2023-2024学年华东师大版九年级数学下册综合复习题（解析版）

这是一份2023-2024学年华东师大版九年级数学下册综合复习题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图所示，的顶点A，B，C均在上，若，则的大小是（ ）.
A．B．C．D．
2．抛物线y=x2-2x+3的对称轴是（ ）
A．直线x=1B．直线x=2C．直线x=-1D．直线x=-2
3．抛物线上有、两点，则和的大小关系一定为（ ）
A．B．C．D．
4．将函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点D、E，设∠A=α，∠C=β，（ ）
A．若α+β=70°，则的度数为20°
B．若α+β=70°，则的度数为40°
C．若α-β=70°，则的度数为20°
D．若α-β=70°，则的度数为40°
6．某校七（二）班班长统计了今年1﹣8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图，下列说法错误的是（ ）
A．阅读量最多的是8月份B．阅读量最少的是6月份
C．3月份和5月份的阅读量相等D．每月阅读量超过40本的有5个月
7．二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A．B．b＞0C．c＞0D．
8．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．在同一坐标系内，一次函数 与二次函数 的图象可能是
A．B．
C．D．
二、填空题
11．经调查，某班的45名学生上学所用的交通工具中，自行车占40%，则该班骑自行车上学的学生有 名.
12．二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 ．
13．在直角坐标平面中，将抛物线 先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．
14．自行车车轮的辐条编制方式是多种多样的，同样大小的车轮，辐条编法不同，辐条的长度是不一样的，图2和图3是某种“24吋（指轮圈直径）”车轮一侧的辐条编法示意图，两个同心圆分别代表轮圈和花鼓，连接两圆的线段代表辐条，轮圈和花鼓上的穿辐条的孔都等分圆周，图2是直拉式编法，每根辐条的延长线都过圆心，优点是编法简单，缺点是轮强度较低，且力传递的效果较差，所以一般都采用如图3（两图中孔的位置一样）这样的错位式编法，若弧DC的长度和弧AB相等，则BE的长度为 吋.

三、解答题
15．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E， 是 的中点，连接BC， ， BD.求 的大小.
16．已知△ABC中∠ACB=90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接OC，如果∠B=30°，CF=1，求OC的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
18．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
19．为宣传世界海洋日，某校八年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的如识竞赛活动．为了解全年级600名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：
知识竞赛成绩分组统计表
（1）本次调查一共随机抽取了 名参赛学生的成绩；
（2）统计表中 ；
（3）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到70分以上（含70分）的学生约有多少人．
20．某超市经销一种商品，每千克成本为50元．试销发现该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，规定利润率不得高于30%，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式．
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．如图，是的直径，D是延长线上的一点，点C在上，交的延长线于点E，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径．
22．如图，△ABC为的内接三角形，且AB为的直径，DE与相切于点D，交AB的延长线于点E，连接OD交BC于点F，连接AD、CD，．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若，，求的半径r．
23．
（1）问题提出
如图1，在 中， ， ， ，求 的外接圆半径R的值；
（2）问题探究
如图2，在 中， ， ， ，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作 交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；
（3）问题解决
如图3，在四边形ABCD中， ， ， ， ，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC=90°，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°.
故答案为：C.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC，再结合∠ABC+∠AOC=90°可求出∠ABC的度数，从而即可得出∠AOC的度数.
2．【答案】A
【解析】【解答】解： ，
∴抛物线的对称轴为：x=1，
故答案为：A．
【分析】将函数解析式化为顶点式，即可得出抛物线的对称轴。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由抛物线可知，抛物线的开口向上，对称轴为直线，
抛物线上有、两点，且，
．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的性质求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】 将函数 的图象向左平移1个单位， 得到 ， 再向上平移3个单位， 得到 ，
故答案为：D.
【分析】根据函数图象的平移规律为“左加右减、上加下减”进行变换，即可求解.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：连接，设的度数为，则，由为圆的直径，可得
，∵∠A=α，∴，又
∵∠C=β，，
∴，解得，故的度数为：
A、若α+β=70° 时，的度数为，故A错误；
B、若α+β=70° 时，的度数为，故B错误；
C、若α-β=70°，则，则的度数为，故C错误；
D、若α-β=70°，则，则的度数为，故D错误.
故答案为：A.
【分析】连接，根据圆周角定理求出，，再根据三角形外角性质得出，得到的度数为，再逐项判断即可的正确答案．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由图可得：阅读量最多的是8月份，是83本，A正确；
阅读量最少的是6月份，是28本，B正确；
3月份的阅读量为58，5月份的阅读量为58，故阅读量相等，C正确；
阅读量超过40本的有6个月，D错误；
故答案为：D.
【分析】利用折线统计图可知阅读量最多和阅读量最少的月份，可对A，B作出判断；3月份的阅读量 和5月份的阅读量相等，可对C作出判断；阅读量超过40本的有6个月，可对D作出判断.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A：由抛物线开口向下可得出a＜0，所以A正确；
B：由图象知：抛物线的对称轴在y轴左侧，所以，由（1）知a＜0，所以b＜0，所以B错误；
C：由图象可知，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，所以c＞0，所以C正确；
D：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，所以 ，所以D正确。
故答案为：B。
【分析】根据函数图象与系数的关系，可分别判断对错，即可得出答案。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵对称轴为直线x＝−2，OA＝5OB，
∴OA＝5，OB＝1，
∴点A（−5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，
∴a＋b＋c＝0，
∴（a＋c）2−b2＝（a＋b＋c）（a＋c−b）＝0，故②正确；
抛物线的对称轴为直线x＝−2，即，
∴b＝4a，
∵a＋b＋c＝0，
∴5a＋c＝0，
∴c＝−5a，
∴9a＋4c＝−11a，
∵a＞0，
∴9a＋4c＜0，故③正确；
当x＝−2时，函数有最小值y＝4a−2b＋c，
∴am2＋bm＋c≥4a−2b＋c，
∴am2＋bm＋2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a，故④正确；
∴正确结论的个数为3个.
故答案为：C.
【分析】观察函数图象，根据抛物线的开口方向可确定出a的取值范围，利用抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，利用抛物线的对称轴的位置：左同右异，可确定出b的取值范围，由此可得到abc的符号，可对①作出判断；由OA=5OB及抛物线的对称轴，可求出OA，OB的长，即可得到点A，B的坐标，同时由x＝1时，y＝0，可得到a＋b＋c＝0，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴可得到b=4a，由a+b+c=0可得到c=-5a，分别代入9a+4c，可确定出9a+4c的符号，可对③作出判断；当x＝−2时，函数有最小值y＝4a−2b＋c，可推出am2＋bm＋c≥4a−2b＋c，进行变形，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
10．【答案】C
【解析】【解答】x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确.
故答案为：C.
【分析】x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解.
11．【答案】18
【解析】【解答】解：由题意可得：
45×40%=18名，
故答案为：18.
【分析】用该班的总人数乘以骑自行车上学的人数所占的百分比即可算出答案.
12．【答案】5或
【解析】【解答】解：分三种情况：
当﹣a＜﹣1即a＞1时，二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x=﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y=x2+2ax+a中解得：a=5；
当﹣a＞2即a＜﹣2时，二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x=2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y=x2+2ax+a中解得：a=﹣ ＞﹣2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为 =﹣4，解得：a= 或a= ＞1，舍去．
综上，a的值为5或 ．
故答案为：5或
【分析】将给定的二次函数配成顶点式为：，则对称轴为x=-a，二次项系数1，所以抛物线开口向上，函数有最小值，所以由题中的范围可分以下情况讨论：
①当﹣a＜﹣1即a＞1时，二次函数在﹣1≤x≤2上为增函数，即所以当x=﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入二次函数解析式即可求得a的值，结合范围判断是否符合题意；
②当﹣a＞2即a＜﹣2时，二次函数在﹣1≤x≤2上为减函数，所以当x=2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入二次函数解析式即可求得a的值，结合范围判断是否符合题意；
③当﹣1≤﹣a≤2即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，根据二次函数的性质可得=4，解方程即可求得a的值，结合范围判断是否符合题意。
13．【答案】y=2x2+1
【解析】【解答】解：根据二次函数图象平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”
则抛物线 平移后为：
故答案为：y=2x2+1
【分析】根据二次函数图象平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”求解即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，抽象图形，
由题意可知∠AOB=90°，∠COD=30°，OD=12，△DOF是等边三角形，
四边形DGBF是等腰梯形，
∴DG=BF，DF=OD=OF=12
∵ 弧DC的长度和弧AB相等
∴
解之：OA=4，
∴DG=BF=12-4=8，
过点B作BH⊥DF于点H，过点E作EN⊥DF于点N
∴DN=
∴EN∥BH
在Rt△BHF中，∠HFB=60°，
∴BH=sin60°×BF==
HF=cs60°×BF=
∴DH=DF-HF=12-4=8
在Rt△DHB中，DB2=BH2+DH2
∴DB=
∵EN∥BH
∴△DEN∽△DBH
∴，即
解之：DE=
∴BE=BD-DE=
故答案为：
【分析】由题意可知∠AOB=90°，∠COD=30°，OD=12，△DOF是等边三角形，四边形DGBF是等腰梯形，就可得到DF的长，根据弧DC的长度和弧AB相等 ，利用弧长公式可求出OB的长，从而可求出DG，过点B作BH⊥DF于点H，过点E作EN⊥DF于点N，利用解直角三角形，分别求出HF，BH的长，再利用勾股定理求出BD的长，再利用相似三角形的判定和性质，求出DE，然后根据BE=BD-DE，就可求出BE的长。
15．【答案】解：
又 是 中点，
在 和 中，
≌
∴BD=OA
是直径，OA是半径，
90°且
30°.
【解析】【分析】由垂径定理可得AE=EB，结合已知用边角边可证△OEA≌△DEB，则BD=OA，由圆周角定理可得∠CBD=90°，然后根据直角三角形的性质可求解.
16．【答案】（1）证明：连接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，∵BC为⊙O的切线，∴∠ODB=90°，∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AD是∠BAC的平分线
（2）解：连接DF，∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=30°，∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC=∠3=30°，∴CD= CF= ，∴AC= CD=3，∴AF=2，
过O作OG⊥AF于G，∴GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，
∴CG=2，OG=CD= ，∴OC= = ．
【解析】【分析】（1）要证AD平分∠BAC，只需证∠DAB=∠DAC即可；连接OD，由圆的性质易得∠DAB=ODA，由切线的性质可得ODBC，而∠ACB=90°，所以可得OD∥AC，则根据平行线的性质可得∠DAC=∠ODA，所以∠DAB=∠DAC，即AD是∠BAC的平分线；
（2）连接DF，过O作OG⊥AF于G，根据矩形的判定可得四边形ODCG是矩形，由矩形的性质可得CG=OD，OG=CD；由已知条件结合（1）中的结论易求得CD、AC和AF的长，然后在直角三角形OCG中用勾股定理可求得OC的长。
17．【答案】解：连接 ∵ ∥ ∴∵∴∴∵在 和 中 ∴ ≌ ∴∵ 切⊙ 于 ∴∴∴∴∴ 是⊙ 的切线
【解析】【分析】连接 OD ，根据平行线的性质得出∠ADO=∠DOC ， ∠A=∠COB ，根据等边对等角得出 ∠A=∠ADO ∴故∠DOC=∠BOC，然后利用SAS判断出Δ OCD≌ ΔOCB，根据全等三角形的性质得出∠ODC=∠OBC=90°，即可得出结论。
18．【答案】（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC===5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2=CD•CE，
∴CD==，
∴OC==，
∴⊙O的半径=．
【解析】【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．
（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式​，列方程可得结果．
19．【答案】（1）60
（2）9
（3）解： （人），
答：该校八年级竞赛成绩达到70分以上（含70分）的学生约有510人．
【解析】【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生有24 （人）
故答案为：60；
（2）
故答案为：9；
【分析】（1）根据统计图和统计表中的数据计算求解即可；
（2）根据题意列式，计算求解即可；
（3）根据求该校九年级竞赛成绩达到70分以上（含70分）的学生，列式求解即可。
20．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（70，40）代入得：
，
解得：
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）解：由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．（不合题意舍去）
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克
（3）解：设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
x≤65
∴当x＝65时，w最大值＝750
答：当销售单价定为65元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是750元．
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可；
(2)根据“销售利润=（销售单价-成本价）×销售量”，结合每天销售利润为600元，建立一元二次方程求解即可；
(3) 设当天的销售利润为w元， 根据“销售利润=（销售单价-成本价）×销售量”列函数式，然后根据二次函数的性质求最大值即可.
21．【答案】（1）证明：连接，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
又平分∠BAE，
∴∠1＝∠EAC，
，
，（内错角相等）
，
，
是的切线．
（2）解：∵BC＝BD，
∴∠3＝∠4．
∵AB是的直径，
，
由（1）知OC⊥CD
∴∠OCD＝∠3＋∠OCB＝90°，
，
∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB，
而，
而，
，
设，则OD＝2x，
由勾股定理得，
解得，
所以
【解析】【分析】（1）连接，由AC平分∠BAE，得出∠1＝∠EAC，，推出，根据平行线的性质得出，即可得出结论；
（2）求出， 设，则OD＝2x，由勾股定理得出x的值，即可得出答案。
22．【答案】（1）证明：由圆周角定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵DE与 相切于点D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△BOF中， ，
即 ，
解得： ， （舍去），
答： 的半径r为5．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，进而证明 ，得到 ，根据切线的定义得到 ，最后利用垂径定理得到 ，最后再根据圆周角定理证明结论；
（2）利用三角形的中位线定理得出OF的长，再根据勾股定理列出方程，解得半径.
23．【答案】（1）解：如图1中，作 的外接圆，连接OA，OC.
，
又 ，
，
又∵ ，
，
的外接圆的R为6；
（2）解：如图2中，作 于H.
， ，
，
，
当直径AD的值一定时，EF的值也确定，
根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，
如图 中，当 时，作 于H，连接OE，OF.
， ， ，
， ，
，
，
的最小值为12；
（3）解：如图3中，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接EC，作 交CB的延长线于H，设 .
， ，
， ，
的值最小时，AC的值最小，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
当 时，EC的长最小，
此时 ，
，
的最小值为 .
【解析】【分析】 （1）如图1中，作 的外接圆，连接OA， 证明 即可解决问题；
（2）如图2中，作 于 当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短；
（3）如图3中，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接EC，作 交CB的延长线于H，设 证明 ，构建二次函数求出EC的最小值即可解决问题.组别
分数/分
频数
A
B
11
C
16
D
24
销售单价x（元/千克）
55
60
n
70
销售量y（千克）
70
m
50
40