【导数大题】题型刷题突破 第44讲 双参数问题

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第44讲 双参数问题
1．已知不等式对一切都成立，求的最小值
【解答】解：令，则，
若，则恒成立，时函数递增，无最值．
若，由得：，
当时，，函数递增；
当时，，函数递减．
则处取得极大值，也为最大值，
，
，
，令，
，
上，，，上，，
，．
的最小值为．
故选：．
2．已知为自然对数的底数，，为实数，且不等式对任意的恒成立．则当取最大值时，求的值
【解答】解：由于．
此不等式对任意恒成立，
则需要保证．
令，则
从而，从而．
另一方面，当，时，即为，设，则得，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而，
即，可使不等式恒成立，
从而可取．
综合上述，当取最大值时，．
故选：．
3．设函数，若不等式对任意恒成立，求的最大值
【解答】解：由题意可知，对任意恒成立，等价于，
如图，与轴交于点，直线在曲线上方，
则直线与轴交点小于等于，
即，
所以，
的最大值为，
故答案为：．
4．已知函数，，若，，求的最小值
【解答】解：由题意可得在恒成立，即在上恒成立，令，，，，
当时，恒成立，在上单调递减，
且，，不符合题意，
当时，令，可得，可得，
可得，所以，
令（a），，
则（a），，
令（a），可得，
，（a），（a）单调递减，
，（a），（a）单调递增，
所以，（a），
故答案为：．
5．已知函数为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若，求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）函数，
则，
在上递增，且，
当时，，
当时，，
故为极值点：
（Ⅱ），
，即，等价于，
得：①当时，在上单调性递增，时，与相矛盾．
②当时，，此时，
，此时，
当时，取得最小值为
即
那么：
令，
则
，可得，
，可得．
当时，取得最大值为．
即当，时，取得最大值为．
故得的最大值为．
6．已知函数．
（1）若，且，求证：；
（2）若时，恒有，求的最大值．
【解答】解：（1），，
单调递增，又，
在上单调递减，在上单调递增，
要证，不妨设，则，，
下证，即证，
构造函数，
，，
即在上递减，而，，为单调递增，
，，，
原命题成立．
（2），恒成立，
令，则，
①当时，在上单调递增，且时，，不符合题意，
②当时，，
③当时，令，得，
在，单调递增，，单调递减，
，
令，，，
在递增，递减，
．
7．已知函数，为自然对数的底数），且在点，（1）处的切线的斜率为，函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）若，求的最大值．
【解答】解：（1），，
所以（1），解得；
所以，，又，
故为上的增函数，而，
所以当时，，在，上为增函数，
当时，，在上为减函数，所以时，取得极小值1，无极大值．
（2），
令，
则，
①当时，，
故在上递增，
时，与矛盾；
②当时，由，得：，
由，得，
故时，，
即，
，
令，则，
，解得：，，解得：，
时，，
即当，时，
的最大值为，
的最大值为：．8．已知函数满足（1）．
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值．
【解答】解：（1）由（1），令，得（1）（1），所以；
令，得（1），所以（1）．
所以的解析式为．
因为单调递增，且，所以当时，；当时，．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），
①当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，，与矛盾．
②当时，在，上递减，在，上递增，
所以
所以，又，
所以
令，则
所以在上递增，，上递减，即．
所以当时，取到最大值，为．
9．已知函数，，，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是，
，令，解得：或，
①时，令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
②时，，在递增，
③当时，令，解得：或，
令，解得：
故在递增，在递减，在递增；
（Ⅱ），
设，
则，
，令，得，
设，由于在递增，
当时，，当时，，
故存在唯一，使得，即，
当时，，故在递减，
当时，，在，递增，
当时，
，
恒成立，
故，
即，
故，
设，，
则，令，解得：，
故在递减，在递增，
故（1），
故即，时，．
10．已知函数，．
（1）若曲线在点，（1）处的切线方程为，求，的值；
（2）已知当时，恒成立，求的最大值．
【解答】解：（1）函数的导数为，
可得在点，（1）处的切线斜率为，
切线方程为，可得，
，
解得，；
（2）由的导数为，
当时，函数递减；当时，函数递增；
可得的最大值为0，即，
当时，恒成立，
即恒成立，
只要恒成立，
即，，可得，
即的最大值为1．
11．已知函数，，，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若曲线在点处的切线为：，求，的值；
（3）若恒成立，求的最大值．
【解答】解：（1）当时，，
，令，解得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
（2），
，
切线斜率，解得，
当时，，即，解得；
（3）由恒成立，可得，即，
令，
则，
当，即时，，函数单调递增，
当时，，故不满足题意，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
在，上单调递减，在，上单调递增；
恒成立，
，
令，，
，
令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（e），
从而当，时， 的最大值为，
综上的最大值为．12．已知，，设函数．
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）当，时，的最小值为0，求的最大值．注：为自然对数的底数．
【解答】解：（1）当时，，，
当时，，所以单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，，
，
下面证等号可以取得：
，
，
解得，
即证：恒成立，
，，
，单调递增，单调递增，
单调递增，
，
单调递增，考虑到，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
的最大值为．
13．设函数．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对一切，，求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ），
当时，；
当，，时，．
故在单调增加，在，单调减少．
的极小值，极大值（1）．
（Ⅱ）由知，
即．
由此及（Ⅰ）知的最大值为1，最小值为．
因此对一切，的充要条件是即，满足约束条件，
由线性规划得，的最大值为5．