2023-2024学年江苏省常州二中高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州二中高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(sin15°,sin75°)，b=(cs30°,sin30°)，则a⋅b=( )
A. 22B. − 22C. 12D. −12
2.若AB=(3,4)，A(−2,−1)，则B点的坐标为( )
A. (1,3)B. (5,5)C. (1,5)D. (5,4)
3.在△ABC中，AC⋅(BA+BC)=|AC|2，则△ABC的形状一定是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
4.已知向量a=(4,x)，b=(x,1)，那么“x=2”是“a/​/b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量a=(2, 3)，b=(−1, 3)，则a在b上的投影向量为( )
A. (−14, 34)B. (14,− 34)C. (12,− 32)D. (−12, 32)
6.已知θ∈(0,π4)，且sinθ−csθ=− 144，则2cs2θ−1cs(π4+θ)等于( )
A. 23B. 43C. 34D. 32
7.若将函数f(x)=cs2x(1+csx)(1−csx)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数y=g(x)的单调递减区间为( )
A. [−π2+kπ,kπ](k∈Z)B. [kπ,π2+kπ](k∈Z)
C. [−π8+14kπ,14kπ](k∈Z)D. [14kπ,π8+14kπ](k∈Z)
8.已知△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足BP=16BA+12BC，则S△BPDS△BPE的值为( )
A. 43B. 52C. 53D. 109
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，若a⋅b>0，则△ABC为锐角三角形
B. 非零向量a和b满足|a|=1，|b|=|a+b|=2，则|a−b|= 6
C. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)
D. 在△ABC中，若2OA+3OB+5OC=0，则△AOC与△AOB的面积之比为35
10.已知函数f(x)=sinx+ 3csx，则下列命题正确的是( )
A. 函数f(x)(x∈[0,π2])的单调递增区间是[0,π6]
B. 函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
C. 函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是π6
D. 若实数m使得方程f(x)=m在[0,2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=7π3．
11.直角△ABC中，斜边AB=2，P为△ABC所在平面内一点，AP=12sin2θAB+cs2θAC(其中θ∈R)，则( )
A. AB⋅AC的取值范围是(0,4)
B. 点P经过△ABC的外心
C. 点P所在轨迹的长度为2
D. PC⋅(PA+PB)的取值范围是[−12 , 0]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若00)个单位长度后得到g(x)=f(x+m)=2sin(x+π3+m)，
且g(x)是偶函数，
所以π3+m=π2+kπ,k∈Z，所以m=π6+kπ,k∈Z且m>0，
所以k=0时，mmin=π6，故正确；
对于D，因为x∈[0,2π]，作出f(x)在x∈[0,2π]上的图象如图所示：
f(x)与y=m有且仅有三个交点：
因为f(0)=2sinπ3= 3，f(2π)=2sinπ3= 3，所以m= 3，
所以x3=2π，又因为f(x)=2时x=π6，且x1、x2关于x=π6对称，
所以x1+x2=π6×2=π3，所以x1+x2+x3=7π3，故正确．
故选：ACD．
先利用辅助角公式化简，再根据函数f(x)=2sin(x+π3)，结合三角函数的性质及图形，对各选项依次判断即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，作出图象是关键，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由AB⋅AC=AC2，又斜边AB=2，则|AC|∈(0,2)，则AB⋅AC∈(0,4)，A正确；
若O为AB中点，则AO=12AB，故AP=sin2θ⋅AO+cs2θ⋅AC，又sin2θ+cs2θ=1，
所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是△ABC的外心，B正确，C错误；
由上PA+PB=2PO，则PC⋅(PA+PB)=2PC⋅PO=−2|PC||PO|，
又|PC|+|PO|=|OC|=1，则|PC||PO|≤(|PC|+|PO|22)2=14，当且仅当|PC|=|PO|=12等号成立，
所以PC⋅(PA+PB)=−2|PC||PO|∈[−12,0]，D正确．
故选：ABD．
由向量数量积的几何意义有AB⋅AC=AC2，结合已知即可判断A；若O为AB中点，根据已知有O，P，C共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得PC⋅(PA+PB)=−2|PC||PO|，结合基本不等式求范围判断D．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质的应用，属于中档题．
12.【答案】5 39
【解析】解：∵0