【导数大题】题型刷题突破 第14讲 零点问题之取点技巧

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2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
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第14讲 零点问题之取点技巧
一、解答题
1．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二期末（理））已知函数
（1）当，求函数的单调区间；
（2）若有且只有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.
【分析】
（1）求导函数，结合定义域由得单调递减区间，由得单调递增区间；
（2）求得，，分讨论：当时，单调递增，由零点存在性定理可作出判断；当时，可直接代入判断；当时，有最小值，再分讨论可得结果.
【详解】
（1）当时，，（），则.
由得；由得.
所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）依题意得，，
① 当时，恒成立，单调递增，
，取且，则，
所以，存在唯一，使，符合题意；
② 当时，，，
无零点，与题意不符；
③ 当时，由得，
当，，单调递减；，，单调递增.所以.
（i）当时，，有唯一零点，符合题意.
（ii）当时，令，，
则，所以在单调递减，
由，所以，又，，
所以无零点，与题意不符.
（iii）当时，显然，
又，，
，使；
设，则，
令，则，
所以函数即在单调递增，从而，
所以在单调递增，又，
，
，使得，
有个零点，与题意不符.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：第（2）问在讨论时，关键点是由零点的存在性定理寻找包含零点的区间.
2．（2021·天津·耀华中学高三月考）已知函数（是自然对数的底数，且）.
（1）求的单调区间；
（2）若是函数在上的唯一的极值点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，得到在内无变号根或无根；设，通过讨论的范围，求出函数的最小值，得到关于的不等式，解出即可；
（3），，令，通过讨论的范围，去掉绝对值，结合函数的零点个数，确定的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵，∴
当时，时，，单调递增，时，，单调递减；
当时，时，，单调递减，时，，单调递增；
综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题意可求得
，
因为是函数在上的唯一的极值点，
所以在内无变号根或无根.
设，则，
①当且时，，，
所以在上单调递增，，符合条件.
②当时，令得，
，，递减，，，递增.所以，即；
综上所述，的取值范围为
（3）由题意得：，，
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.
（ⅰ）当时，，则，所以.
因为，，所以，因此在上单调递增.
（ⅱ）当时，，则，所以.
因为，，，∴，即，又，
所以，因此在上单调递减.
综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，
因为函数有两个不同的零点，所以，
即且，
而当且时，
①当时，，
∴，故在内有1个零点；
②当时，，
∴，
故在内有1个零点；
所以当且时，有两个零点，
故的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
3．（2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数．
（1）试讨论函数的零点个数；
（2）若当时，关于x的方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【分析】
（1）由已知有，当显然有一个零点，当时由的符号研究单调性，进而根据极值与0的关系，结合零点存在性定理，即可知的零点个数；
（2）由题设，若，若，再由导数研究在上的单调性，根据，讨论、，构造中间函数研究单调性，结合零点存在性定理确定实数解的个数，进而求参数a的范围.
【详解】
（1）根据题意，得，有：
①若，则，此时函数在R上单调递增，又，故函数只有一个零点；
②若，令，则，
∴有，此时在上单调递增，
有，此时在上单调递减，
∴，
（ⅰ）当，即时，则，此时只有一个零点；
（ⅱ）当时，即时，则，又时，﹔时，，由零点存在定理可得：此时函数在R上有两个零点．
综上，当或时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点．（2）设，，
设，，由得，，，
∴，在上单调递增，即单调递增，，
①当，即时，时，，在单调递增，又，此时关于x的方程有且只有一个实数解，
②当，即时，由（1）知，
∴，则，又，故，
当时，单调递减，又，
∴在内，关于x的方程有一个实数解1，
当时，单调递增，且，令，
若，故在单调递增，则，
∴时，在单调递增，故，即，又，由零点存在定理可知，，，
∴在，关于x的方程有两个实数解，
综上，当时关于x的方程有且只有一个实数解，则．
【点睛】
关键点点睛：
（1）讨论参数，利用导数研究单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数.
（2）设，应用导数可得单调递增且，讨论、并构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断实数解的个数.
4．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设，若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（2）求出的导数，讨论的范围，判断函数的单调性，利用零点存在性定理进行判断.
【详解】
解：（1）当时，，，
，，
∴切线方程为即；
（2）∵，
∴.
①当时，在上单调递增，在上单调递减.
∵，.∴在上有且只有一个零点.
取，使，且，则.
即有两个不同的零点.
②当时，，此时只有一个零点.
③当时，令，得或.
当时，，恒成立，∴在上单调递增.
当时，即.若或，则；
若，则.
∴在和上单调递增，在上单调递减.当时，即.若时，
若，则.
∴在和上单调递增，在上单调递减
当时，∵，
.
∴无零点，不合题意.
综上，有两个零点的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.
5．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知函数，其中，为自然对数的底数.
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
【答案】（Ⅰ）当时， ；当 时， ；
当时， .（Ⅱ） 的范围为.
【详解】
试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.
试题解答：（Ⅰ）
①当时，，所以.②当时，由得.
若，则；若，则.
所以当时，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，所以.
（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，
在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则不可能恒为正，也不可能恒为负.
故在区间内存在零点.
同理在区间内存在零点.
所以在区间内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.
所以.
此时，在上单调递减，在上单调递增，
因此，必有
.
由得：，有
.
解得.
当时，在区间内有最小值.
若，则，
从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.
又，
故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以，，
故在内有零点.
综上可知，的取值范围是.
【考点定位】导数的应用及函数的零点.
6．（2021·四川资阳·高三月考（理））已知函数．
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先求导，再对参数进行分类讨论，根据零点存在定理即可求解.
(2) 先求导，再对参数进行分类讨论，根据单调性即可求解
（1）
解：由，得，
若，则，单调递增，不 可能有两个零点，不符合题意；
若，令，得，则时，，单调减；
则时，，单调增，则在时取得极小值，也即为最小值，
又时，；时，，函数有两个零点，则有，即，解得．
所以，有两个零点时，的取值范围是．
（2）
解：不等式，即，则，，．
①当时，，令，则，由，则，故即在时单调递增，则，
所以在时单调递增，故，所以成立．
②当时，，，
则，使得，由上可知在时单调递增，
则当时，，则单调递减，所以，不满足条件．
综上所述，的取值范围是．
7．（2021·四川省德阳中学校高三月考（理））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恰有三个零点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）先求导，然后分类讨论，利用导数法求单调性即可；
（2），易知有一个零点0，令，
要使有三个零点，只需要有两个不为0的零点，再利用导数法研究函数的零点，即可求解
【详解】
（1），定义域为，
①当时，在单调递减，在单调递增：
②当时，由得或，
（i）当时，在上单调递增，（ii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
（ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
综上，当时，在单调递减，在单调递增：
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增：
当时，在上单调递增：
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
（2），易知，即有一个零点0，
令，
要使有三个零点，只需要有两个不为0的零点，
若的零点为0，即，解得，
此时有两个零点，但有一个零点是0，此时只有两个零点，故；
又
①当时，，则在上单调递增，故至多有一个零点，不合题意；
②当且时，在上单调递减，在上单调递增，
，
（i）当时，，故至多有一个零点，不合题意，舍去：
（ii）当且时，，
因为，所以在上有唯一零点
由（1）知，当时，，则当且时
所以在上有唯一零点，从而在上有两个零点，此时有三个零点.综上，恰有三个零点时的取值范围是.
8．（2021·安徽·六安一中高二月考（理））已知函数（是自然对数的底数），是的导函数．
（1）证明：当时，；
（2）记，若，讨论在上的零点个数．（参考数据）
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）将所证不等式等价转化为，设，，利用导数分析函数在区间上的单调性，由可证得结论成立；
（2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】
（1）证明：由题意，
当时，要证，即证，
设，，
则，
故在区间上为减函数，所以，即原命题得证；
（2）由己知得，则，
设，则，
当时，，当时，，
从而得在上单调递增，在上单调递减，
又，.
①当，即时，，故，故存在，使得，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，且是的极大值点．
由，得，又，故由零点的存在性定理得，
在上有且仅有一个零点；
②当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
，所以存在，，使得，
且当或时，；当时，，
故在、上单调递减；在上单调递增．
由，得，因为，所以
又，
由零点的存在性定理可得，在和上各有一个零点．
综上所述：当时，在上有且仅有一个零点；
当时，在上有两个零点．
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
9．（2021·河南·郑州外国语中学高三月考（理））设函数，（其中）（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)；(2)单调区间见解析；(3)当时，在R上只有一个零点，当时，在R上有两个零点.
【分析】
(1)时，对求导并求出在点1处的导数值，再利用点斜式写出切线方程即可；
(2)对求导得，按k的取值情况讨论以确定值为正、为负的x取值区间即可得解；
(3)按与分别讨论，结合零点存在性定理分析判断即可作答.
【详解】
(1)当时，，，则有，于是得，即，
所以函数在处的切线方程；
(2)依题意，，
当时，当时，，当时，，于是得在上单调递减，在上单调递增，
当时，由得或，
当时，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，
当时，，当且仅当x=0时取“=”，在R上单调递增，
当时，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，
所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在和上都单调递增，在上单调递减，当时，在R上单调递增，
当时，在和上都单调递增，在上单调递减；
(3)因，则当时，，即，解得，即在R上只有一个零点，
当时，显然，而，又在上单调递增，于是得在上只有一个零点，
当时，，则，取，于是得，
又在上单调递减，于是得在上只有一个零点，
因此得在R上有两个零点，
所以，当时，在R上只有一个零点，当时，在R上有两个零点.
10．（2021·吉林·长春外国语学校高二期末（理））已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：函数恰有两个零点．
【答案】（1）当时，函数在区间单调递增；当时，函数在区间单调递减，在区间单调递增；（2）证明见解析．
【分析】
（1）对函数求导，通过对参数分类讨论即可判断导函数的正负，从而判断函数的单调性
（2）题目考察零点存在性定理的判断，在时，根据（1）可以确定函数的单调性为先减后增，若有两个零点，则需要最小值小于0，求出最小值关于的表达式，再根据即可证明；且两边均有大于0的部分，需要通过取点证明，有一定难度
【详解】
（1）对函数求导得： ，
所以，当时，恒成立，所以在单调递增
当时，令得：；令得：，所以在单调递减，在单调递增
（2）当时，由（1）得：在单调递减，在单调递增
所以，
令，；则在时恒成立，所以单调递增，且，所以恒成立，即恒成立
因为，所以，且
，且
所以存在 ，，使得：
所以，当时，函数恰有两个零点
【点睛】
（1）考察单调性的讨论，求导对参数进行分类讨论即可，属于基础题
（2）零点存在性定理的考察，易得函数最小值小于0恒成立，且极值点左边，难点主要是极值点右边的取点，该点大于且函数值大于0，根据恒成立，所以考虑到，所以在右边取点，代入证明，则取点正确
11．（2021·江苏·金陵中学高三开学考试）已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）设，若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）当时，，对其求导判断单调性，比较极值和端点值即可得最值；
（2）求出，再分情况，和时，判断函数的单调性以及极值，求解函数的零点，即可求解.
【详解】（1）当时，，可得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，，，
所以，．
（2）因为，
可得：．
①当时，，此时只有一个零点，故不成立；
②当时，在上单调递减，在上单调递增．
因为，，
当时，；
当时，，．
有两个不同的零点，成立；
③当时，令，得或．
当时，，恒成立，
在上单调递增，至多有一个零点；
当时，即．
若或，则；若，则．
在和上单调递增，在上单调递减．
当时，即．
若或，则；若时，则．在和上单调递增，在上单调递减．
当时，，
．
仅有一个零点，不合题意．
综上，有两个零点，的取值范围是．
【点睛】
思路点睛：利用导数研究函数的最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；
②在定义域内，解不等式和得到单调性；
③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.
12．（2021·广东东莞·高二期末）已知函数，.
（1）证明恒成立；
（2）用表示m，n中的最大值.已知函数，记函数，若函数在上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）在上恒成立等价于在上恒成立，记，利用导数可得.
（2），①时无零点；②当时，分、 判断零点；③当时 考虑在上的零点情况，由分、、、时判断在上零点可得答案.
【详解】
（1）由题得的定义域为，
则在上恒成立等价于在上恒成立，记，则，.
当时，；时，，
故在上单调递减，上单调递增，
所以，即恒成立.
（2）由题得，
①当时，，此时无零点.
②当时，，
a.当，即时，是的一个零点；
b.当，即时，不是的一个零点；.
③当时，恒成立，因此只需考虑在上的零点情况.
由，
a.当时，，在上单调递增，且，
当时，，则在上无零点，故在上无零点；
当时，，则在上无零点，故在上有1个零点；
当时，由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；
所以，.
b.当时，由得，
由时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；所以，.
综上所述，时，在上恰有两个零点.
13．（2021·湖北孝感·高二期末）已知函数，为的导函数.
（1）设，求证：在上存在唯一零点；
（2）求证：在有且仅有两个不同的零点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求得，利用求得在上的单调性，结合零点的存在性定理证得结论成立.
（2）结合（1）得在上的唯一零点，由此判断出的单调区间、极大值点，由，结合零点存在性定理证得结论成立.
【详解】
（1），
当时，，
所以在上单调递减，
又因为，，
所以在上有唯一的零点，所以命题得证；
（2）当时， ，
由(1)知在上有唯一的零点，即，
当时，，在上单调递增;
当时，，在上单调递减;
所以在上存在唯一的极大值点，
所以，又因为，
所以在上恰有一个零点．
又因为，
所以在上也恰有一个零点．
在有且仅有两个不同的零点．
【点睛】
本题实际上是通过研究二阶导数来研究一阶导数，由此来研究原函数的性质.
14．（2021·重庆八中高三月考）已知函数的导函数为.
（1）当时，求证：；
（2）若只有一个零点，求m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，再构造，判断其单调性即可知，从而得证；
（2）利用第一问结论，根据分类讨论函数的单调性或范围，再结合零点存在性定理即可解出．
【详解】
.
（1）当时，
设，则，所以在上单调递增，在单调递减，又由于，故.
由于，所以，即.
（2）注意到.
①若，，所以在上单调递减，取，则
故存在唯一的a使得，即在上只有一个零点.
②若，当时，，而，所以；
当时，.
故，即在上无零点.
③当时，，，所以在上单调递增.
设且，当时，.
故存在唯一的b使得，即在只有一个零点.
综上，若只有一个零点，.
【点睛】
本题第一问利用导数求函数最值，解法常规；第二问，由函数的零点个数求参数取值范围，因为函数形式较麻烦，没用使用常见的分参转化为函数的图象交点个数去求解，而是含参讨论，难点在于利用第一问结论对函数的单调性的研究，以及合理的取值构造，创造零点存在性定理的使用条件，从而解出，思维难度较大．
15．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数.
（1）若的图象在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）在（1）的条件下，证明：当时，；
（3）当时，求的零点个数.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）有一个零点.
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可
（2）利用导数，得到在上单调递增，由，即可证明在上恒成立
（3）由（2）可知当且时，，即在上没有零点，再根据，，得到， 对进行讨论，即可求解【详解】
解：（1）因为的图象在点处的切线与直线平行，
所以，
因为，
所以，解得.
（2）由（1）得当时，，
当时，因为，所以在上单调递增，
因为，所以在上恒成立.
（3）由（2）可知当且时，，
即在上没有零点，
当时，，
令，，
则单调递增，
且，
，
所以在上存在唯一零点，记为，
且时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以，，
因为，所以，所以在上存在唯一零点，且在上恒小于零，
故时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
所以在上至多有一个零点，
取，
则有，
所以由零点存在定理可知在上只有一个零点，
又f(0)不为0，所以在上只有一个零点.
【点睛】
关键点睛：当时，，令，，则单调递增，且
，，所以在上存在唯一零点，记为，进而得到所以在上存在唯一零点，进而讨论求解，属于难题
16．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（文））已知函数，．
（1）求在的极值；
（2）证明：在有且只有两个零点．
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求得，利用导数分析函数在上的单调性，由此可得出函数在的极值；
（2）利用导数分析函数在区间、上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】（1）由，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，无极大值；
（2）证明：，其中.
则，令，则.
当时，，则在上单调递减，
，，
所以，存在，使得.
当时，，此时函数在上单调递增，
当时，，此时函数在上单调递减.
,
而，，则，又，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，所以，.
由零点存在定理可知，函数在上有两个零点；
当时，，，
设，则对任意的恒成立，
所以，，
所以，函数在上没有零点，
综上所述，函数在上有且只有两个零点.【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
17．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）代入，求在处的导数和函数值，点斜式求直线方程；（2）求，分情况讨论不同取值时函数的单调性，研究函数的趋势，从而求出零点个数.
【详解】
解：（1）当时，
，，
切线方程为：，即
所以曲线在点处的切线方程为：.
（2）的定义域为

令，解得
①当时，与在区间上的情况如下：
在上递增，在上递减，在上递增.
此时，
，
所以在上只有一个零点，
②当时，，由得（舍），所以在上有一个零点.
③当时，与在区间上的情况如下：
此时，
若时，，所以在上无零点，
若时，，所以在上有一个零点，
若时，，
，
，
所以有两个零点.
综上所述：
当或时，在上有一个零点，
当时，在上有两个零点，
当时，在上无零点.
【点睛】
思路点睛：（1）研究函数的零点问题，可以参变分离，可以求导分类讨论.（2极大值
极小值
极小值
）分类讨论时，需确定函数的单调区间以及应用零点存在性定理确定是否有无零点.