【导数大题】题型刷题突破 第18讲 不等式恒成立之端点恒成立问题

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第18讲 不等式恒成立之端点恒成立问题
一、解答题
1．（2021·黑龙江·模拟预测（文））已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒有，求实数a的最小值.
【答案】
（1）增区间：，，减区间：
（2）
【分析】
（1）求出函数导数，求解不等式和可得；
（2）易得不符合题意，当，令，讨论的情况即可求出.
（1）
当时，，，
令或，，
的增区间：，，减区间：；
（2）
①当时：，
时：单调递减，不符合题意.
②当时：令，
若，则，令或，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，只需，
综上，a的最小值为.
2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求实数的值；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据, 求得，再根据在处取得极值，求得a，b的关系，然后由曲线在点处的切线与直线垂直求解.
（2）将不等式恒成立，转化为恒成立，由时，恒成立；当时，恒成立，令，求得其最大值即可.
（1）
解：,
；
函数在处取得极值，
；
又曲线在点处的切线与直线垂直，
；
解得：；
（2）
不等式恒成立可化为，
即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，
则；
令， 则；
令，
则；
得在是减函数，
故，
进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，
当时，没有意义，由洛必达法得，
．
3．（2021·黑龙江·模拟预测（理））已知函数，求：
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，总有，求整数的最小值.
【答案】
（1）
（2）-3
【分析】
（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.
（1）
当时，
在点处的切线方程为即
（2）
由题意，，即，即，又，恒成立.
令，
令，则恒成立.
在上递减，
，
使，即，则，
当时，，当时，
因为，且，，即整数k的最小值为-3
【点睛】
方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。
4．（2021·四川达州·一模（文））已知函数.
（1）若，求函数在上的零点个数；
（2）当时都有，求实数的取值范围.
【答案】
（1）只有一个零点
（2）
【分析】
（1）首先利用导数确定函数的单调性，再利用零点存在定理即可判断函数的零点个数（2）可通过讨论在的最小值，使恒成立，来确定实数的取值范围
（1）
因为，所以，，
因为，所以，所以在上是单调增函数，又因为，，
所以在上只有一个零点.
（2）
因为，所以，
令，，因为，
所以，为增函数，，
当时，即时，，即，
所以在上为增函数，，
所以时满足时都有；
当时，即时，，
又，
所以，使，
所以时，即，为减函数，，与矛盾，所以不成立，
综上实数的取值范围是
【点睛】
本题为函数综合问题，针对函数不等式恒成立问题，我们经常转化为函数最值问题，而函数最值问题，熟练地应用单调性法是突破的关键.
5．（2021·江苏南通·高三期中）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】
（1）单调递增区间为，；单调递减区间为（2）
【详解】
（1）时，，，
令，.
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）法一：常规求导讨论
.
①当时，令
且当时，，；当时，，.
注意到，时，符合题意.
②当时，，在上，
此时符合题意.
③当时，令，，
且当在上，上，上，
此时符合题意.
③当时，令，，
且当在上，上，上，
此时只需，显然成立.
④当时，令，，
且当在上，上，上.此时只需.
综上：实数的取值范围.
法二：参变分离
①时，不等式显然成立.
②当时，，令，
.
令且当时，，；当时，，，
∴，∴.
6．（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三月考（文））已知的图象在点处的切线与直线平行.
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若在上恒成立，求a的范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求导，利用计算求解即可；
（2）令，求导可得，分，，讨论，研究的单调性及最值，进而可得a的范围.
（1）
求导函数可得，
根据题意，即
（2）解：由（1）知，，
令，
i）当时，，在上单调递减，∴，舍.
ii）当时，令或，
①当时，，
若，则，若，则，
在上是减函数，在上是增函数，
所以在上，，即在上不恒成立.
②时，，当时，，在增函数，又，所以.
综上所述，所求a的取值范围是
7．（2021·江苏如皋·高三期中）已知函数，.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）若关于的不等式对任意的实数恒成立，其中为自然对数的底数，求的取值范围.
【答案】
（1）：
（2）.
【分析】
（1）代入，然后求导，通过导函数来判断原函数单调性，最后简单计算可得结果.
（2）对、进行讨论，然后通过对式子化简变形分离参数，进一步使用不等式，最后简单判断即可.
（1）当时，，，令，
且当时，，↗；当时，，↘，
∴.
（2）
对任意的恒成立，
即对恒成立，
当时，显然成立.
当时，，
由，
当且仅当，时取“”，∴取不到“”，即，
∴，的取值范围为.
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）在上单调递减
（2）
【分析】
（1）先求出，容易得到，对导函数再次求导，进而得到的符号，最后求出原函数的单调性；
（2）讨论和两种情况，当时进行参变分离，进而通过导数方法求出函数的最值，最后求出答案.
（1），由题意得，，
设，则，
易知当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，
∴在上单调递减．
（2）
当时，，满足题意；
当时，由题已知．
设，，
则
，
由（1）可知，当时，，即，∴当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴，即．
综上可知，实数a的取值范围是．
【点睛】导数的主要作用是判断函数的单调性，而导数值的符号与原函数的单调区间密切相关，因此判断导数值的符号至关重要，判断导数值的符号的关键在于寻找“零点”、因式分解，本题的难点就是对的因式分解.
9．（2021·河南·高三期中（理））已知函数．
（1）若函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求满足条件的示数的最大整数值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求，利用导数的几何意义求得在点处切线方程，由在轴上的截距为列方程即可得的值；
（2）由所给的不等式分离可得，令，利用导数判断的单调性和最小值，由即可求解.
（1）
函数的定义域为，，
则在点处切线的斜率为，又，
所以函数的图象在点处的切线方程为：，
即，所以，
因为其在轴上的截距为，所以，解得．
（2）
即，
又，所以，可得对于恒成立，
当时，令，则．
再令，则，所以在上单调递增；
又，，
所以使，即，使，
当时，，；当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，又因为，所以实数的最大整数值是．
【点睛】
方法点睛： 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
10．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三期中）已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若时，，求实数的取值范围.
【答案】
（1）0
（2）
【分析】
（1）由，求导， 由，，得到函数的单调性求解；
（2）将，，转化为(*)，令，用导数法证明即可.
（1）
解：当时，函数的解析式为，
则，
由，得，
当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数的最小值为．
（2）
若时，，
即(*)，
令，
则
令，则
，
∴函数在区间上单调递增，

①若，由于，
∴函数在区间上单调递增，
∴，∴（*）式成立；
②若，由于，
，
故，使得，
则当时，，即，
∴函数在区间上单调递减，
∴，即（*）式不恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是
11．（2021·四川资阳·一模（理））已知函数．
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）先求导，再对参数进行分类讨论，根据零点存在定理即可求解.
(2) 先求导，再对参数进行分类讨论，根据单调性即可求解
（1）
解：由，得，
若，则，单调递增，不 可能有两个零点，不符合题意；
若，令，得，则时，，单调减；
则时，，单调增，则在时取得极小值，也即为最小值，
又时，；时，，函数有两个零点，则有，即，解得．
所以，有两个零点时，的取值范围是．
（2）
解：不等式，即，
则，，．
①当时，，令，则，由，则，故即在时单调递增，则，
所以在时单调递增，故，所以成立．
②当时，，，
则，使得，由上可知在时单调递增，
则当时，，则单调递减，所以，不满足条件．
综上所述，的取值范围是．
12．（2021·四川·成都七中高三期中（文））已知函数，其中为常数．（1）当时，判断在区间内的单调性；
（2）若对任意，都有，求的取值范围．
【答案】
（1）判断见解析
（2）
【分析】
小问1：当时，求出导数，判断导数在上的正负，即可确定在上的单调性；
小问2：由得，令，将参数区分为，，三种情况，分别讨论的单调性，求出最值，即可得到的取值范围.
（1）
当时，得，故，
当时，恒成立，故在区间为单调递增函数.
（2）
当时，，故，即，即.
令
①当时，因为，故，即，
又，故在上恒成立，故；
②当时，，，
故在上恒成立，在上单调递增，
故，即在上单调递增，
故，故；
③当时，由②可知在上单调递增，设时的根为，
则在时为单调递减；在时为单调递增
又，故，舍去；
综上：【点睛】
本题考查了利用导数判断函数的单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.
13．（2021·福建省龙岩第一中学高三月考）已知函数.
（1）若为的极值点，求实数；
（2）若在上恒成立，求实数的范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求导，利用求出，再二次求导，验证在两侧的符号变化；
（2）利用（1）结论讨论与的大小研究的符号，进而研究函数的最值即可求解..
（1）
解：因为，
令，则，
所以.
即，
当时，设，
所以，
故在上单调递减，
所以 ，
当时，，，
所以.终上所述，时，为的极值点成立，
所以.
（2）
解：由（1）知，
当时，在上单调递减，
，
①时，，
在上单调递增，
所以，
②时，因为在上单调递减，
；，
存在使，
即，，递减，
当时，，与矛盾.
综上：时，在上恒成立.
所以实数的范围是.
14．（2021·云南·昆明一中高三月考（理））已知曲线在处的切线方程为，且.
（1）求函数的极值；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）.
【分析】
（1）利用，求出的值，得到的解析式，求出切点坐标，然后由导数的几何意义求出斜率，即可得到的解析式，求出以及，然后判断的单调性，由极值的定义分析求解即可；
（2），求出，然后对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性，进而得到函数的取值，再分别研究不等式是否成立即可．
【详解】
解：（1）由，得，
，，所以，，
切线方程为，所以，
所以，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值.
（2）令，，，，
1.当时，，所以在上单调递增，
所以，即符合题意；
2.当时，设，，
①当，，，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，则，所以符合题意；
②当时，，，所以在上递增，
在上递减，，所以当，，
所以在上单调递减，，所以，，舍去.
综上：.
【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的性质等，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．
15．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）．
【分析】
（1）两次求导可判断的单调性，进而得出的单调性；
（2）转化为成立，构造函数，通过导数求出函数的单调性可判断.
【详解】
（1）当时，，
设，
∵，∴在上递增，即在上递增，
又，∴当时，；当时，，
∴的增区间为，减区间为.
（2）当时，恒成立，
①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，
设，则，
设，可得，，
由，可得恒成立，可得在递增，
∴，
∴恒成立，即在递增，∴，
再令，可得，当时，，在递增；
当时，，在递减，
∴，即，
综上：的取值范围是.
16．（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）当时，求得，得到，，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）由题意得到，，求得，分和类讨论，分别求得函数的单调性和最小值，即可求解.
【详解】
（1）当时，的定义域为，
可得，所以，又由，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）对任意的，要使成立，只需任意的，.
又由，
当时，即时，在上是增函数，所以只要，从而，所以满足题意；
当时，即时，，
所以在上是减函数，上是增函数，
从而时，与矛盾，故不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.
17．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数的图象在点处的切线在轴上截距为．
（1）求的值；
（2）对任意，不等式恒成立，求自然数的最大值．
【答案】（1）；（2）4
【分析】
（1）首先利用导数的几何意义得到切线方程为：，根据题意得到，即可得到的值.
（2）首先根据题意得到当时，不等式恒成立，令，由题意得到整数的最大值可以为，再证明即可.
【详解】
（1），，，
函数的图象在点处的切线方程为：
，
因为切线在轴上的截距为，所以时，，
即，．
（2），
不等式等价于，
当时，不等式化为恒成立，
令，由题意，
又，因此整数的最大值可以为．
下面证明符合题意．令，，
时，，时，，
在上为减函数，在上为增函数，
，
所以，即对任意的正实数都成立．
因为有，整理有．
．
综合上述，自然数的最大值为．
18．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为.
【分析】
（1）求导函数，分，，，，，分别讨论导函数的符号，可得出原函数的单调区间；
（2）由（1）所得的函数单调区间，讨论，，，的情况，验证是否满足题意，可得的最小值.
【详解】
解：（1），定义域为，，
当，，所以；，
所以的单增区间；单减区间；
当，令，得.
当，则，所以当；，
所以的单增区间；单减区间当，则，
若，，所以单增区间为；
当，，
所以当；；
所以单增区间，；单减区间；
当，，
所以当；；
所以单增区间，；单减区间；
综述：当，单增区间；单减区间；
当，单增区间为；
当，单增区间，；单减区间；
当，单增区间，；单减区间；
（2）由题，对任意的，都有恒成立，又.
当，在上递减，所以当，，不符合，舍去.
当，单减区间，单增区间.
所以当，，不符合，舍去.
当，单增区间为，所以在上递增，则恒成立；
当，单增区间，，所以在上递增，则恒成立；
综述：，所以的最小值为.
19．（2021·广西·高三月考（文））已知函数．
（1）当a＝3时，求f(x)的单调区间；
（2）当a＝1时，关于x的不等式在[0，）上恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）减区间为（－1，2），増区间为（2，＋∞）；（2）．【分析】
（1）利用导数求得的单调区间；
（2）化简为，构造函数，结合对进行分类讨论，利用求得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为
当a＝3时，，
，
当时，是减函数，
是増函数，
所以，f(x)的减区间为（－1，2），増区间为（2，＋∞）．
（2）当a＝1时，，
，即，
设，则只需在恒成立即可．
易知，
，
①当时，，此时g(x)在上单调通减，
所以，与题设矛盾；
②当时，由得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，
所以，当时，，与题设矛盾；
③当时，，故在上单调递增，所以恒成立．
综上，．【点睛】
利用导数求得函数的单调区间时，要首先求得函数的定义域.
20．（2021·宁夏·银川一中高三月考（文））已知函数，，为自然对数的底数.
（1）证明：；
（2）若恒成立，求实数的范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）对原函数求导后可知函数在上单调递增，得到即可；
（2）将题意转化为恒成立，构造，由，，可知对分为和讨论即可.
【详解】
（1），于是，.
又因为，当时，且.
故当时，，即.
所以，函数为上的增函数，于是，.
因此，对，；
（2）恒成立，
恒成立.
令，，，.
①当时，，
由（1）可知，
在上为增函数，
恒成立.
时满足题意②当时，由（1）可知
在上单调递增，
而∴存在，使得.
∴时，单调递减，
，不合题意，舍去.
综上，.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式
证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21．（2021·山东省潍坊第四中学高三月考）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】
（1）求出，再对分三种情况讨论；
（2）由题得，，证明，即得，故，再对分类讨论得解.
【详解】
（1），，．
①若，则恒成立，故在上单调递增．
②若，令，得．③若，则恒成立，故在上单调递减．
综上所述，若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减；若，在上单调递减．
（2）令，故，
所以，令，
，
下面证明，其中．
令，，则．
所以在上单调递增，故，
所以当时，．
所以，
所以在上单调递增，故．
①若，即，则，所以在上单调递增，
所以对恒成立，所以符合题意．
②若，即，此时，
，0
极大值
且据及可得，故，
所以．
又的图象在上不间断，所以存在，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以，其中，与题意矛盾，
所以不符题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围是．