以，又因为，，所以，
因为，且直线的倾斜角为60°，所以，所以，，，所以，
将其代入，得，又因为，所以，．
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，直线和的斜率分别为、，写出一个满足的椭圆的方程：___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可知、、，
则，，
所以椭圆的方程可以为（只需满足即可）.
故答案为：（只需满足即可）.
16．（2022·全国·高三专题练习）因为正三角形内角余弦值为，所以有人将离心率为的椭圆称为“正椭圆”.已知“正椭圆”C：的上下顶点分别为，且“正椭圆”C上有一动点P（异于椭圆的上下顶点），若直线的斜率分别为，则为______.【答案】
【解析】因为椭圆C：，所以上下顶点的坐标分别为，
设，则且，即，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为20，半焦距长为6，求椭圆的标准方程．
（2）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，求圆的标准方程．
【解析】（1）因为椭圆的长半轴为，半焦距长为，
所以短半轴，所以椭圆方程为.
（2）由题意设圆心坐标为，
再由圆与轴的交点分别为，，可得，
则圆心坐标为，半径．
该圆的标准方程是.
18．（2022·全国·高三专题练习）椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．
【解析】（1）由题意得，解得，
又因为点在椭圆C上，
带入得，所以椭圆的标准方程为.
（2）易得直线l的解析式为，
设，联立椭圆的方程
得
，
所以．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
【解析】（1）设点的坐标为，，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，，，，动点的轨迹的方程为．
（2）显然直线的斜率存在且不等于，设，，则，，又、在椭圆上，所以，，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；
20．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知椭圆，左焦点为，上顶点为，直线BF与椭圆交于另一点Q，且，且点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，，M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形.
【解析】（1）因为，， ，故，故，所以即，
而在椭圆上，故，故，解得，
所以，故椭圆方程为：.
（2）设，，故，而，
由可得，同理.
,
因为在椭圆上，故，故即，
而所以，
故是等腰三角形.