2023-2024学年江苏省常州一中高一（下）段考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州一中高一（下）段考数学试卷（3月份）(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知平面向量a=(3,−4)，则与a同向的单位向量为( )
A. (1,0)B. (0,1)C. (35,−45)D. (−35,45)
2.sinπ12的值是( )
A. 6+ 24B. 6− 24C. − 6+ 24D. − 6− 24
3.已知2sin(π−α)=3sin(π2+α)，则sin2α−12sin2α−cs2α=( )
A. 513B. −113C. −513D. 113
4.已知sin(α−π6)=34，则sin(2α−5π6)=( )
A. 18B. −18C. 78D. −78
5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a= 2,A=π4,sinB= 33，则b=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 2 3
6.设点D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则BE+CF=( )
A. DAB. 12DAC. ADD. 12BC
7.如图，在平行四边形ABCD中，AE=13AD，BF=14BC，CE与DF交于点O.设AB=a，AD=b，若AO=λa+μb，则λ+μ=( )
A. 817B. 1917C. 317D. 1117
8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则EA⋅EB的最小值为( )
A. 2116
B. 32
C. 34
D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于向量的说法正确的是( )
A. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
B. 若单位向量a，b夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为csθb
C. 若a⋅c=b⋅c且c≠0，则a=b
D. 若非零向量a，b满足a⋅b=|a||b|，则a/​/b
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csBcsC=b2a−c，S△ABC=3 34，且b= 3，则( )
A. csB=12B. csB= 32C. a+c= 3D. a+c=2 3
11.在△ABC中，D，E为线段BC上的两点，且BD=EC，下列结论正确的是( )
A. AB⋅AC≥AD⋅AE
B. 若AB2+AD2=AE2+AC2，则|AB|=|AC|
C. 若|BD|=|DE|=12|AD|，∠BAC=π3，则∠ACB=π6
D. 若|BD|=|DE|=1，∠BAD=∠EAC=π6，则△ABC的面积是3 34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,x)(x∈R),b=(2,4)，且a//b，则|a|=______．
13.在△ABC中，AB=3，BC=2，M，N分别为BC，AM的中点，则AM⋅BN= ．
14.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为AB的中点，b=2,CM= 3，且2ccsB=2a−b，则S△ABC=______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(2,1)，b=(3,−1)．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若c=(3,m)(m∈R)，且(a−2b)⊥c，求m的值
16.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量AB=a，AD=b．
(1)用a，b表示AM；
(2)求线段AM的长度．
17.(本小题15分)
已知向量a=( 3sinx,csx),b=(csx,csx)，函数f(x)=a⋅b−12．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(α2)=−35,α∈(−π2,0)，求sinα．
18.(本小题17分)
在△ABC中，点D在BC上，满足AD=BC，ADsin∠BAC=ABsinB．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若BD=2DC，求csB．
19.(本小题17分)
已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccsA+ 3csinA=a+b．
(1)求角C的大小；
(2)若c=2 3，角A与角B的内角平分线相交于点D，求△ABD面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵向量a=(3,−4)，∴|a|= 9+16=5，
则与a同向的单位向量为a|a|=(35,−45)，
故选：C．
利用与a同向的单位向量为a|a|，求解即可．
本题考查共线的单位向量的求法，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：sinπ12=sin(π4−π6)=sinπ4csπ6−csπ4sinπ6= 22× 32− 22×12= 6− 24．
故选：B．
利用两角差的正弦公式化简即可求解．
本题考查两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的关系式，属于基础题．
利用诱导公式及同角三角函数的关系得到tanα=32，再利用二倍角公式及同角三角函数的关系式即可得到结果．
【解答】
解：已知2sin(π−α)=3sin(π2+α)，
整理得2sinα=3csα，所以tanα=32，
故sin2α−12sin2α−cs2α
=sin2α−sinαcsα−cs2α
=sin2α−sinαcsα−cs2αsin2α+cs2α
=tan2α−tanα−1tan2α+1
=94−32−194+1=−113，
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：∵sin(α−π6)=34，
∴cs(2α−π3)=1−2sin2(α−π6)=1−2×916=−18，
∴sin(2α−5π6)=sin[(2α−π3)−π2]=−cs(2α−π3)=18，
故选：A．
根据倍角公式以及诱导公式计算即可．
本题考查了三角函数求值问题，考查诱导公式以及倍角公式的应用，是基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用正弦定理求出结果．
【解答】
解：由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当a= 2,A=π4,sinB= 33，
利用正弦定理可得：asinA=bsinB，即 2 22=b 33，
整理得b=2 33．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量的线性运算，考查数形结合思想，属于基础题．
根据向量的线性运算求出答案即可．
【解答】
解：如图示：
BE=12(BC+BA)，
CF=12(CA+CB)，
∴BE+CF=12CA+12BA=−12AC+AB=DA，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算法则的应用，属于中档题．
根据向量线性运算法则结合平面向量基本定理，将AO用a,b表示出来即可．
【解答】
解：因为平行四边形ABCD中，AE=13AD，BF=14BC，
故DOOF=DECF=89，故DO=817DF，
DF=DA+AB+BF=−b+a+14b=a−34b，
故DO=817a−617b，
所以AO=AD+DO=b+817a−617b=817a+1117b，
故λ=817,μ=1117，所以λ+μ=1917．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：由于AB⊥BC，AD⊥CD，
如图，以D为坐标原点，以DA，DC为x，y轴建立直角坐标系，
连接AC，由于AB=AD=1，则△ADC≌△ABC，
而∠BAD=120°，故∠CAD=∠CAB=60°，则∠BAx=60°，
则D(0,0),A(1,0),B(32, 32),C(0, 3)，
设E(0,y),0≤y≤ 3，则EA=(1,−y)，EB=(32, 32−y)，
故EA⋅EB=32+y2− 32y=(y− 34)2+2116，
当y= 34时，EA⋅EB有最小值2116，
故选：A．
建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得EA,EB的坐标，根据数量积的坐标表示结合二次函数知识，即可求得答案．
本题考查平面向量的坐标运算，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：选项A，若b=0，则a与c不平行，即选项A错误；
选项B，向量a在向量b上的投影为|b|csθ=csθ，所以投影向量为bcsθ，即选项B正确；
选项C，若a⋅c=b⋅c，则|a|cs=|b|cs，不能推出a=b，即选项C错误；
选项D，因为a⋅b=|a||b|cs=|a|⋅|b|，
所以cs=1，所以=0°，所以a/​/b，即选项D正确．
故选：BD．
A，由零向量与任意向量平行，可判断；
B，根据平面向量数量积的几何意义可得解；
C，由平面向量数量积的定义可得解；
D，由平面向量数量积的运算法则知cs=1，从而得到a/​/b．
本题考查平面向量数量积与几何意义，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：∵csBcsC=b2a−c=sinB2sinA−sinC，整理可得：sinBcsC=2sinAcsB−sinCcsB，
可得sinBcsC+csBsinC=sin(B+C)=sinA=2sinAcsB，
∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，可得csB=12，故A正确，B错误；
∵B∈(0,π)，∴B=π3，
∵S△ABC=3 34，且b= 3，
∴3 34=12ac⋅sinB= 34ac，解得ac=3．
由余弦定理可得：3=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=(a+c)2−9，
解得a+c=2 3，故C错误，D正确．
故选：AD．
由已知等式化边为角求得角B，即可判断A与B；再由三角形面积求得ac，结合余弦定理求得a+c，即可判断C与D．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A，AD=AB+BD，AE=AC+CE=AC−EC，
因为D，E为线段BC上的两点，且BD=EC，所以AE=AC−BD，且|BD|≤|BC|，
则AD⋅AE=(AB+BD)⋅(AC−BD)=AB⋅AC+BD⋅(AC−AB)−BD2
=AB⋅AC+BD⋅BC−BD2=AB⋅AC+|BD|⋅|BC|−|BD|2≥AB⋅AC，故A错误；
对于B，当点D，C重合，点E，B重合时，满足BD=EC=BC，
此时AD=AC，AE=AB，则等式AB2+AD2=AE2+AC2，
即为AB2+AC2=AB2+AC2，此为恒等式，不一定有|AB|=|AC|，故B错误；
对于C，当|BD|=|DE|=12|AD|时，点D，E分别是线段BC的三等分点，
设|BD|=|DE|=t，则AD=DC=2t，BC=3t，
设∠ACB=θ(0