最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题05 极值点偏移问题与拐点偏移问题

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题05 极值点偏移问题与拐点偏移问题
【考点预测】
1.极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。

图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。
【方法技巧与总结】
1.对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.
(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．
(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．
(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效
2.应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
3. 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
【题型归纳目录】
题型一：极值点偏移:加法型
题型二：极值点偏移:减法型
题型三：极值点偏移:乘积型
题型四：极值点偏移:商型
题型五：极值点偏移:平方型
题型六：拐点偏移问题
【典例例题】
题型一：极值点偏移:加法型
例1．（2022•浙江期中）已知函数有两个不同的零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
例2．（2022•汕头一模）已知函数有两个相异零点，．
（1）求的取值范围；（2）求证：．
例3．（海淀区校级月考）已知函数，．
（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若，求的零点个数；
（Ⅲ）若有两个零点，，证明：．
例4．（2022•江门一模）已知函数，是常数．
（Ⅰ）求曲线在点，（2）处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；
（Ⅱ）证明：时，设、是的两个零点，且．
题型二：极值点偏移:减法型
例5．（2022•七星区校级月考）已知函数．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．
例6．（2022•常熟市月考）设函数，，其中．
（1）若，证明：当时，；
（2）设，且，其中是自然对数的底数．
①证明恰有两个零点；
②设如为的极值点，为的零点，且，证明：．
例7．（2022•黄州区校级模拟）已知函数，的导数为．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，方程有两个不同的零点，，求证：．
例8．（2022•道里区校级二模）已知函数，为函数的导数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，，，求证：．
题型三：极值点偏移:乘积型
例9．（2021春•汕头校级月考）已知，函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，
求的取值范围；
设的两个零点分别为，，证明：．
例10．（2022•攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．
例11．（2022•张家口二模）已知函数是自然对数的底数）有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若的两个零点分别为，，证明：．
例12．（2022•武进区校级月考）已知函数．
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；
（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明．
题型四：极值点偏移:商型
例13．已知函数有两个相异零点、，且，求证：．
例14．（2022•新疆模拟）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．
例15．（2021春•湖北期末）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．
例16．（2022•宁德三模）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．
题型五：极值点偏移:平方型例17．（2022•广州一模）已知函数．
（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：．
例18．（2022•浙江开学）已知，（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．
例19．（2021秋•泉州月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若是自然对数的底数），且，，，证明：．
例20．（2022•开封三模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，证明：．
题型六：拐点偏移问题
例21．已知函数．（1）求曲线在点，（1）处的切线方程．
（2）若正实数，满足，求证：．
例22．已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：．
例23．已知函数，．
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．
【过关测试】
1．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）．(1)，求函数在处的切线方程．
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，且，证明：．
2．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
3．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数
(1)求证：当时，；
(2)当方程有两个不等实数根时，求证：
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，（其中是自然对数的底数）
(1)试讨论函数的零点个数；
(2)当时，设函数的两个极值点为、且，求证：.
6．（2022·安徽淮南·二模（理））已知函数．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数恰有三个零点，证明：．
7．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数.
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.
8．（2022·山东·青岛二中高三期末）已知函数，.
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若时，都有，求实数a的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数，满足，证明：.
9．（2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数，求的单调区间；
(3)当时，若函数恰有两个不同的极值点、，且，求证：.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数，）．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若存在，满足，求证：．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：①；
②.
13．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)已知，且，若，求证：.