最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题23 立体几何中的压轴小题

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题23 立体几何中的压轴小题
【题型归纳目录】
题型一：球与截面面积问题
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
题型四：立体几何中的交线问题
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
题型六：空间角问题
题型七：立体几何装液体问题
【典例例题】
题型一：球与截面面积问题
例1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知球O的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，若，则（ ）
A．2B．C．D．
例2．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））已知正四棱柱中，，E为的中点，P为棱上的动点，平面过B，E，P三点，有如下四个命题：
①平面平面；
②平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形；
③当P与A重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为；
④存在点P，使得AD与平面所成角的大小为．
则正确的命题个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
例3．（2022·四川资阳·高二期末（理））如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上．给出下列命题：
①存在点P，使得直线平面ACF；
②存在点P，使得直线平面ACF；
③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；
④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是．
其中所有真命题的序号（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．①③④
例4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，为中点．若底面所在平面上有一个动点，且始终保持，过点作的垂线，垂足为．当点运动时，
①点在空间形成的轨迹为圆
②三棱锥的体积最大值为
③的最大值为2
④与平面所成角的正切值的最大值为
上述结论中正确的序号为（ ）．
A．①②B．②③C．①③④D．①②③
例5．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知正三棱锥的高为3，侧棱与底面所成的角为，为棱上一点，且，过点作正三棱锥的外接球的截面，则截面面积的最小值为（ ）A．B．C．D．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且．过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：
①异面直线与直线所成角的大小为定值；
②二面角的大小为定值；
③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为；④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行．
其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例10．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知正方体为对角线上一点（不与点重合），过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论不正确的是（ ）
A．只可能为三角形或六边形
B．平面与平面的夹角为定值
C．当且仅当为对角线中点时，的周长最大
D．当且仅当为对角线中点时，的面积最大
例11．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（ ）
A．存在最大值，最大值为B．存在最小值，最小值为
C．为定值D．不确定，与，的位置有关
例12．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，点P，Q分别为的中点，G在侧面上运动，且满足G∥平面，以下命题错误的是（ ）
A．
B．多面体的体积为定值
C．侧面上存在点G，使得
D．直线与直线BC所成的角可能为
例13．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题：
①四边形一定是平行四边形；
②四边形有可能是正方形；
③平面有可能垂直于平面；
④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线；
⑤四棱锥的体积为定值．
以上命题中真命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例14．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．三棱锥的体积为定值
C．D．的最小值为
例15．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D．DP与平面所成角的正弦值最大为
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：
①若点在线段上运动，则始终有；
②若是棱中点，则直线与是相交直线；
③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；
④为中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为；
以上命题为真命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例17．（2022·江西南昌·三模（理））已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点．过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例19．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论：
①线段的长度为；②点到面的距离范围为；
③周长的最小值为；④的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为（ ）
A．B．C．D．
例20．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（ ）
A．存在最大值，最大值为B．存在最小值，最小值为
C．为定值D．不确定，与，的位置有关
例21．（2022·全国·高三专题练习（理））已知某正四棱锥的体积是，该几何体的表面积最小值是，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是，则和的值分别是（ ）
A．3；B．4；C．4；D．3；
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知棱长为的正方体，棱中点为，动点、、分别满足：点到异面直线、的距离相等，点使得异面直线、所成角正弦值为定值，点使得．当动点、两点恰好在正方体侧面内时，则多面体体积最小值为（ ）
A．B．C．D．
例23．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与不重合），有以下四个结论：
①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面；
③若的周长为L，则L的最小值为；
④若的面积为，则．
则正确的结论为（ ）
A．①③B．①②③C．①②④D．②④
例24．（2022·河南·模拟预测（文））已知四面体的所有棱长均为，、分别为棱、的中点，为棱上异于、的动点．有下列结论：
①线段的长度为；
②存在点，满足平面；
③的余弦值的取值范围为；
④周长的最小值为．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．②③④
例25．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例26．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））如图，正方形的中心为正方形的中心，，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥（，，，四点重合于点），则此四棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例27．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））在棱长为3的正方体中，P为内一点，若的面积为，则四面体体积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
例28．（2022·四川省宜宾市第四中学校三模（理））函数，设球O的半径为，则（ ）
A．球O的表面积随x增大而增大B．球O的体积随x增大而减小
C．球O的表面积最小值为D．球O的体积最大值为
题型四：立体几何中的交线问题
例29．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（ ）
①点的轨迹长度为；
②线段的轨迹与平面的交线为圆弧；
③的最小值为；
④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为
A．B．C．D．
例30．（2022·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一个半径为的球，则该球的球面与侧面的交线长度为（ ）
A．B．C．D．
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，球的半径为，则正四面体表面与球面的交线的总长度为
A．B．C．D．
例32．（2022·四川成都·模拟预测（理））如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD＝3，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体C－ABD，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（ ）
A．点P落在三棱锥E－ABC内部的概率为
B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为C．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则点P的轨迹长度为
D．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则线段长度为定值
例33．（2022·江苏徐州·高二期中）如图1，在正方形中，点为线段上的动点（不含端点），将沿翻折，使得二面角为直二面角，得到图2所示的四棱锥，点为线段上的动点（不含端点），则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A．､､､四点一定共面
B．存在点，使得平面
C．侧面与侧面的交线与直线相交
D．三棱锥的体积为定值
例34．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体的棱长是2，E，F分别是棱和的中点，点P在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最大值为a．以A为球心，a为半径的球面与底面的交线长为（ ）
A．B．C．D．
例35．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知正四棱柱中，，为的中点，为棱上的动点，平面过，，三点，则（ ）
A．平面平面
B．平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形
C．当与A重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为
D．存在点，使得与平面所成角的大小为
例36．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段是圆柱下底面的直径，点是下底面的圆心．线段是圆柱的一条母线，且．已知平面经过，，三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”．记平面与圆柱侧面的交线为曲线．则（ ）
A．曲线是椭圆的一部分B．曲线是抛物线的一部分
C．二面角的大小为D．马蹄体的体积为满足
例37．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．BP的最小值为
B． 的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥 的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面 的交线长为
例38．（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为a，M是的中点，则（ ）
A．任意，
B．存在，直线与直线BM相交
C．平面与底面交线长为定值D．当时，三棱锥外接球表面积为
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
例39．（2022·山东·高一阶段练习）已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例41．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体中，点满足，点在平面内，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例42．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
例43．（2022·湖北·高一阶段练习）已知正方体的棱长为2，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．时，B．时，的最小值为C．时，直线与面的交点轨迹长度为D．时，正方体被平面截的图形最大面积是
例44．（2022·湖南岳阳·三模）如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥外接球的体积为
B．异面直线与所成角的正弦值为
C．当点M在棱上运动时，最小值为
D．N是所在平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线
例45．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
C．当时，长度的最小值为
D．当时，与平面所成的角不可能为
例46．（2022·全国·模拟预测）如图，点M是棱长为1的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在无数个点M满足
B．当点M在棱上运动时，的最小值为
C．在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是
D．满足的点M的轨迹是一段圆弧
例47．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例48．（2022·浙江·高三专题练习）在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则C．可能值为
D．当取值最大时，
例49．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例50．（2022·浙江台州·高三期末）已知在正方体中，点为棱的中点，直线在平面内．若二面角的平面角为，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例51．（2021·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例52．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知点P是正方体上底面上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例53．（2022·全国·高三专题练习）如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（ ）．
A．B．
C．D．
例54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则（ ）
A．当增大时，先增大后减小B．当增大时，先减小后增大
C．当增大时，先增大后减小D．当增大时，先减小后增大
题型七：立体几何装液体问题
例55．（2022·全国·高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．2
例56．（2022·全国·高一课时练习）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ ）

A．B．
C．2D．
例57．（2022·湖北宜昌·一模（文））已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2．在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）
①液面刚好同时经过，，三点；
②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为；
③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为．
A．0B．1C．2D．3
例58．（2022·全国·高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例59．（2022·全国·高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例60．（2022·重庆·高二期末（文））已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（ ）
A．B．C．D．
例61．（2022·福建厦门·高一期末）如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，．固定容器底而一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例62．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题是（ ）
A．水面所在四边形的面积为定值
B．随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行
C．没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形
D．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值
例63．（2022·山东·高三专题练习）一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个