2024年河北省石家庄市裕华区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年河北省石家庄市裕华区中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列代数式表示“a的3倍与7的差”的是( )
A. 3(a−7)B. 3(7−a)C. 7−3aD. 3a−7
2.嘉淇先向北偏西45°方向走30m，又向南偏西45°方向走30m，她现在所站的位置在起点的方向上．( )
A. 正北B. 正西C. 西北D. 西南
3.去括号后等于a−b+c的是( )
A. a−(b+c)B. a−(b−c)C. a−(c−b)D. a+(b+c)
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.已知x+3 2=5 2，则x的值是( )
A. 2B. 2C. 8D. 12
6.如图，用四个长和宽分别为a，b(a>b)的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是S，( )
A. 若S=4，则ab=8B. 若S=16，则ab=10
C. 若ab=12，则S=16D. 若ab=14，则S=4
7.如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平( )
A. 能平衡B. 不能平衡，右边比左边低
C. 不能平衡，左边比右边低D. 无法确定
8.如图，点A、B、C在⊙O上，BC/​/OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC.若∠A=25°，则∠D的大小为( )
A. 25°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
9.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )
A. 点PB. 点OC. 点MD. 点N
10.用m+2m−2替换分式n−1n+1中的n后，经过化简结果是( )
A. 2mB. 2mC. m2D. 12m
11.如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为( )
A. 25π3
B. 12π
C. 2 34π
D. 24π
12.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )
A. 7B. 10C. 11D. 14
13.七位评委对参加普通话比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下了5个分数的平均分作为选手的比赛分数，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的( )
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数
14.关于x的方程x(x−1)=3(x−1)，下列解法完全正确的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
15.如图，直线y=−x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点横坐标为−2，则关于x的不等式组−x+m>nx+4n>0的整数解为( )
A. −1B. −5C. −3D. −4
16.如图，在平面直角坐标系中，正八边形ABCDEFGH的中心与原点O重合，顶点A，E在y轴上，顶点G，C在x轴上，连接OB，过点A作OB的垂线，垂足为P，将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，已知OA=3，则第82次旋转结束时，点P的坐标为( )
A. (32,−32)
B. (−32,32)
C. (0,32)
D. (32,0)
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了______度.
18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点D，E；再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F1；作射线BF交AC于点G，则AG的长为______．
19.已知正数a，b，c，满足a−b=b−c=1，ab+ac+bc=4．
(1)a−c=______；
(2)如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为c，c+1，c+2，若这三张正方形纸片的面积之和为S，则S的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和(和为非零数)作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．
例A=x2+2x−3，A经过处理器得到B=(1+2)x−3=3x−3．
若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题：
(1)若A=3x2−2x+5，求B关于x的表达式；
(2)若A=4x2−5(2x−3)，求关于x的方程B=9的解．
21.(本小题9分)
为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图(其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”)．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为______人，m= ______，A所对的圆心角度数是______°；
(2)学校将从获得一等奖的4名同学(其中有一名男生，三名女生)中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
22.(本小题10分)
福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
(3)若P=4×1012，求QP的值.(结果用科学记数法表示)
23.(本小题10分)
表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b.现画出了它的图象为直线l，如图.数学兴趣小组为观察k、b对图象的影响，将上面函数中的k、b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．
(1)求直线l的解析式．
(2)请在图中画出直线l′(不要求列表计算)，并求出直线l和l′的交点坐标．
(3)求出直线l和l′与y轴围成的三角形的面积．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，点D在BC上，且BD=2，以B为圆心，将BD顺时针旋转180°形成半圆DBF，P为半圆上任意一点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CE，连接PB，AE．
(1)求证：AE=BP；
(2)若CP与半圆相切，求CP的长度；
(3)当S△BCP=2时，求∠CBP的度数以及此时扇形DBP的面积．
25.(本小题12分)
如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时.分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米.(本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计)
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到篮球？并说明理由．
(3)在(2)的情况下.若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米(后仰跳投时的出手点位于第二象限)，此时乙碰不到球.已知篮球运行所在抛物线的形状和(1)一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入框？请说明理由．
26.(本小题12分)
已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB/​/CD，CD>AB，点C在EB上，∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，延长DC交EF于点M.点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s.过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G.设运动时间为t(s)(0−4，
∴−x+m>nx+4n>0的解集是−40的整数解为−3．
故选：C．
满足不等式−x+m>nx+4n>0就是直线y=−x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．
16.【答案】A
【解析】解∵ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB=360°÷8=45°，
在Rt△APO中，OP=OAcs45°=3× 22=3 22，
如图，过点P作x轴的垂线，垂足Q，
在Rt△OPQ中，OQ=OP⋅cs45°=3 22× 22= 32，
∵∠BOC=∠AOB=45°，
∴PQ=OQ=32，
∴点P的坐标为(32,32)，
将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置，
∴第80次旋转结束时，△APB回到初始位置，此时点P的坐标为(32,32)，
连接OD，第82次旋转结束时点P′位于OD上，得OP′=OP，∠P′OQ=∠POQ=45°，
∴点P″与点P关于x轴对称，
∴P′(32,−32)，
∴第82次旋转结束时，点P的坐标为(32,−32)，
故选：A．
由ABCDEFGH是正八边形，得∠AOB为45°，利用勾股定理求出OP，过点P作x轴的垂线，垂足Q，在Rt△OPQ中，求出OQ= 32，又因为∠BOC=∠AOB=45°，得出PQ=OQ=32，求出点P的坐标为(32,32)，将△APB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则每旋转8次回到初始位置，则第80次旋转结束时，△APB回到初始位置，此时点P的坐标为(32,32)，连接OD，第82次旋转结束时点P′位于OD上，得OP′=OP，∠P′OQ=∠POQ=45°，则点P″与点P关于x轴对称，则P′(32,−32)，
本题考查正多边形和圆、坐标与图形变化—旋转，解题的关键是掌握相关知识点．
17.【答案】200
【解析】解：设y=kx(k≠0)，
∵(0.2,500)在图象上，
∴k=500×0.2=100，
∴函数解析式为：y=100x，
当x=0.25时，y=1000.25=400，
当x=0.5时，y=1000.5=200，
∴度数减少了400−200=200(度)，
故答案为：200．
由已知设y=kx，则有图象知点(0.2,500)满足解析式，代入求k=100，则解析式为：y=100x，令x=0.25，x=0.5时，分别求y的值后作差即可．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．
18.【答案】53
【解析】解：过G作GQ⊥AB于Q，
由作图得：BF平分∠ABC，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4．
∴AB= BC2+AC2=5，GQ=GC，
∵BG=BG，
∴Rt△CBG≌Rt△QBG(HL)，
∴BQ=BC=4，
∴QA=AB−BQ=1，
设AG=x．
则AQ2+GQ2=AG2，即：12+(3−x)2=x2，
解得：x=53，
故答案网为：53．
根据全等三角形的性质及勾股定理列方程求解．
本题考查了基本作图，掌握常见的基本作图、全等三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
19.【答案】2 7
【解析】解：(1)∵a−b=b−c=1，
∴b=c+1，
∵a−b=1，
∴a−(c+1)=1
得出a−c=2．
故答案为：2．
(2)由(1)知，a=c+2，b=c+1，
把a=c+2，b=c+1代入ab+ac+bc=4得，
(c+2)(c+1)+(c+2)c+(c+1)c=4，
c2+2c+c+2+c2+2c+c2+c=4，
3c2+6c−2=0，
这三张正方形纸片的面积之和S=c2+(c+1)2+(c+2)2
=c2+(c2+2c+1)+(c2+4c+4)
=3c2+6c+5，
把3c2+6c=2代入，
S=2+5=7．
故答案为：7．
(1)由等式a−b=b−c=1，得出a比b大1，b比c大1，由此得出a比c大2．
(2)根据a−b=b−c=1，得出a=c+2，b=c+1，将其代入ab+ac+bc=4得出3c2+6c−2=0，通过计算3张正方形纸片的面积和S，化简后得出S=3c2+6c+5，用整体代入法把3c2+6c=2代入得出S的值．
本题考查了因式分解的应用，根据题意得出关于c的等式，然后正方形的面积和S也化简，通过观察式子特点，用整体代入的办法计算出S的值．
20.【答案】解：(1)∵A=3x2−2x+5，
∴根据整式处理器可得B=(3−2)x+5=x+5．
(2)依据题意可知A=4x2−5(2x−3)=4x2−10x+15，
根据整式处理器可得 B=(4−10)x+15=−6x+15，
∵B=9，
∴−6x+15=9，
∴x=1，
∴方程B=9的解为1．
【解析】(1)根据整式处理器的处理方法即可求解；
(2)根据整式处理器的处理方法，可得−6x+15=9，即可求出关于x的方程B=9的解．
本题考查的是整式加减和解一元一次方程，正确使用题目中的“整式处理器”处理方法是解题的关键．
21.【答案】40 30 36
【解析】解：(1)获奖总人数：8÷20%=40(人)，
m%=40−4−8−1640×100%=30%，即m=30：
A所对的圆心角度数为360°×440=36°，
故答案为：40；30；36；
(2)画树状图为：
一共有12种等可能的情况，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的情况数为6，
∴P(抽取同学中恰有一名男生和一名女生)=612=12．
(1)将B组人数除以其所占百分比，即可求出获奖总人数；将C组人数除以总人数乘以100即可求出m的值；将A组所占百分比乘以360°即可求出A所对的圆心角度数；
(2)利用列表法或树状图法解答即可．
本题考查扇形统计图，条形统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率．能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可得：Q=4m+10n；
(2)将m=5×104，n=3×103代入(1)式得：
Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105；
(3)QP=2.3×1054×1012=5.75×10−8．
【解析】(1)分析题目，弄懂题意即可根据题意列出代数式；
(2)根据(1)中的代数式将数字代入，再用科学记数法表示出即可；
(3)求QP的值，结果用科学记数法表示即可．
本题考查列代数式和用科学记数法表示较大的数，弄清题意列出代数式和掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵直线l：y=kx+b中，当x=−1时，y=−2；当x=0时，y=1，
∴−k+b=−2b=1，解得k=3b=1，
∴直线l的解析式为y=3x+1；
(2)依题意可得直线l′的解析式为y=x+3，
图象如图所示，
由y=3x+1y=x+3，解得x=1y=4，
所以直线l和l′的交点坐标为(1,4)；
(3)直线l和l′与y轴围成的三角形的面积是12×(3−1)×1=1．
【解析】(1)根据待定系数法求得即可；
(2)首先写出直线l′的解析式，再根据一次函数的性质画出直线l′，将两个函数的解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标；
(3)根据三角形的面积公式列式计算即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，两直线相交问题，三角形的面积，求出直线l的解析式是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CE，
∴CP=CE，∠PCE=90°，
∵∠ACB=90°，CA=CB=4，
∴∠PCE=∠ACB，
∴∠PCE−∠BCE=∠ACB−∠BCE，
∴∠PCB=∠ACE，
∴△PCB≌△ECA( SAS)，
∴AE=BP；
(2)∵CP与半圆相切，
∴∠BPC=90°，
∴CP= CB2−BP2= 42−22=2 3；
(3)过P作PH⊥BC于H，如图，

∵S△BCP=2，
∴12×BC×PH=2，
∴12×4×PH=2，
解得PH=1，
∵PB=2，∠PHB=90°，
①当点P在半圆的左边时，
∴sin∠PBH=PHPB=12，
∴∠PBH=30°，即∠CBP=30°，
扇形DBP的面积=30π×22360=π3；
②当点P在半圆的右边时，
∴sin∠PBH=PHPB=12，
∴∠PBH=30°，即∠CBP=180°−30°=150°，
扇形DBP的面积=150π×22360=5π3．
综上所述：∠CBP=30°或150°，扇形的面积是π3或5π3．
【解析】(1)证明△PCB≌△ECA( SAS)，即可得到结论；
(2)根据相切得到∠BPC=90°，利用勾股定理求解即可；
(3)过P作PH⊥BC与H，根据S△BCP=2求出PH=1，利用三角函数求出∠PBH=30°，再利用公式求出扇形DBP的面积．
此题考查了全等三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数求角度，扇形面积的计算公式，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x−2.5)2+3.5，
把(4,3.05)代入解析式得：a(4−2.5)2+3.5=3.05，
解得a=−0.2，
∴抛物线解析式为y=−0.2(x−2.5)2+3.5；
(2)乙能碰到篮球，理由：
当x=1时，y=−0.2(1−2.5)2+3.5=3.05，
∵3.2>3.05，
∴乙能碰到篮球；
(3)篮球没有入框，理由：
设后仰跳投时的抛物线解析式为y=−0.2x2+bx+c，
把(−0.5,2.75)和(1,3.6)代入解析式得：−0.2×(−0.5)2−0.5b+c=2.75−0.2×12+b+c=3.6，
解得b=23c=4715，
∴后仰跳投时的抛物线解析式为y=−0.2x2+23x+4715，
当x=4时，y=−0.2×16+23×4+4715=2.6，
∵2.6