2024辽宁省部分学校高三下学期3月二模考试数学含解析

这是一份2024辽宁省部分学校高三下学期3月二模考试数学含解析，共24页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某体育老师记录了班上12名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，114，94，96，101，98，89，99，98，100，102，116，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. 100B. 101C. 101.5D. 102
2. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
3. 展开式中的系数为（ ）
A. 15B. 20C. 75D. 100
4. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，内角的对边分别为，且，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 2
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为异面直线，，则
10. 已知函数，则下列说法正确是（ ）
A. 函数最小正周期为
B. 函数在区间上单调递减
C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
D. 若，则
11. 已知抛物线焦点为，过的直线交于两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，其中，记的面积分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数，则__________．
13. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________．
14. 如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求值；
（2）求的单调区间和极值.
16. 如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生这三人报名民航招飞．
（1）求这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率；
（2）根据这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设随机变量为这三人中能被招飞院校录取的人数，求的分布列和数学期望．
18. 如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为是直线上的两点，且，其中为坐标原点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点．
（1）记直线的斜率分别为，求的值；
（2）求点到直线的距离的最大值．
19. 如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
（1）若，求的值；
（2）若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；
（3）若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
2024届高三3月联考模拟检测卷
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某体育老师记录了班上12名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，114，94，96，101，98，89，99，98，100，102，116，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. 100B. 101C. 101.5D. 102
【答案】D
【解析】
【分析】先将数据由小到大排序，再求第80百分位数.
【详解】先将数据由小到大排序: 88，89， 94，96， 98， 98，99，100，101，102，114，116，
又，故这组数据的第80百分位数是第10个数据102.
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的性质以及分式不等式化简集合，即可利用并运算求解.
【详解】
，
所以，
故选：B
3. 展开式中的系数为（ ）
A 15B. 20C. 75D. 100
【答案】A
【解析】
【分析】根据分配律，结合二项式定理的通项公式即可求解．
【详解】展开式中：
若提供常数项3，则提供含有的项，可得展开式中的系数：
若提供项，则提供含有的项，可得展开式中的系数：
由通项公式可得．
可知时，可得展开式中的系数为．
可知时，可得展开式中的系数为．
展开式中的系数为：．
故选：A．
4. 已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可．
【详解】圆，圆心，半径，
，圆心，半径，
由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，
，，的中点，
圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，
故的方程：，即,故C正确．
故选：C．
5. 已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过球的表面积公式求出球的半径，然后在中，由余弦定理得，然后利用正弦定理求得的外接圆半径，利用勾股定理求得高，从而利用三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，解得.
在中，由余弦定理可得，
所以的外接圆半径为，所以，
设的外接圆的圆心为，则平面，
则球心到平面的距离为，则，
所以三棱锥的体积为.
故选：D
6. 已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可.
详解】如图所示
由题意知，解得
记的右焦点为，即，
由双曲线的定义，得，即
所以，
当且仅当点在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
故选：C.
7. 在中，内角的对边分别为，且，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】正弦定理角化边并结合余弦定理得,由基本不等式及三角函数最值得，求出B，再由正弦定理即可求解.
【详解】因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
化简得，即，
因为，当且仅当时等号成立，
又，故，因为，故，则，
由,则,
整理得,故
故选:A.
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，即可得出结果.
【详解】令，则，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递减，又，
而，所以，
即在区间上单调递增，所以，
得到，即，所以，
令，则，当时，，
即在区间上单调递增，
所以，得到，即，所以，
综上所述，，
故选：B.
【点睛】关键点点晴：通过构造函数和，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为异面直线，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线与平面的位置关系，由线面垂直、线面平行的性质逐项判断即可得出结论.
【详解】对于A，若，是两个不同的平面，则可得，即A正确；
对于B，若，当都平行于两平面的交线时，，可知B错误；
对于C，若，则可能会，即C错误；
对于D，若，又为异面直线，所以，即D正确.
故选：AD
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递减
C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可根据周期公式判断A，根据整体法判断B，根据函数图象的平移判断C，根据弦切互化以及二倍角公式即可求解D.
【详解】，
对于A，的周期为，A正确，
对于B，当，则，故B错误，
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，故C正确，
对于D，，则，
故，
故，D正确，
故选：ACD
11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，点满足，其中为坐标原点，直线交于另一点，直线交于另一点，其中，记的面积分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意表示出所有点的坐标，通过三点共线我们可以得到，，，即，，，，，，由此即可逐一判断每个选项.
【详解】
由题意知，.
设，，，，显然.
那么由经过点，有，
也就是，即，
也就是，也就是，
同时，经过点，所以，
也就是，也就是，
也就是，也就是，
同理，，
综上，我们有，，，，，，，，.
故，，
所以，，，.
这就得到：，所以，A错误；
，所以，B正确；
由于，故，同理，这就说明，且相似比为.
所以，，得C,D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：关键是得到，，，，，，由此即可顺利得解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.
【详解】,
,
故答案为：
13. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件分别求出，，…,，相加可得答案．
【详解】函数的定义域为，满足，
且当,时，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据锐角三角函数可得，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.
详解】设，则，
故，
故
，
当时，，即时，
此时取最小值.
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于的表达式，从而得解，
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）求的单调区间和极值.
【答案】（1）
（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；
（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
则，因为函数在点处的切线与直线垂直，
故，解得；
【小问2详解】
因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
故的单调递减区间为和，单调递增区间为，
的极大值为，极小值为.
16. 如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量即可利用向量垂直求证．
（2）利用向量的夹角即可求解．
【小问1详解】
因为直三棱柱中,，故,所以两两垂直，
分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
， ，点是棱的中点
所以，
所以,
所以，
设平面法向量为，则，
令，则，，所以平面法向量．
设平面法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量．
由于，故，
因此平面平面；
【小问2详解】
由（1）知平面的法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔这5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为．假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生这三人报名民航招飞．
（1）求这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率；
（2）根据这三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设随机变量为这三人中能被招飞院校录取的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据条件得出每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率，再利用独立重复试验模型，即可求出结果；
（2）分别计算出能被招飞院校录取的概率，再按步骤求出离散型随机变量的分布列及期望.
【小问1详解】
因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，
所以每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
故这三人中恰好有两人被确认为有效招飞申请的概率.
【小问2详解】
因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估能被招飞院校录取的概率分别为，
所以能被招飞院校录取的概率为，
能被招飞院校录取的概率为，
能被招飞院校录取的概率为，
由题知，的可能取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为
.
18. 如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为是直线上的两点，且，其中为坐标原点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点．
（1）记直线的斜率分别为，求的值；
（2）求点到直线的距离的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用斜率公式及两直线垂直的条件即可求解；
（2）根据已知条件及椭圆的离心率公式求出椭圆的方程，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，结合（1）的结论，进而得出直线过定点，当直线的斜率不存在时，求出直线，与椭圆的方程联立，得出得坐标，得出直线过定点即可求解.
【小问1详解】
设，所以
又，所以，
又，
所以
【小问2详解】
由题意可知，解得
所以椭圆的方程为
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去，得，
则，
所以，
由（1）知，所以,
整理得，
所以，整理得，
即，解得，或
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意，舍去；
当，直线的方程为，过定点
当直线的斜率不存在时，易得，
所以直线的方程为，
由，消去，得，解得，或，
所以，同理得，
此时直线的方程是，过定点
综上，直线过定点
又，
所以点到直线的距离的最大值为.
【点睛】关键点点睛：第二问根据已知条件求出椭圆的方程，讨论直线的斜率的存在，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程的联立，利用韦达定理及（1）的结论，进而求出直线过定点和定直线即可.
19. 如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
（1）若，求的值；
（2）若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；
（3）若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）存在，17
【解析】
【分析】（1）将分别代入即可求解；
（2）利用等差数列的定义和绝对值不等式性质先证充分性，再证必要性即可；
（3）构造等比数列求出的通项公式，进一步求其前n项和，分n为奇数和偶数两种情况结合数列的单调性，确定的通项，进而确定，再解不等式求解即可.
【小问1详解】
由题：令则，即，故，
得，又，同理可得，.
【小问2详解】
由题意，
故，
从而，即，
因为，所以即，故数列是等差数列.
【小问3详解】
因为,则，解得，
又，故是以为首项，公比为的等比数列，
则，即，
当n为奇数时，，易知单调递减，
故，得，进一步有；
当n为偶数时，，易知单调递增，
故，即，得，进一步有；
综上，，
易知
当n为偶数时，由，得即，无解；
当n为奇数时，
由,得即，
故，所以存在正整数，使得，正整数的最小值为17.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的通项公式及求和，关键是分奇数和偶数并利用数列单调性确定的范围来确定.
3
0
+
0
↘
极小值
↗
极大值
↘