2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次月考数学试卷(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=2x+sinx在区间[0,π]上的( )
A. 最小值为0，最大值为π+1B. 最小值为0，最大值为2π
C. 最小值为π+1，最大值为2πD. 最小值为0，最大值为2
2.已知f′(2)=1，则Δx→0limf(2−2Δx)−f(2)Δx=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
3.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且SnTn=7n+3n+3，则a2+a23b8+b17=( )
A. 176B. 134C. 193D. 136
4.在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10=32，则a92a12的值为( )
A. 4B. 2C. −2D. −4
5.若函数f(x)=(x−3)ex+12x2−2x+1在区间(2m−2,3+m)上存在最值，则m的取值范围是( )
A. m<−1B. m>2
C. −12
6.若函数g(x)=lnx+12x2−(b−1)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是( )
A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. (−∞,3)D. (−∞,3]
7.函数f(x)=e|x|−3|x|−1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=4，an+an+1=4n+2(n∈N*)，则使得Sn<2023成立的n的最大值为( )
A. 32B. 33C. 44D. 45
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)在(2,+∞)上单调递增
B. 函数f(x)在(1,3)上单调递减
C. 函数f(x)在x=1处取得极大值
D. 函数f(x)共有两个极小值点
10.下列结论中正确的是( )
A. 若y=cs1x，则y′=1x2sin1xB. 若y=x+1x−1，则y′=−2(x−1)2
C. 若y= 3x+1，则y′=32 3x+1D. 若y=ln(2x+1)，则y′=12x+1
11.已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则下列命题中正确的是( )
A. Sn+1=Sn+qan
B. Sn+1=S1+qSn
C. S2，S4−S2，S6−S4成等比数列
D. “q=−12”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件
12.已知函数f(x)=x2+x−1ex，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)存在三个不同的零点
B. 函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C. 若x∈[t,+∞)时，f(x)max=5e2，则t的最小值为2
D. 若方程f(x)=k有两个实根，则k∈(−e,0]∪{5e2}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列{an}满足an+12=anan+2，若a1=12,a4=4，则S4= ______．
14.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b在x=1处取得极值5，则a−b= ______．
15.函数f(x)=4x4x+2，则f(12019)+f(22019)+⋯+f(20182019)= ______．
16.若点A(a,a)，B(b,eb)(a,b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=(x2−3)ex．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在[−1,2]上的最值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax3+bx2，在点(1,f(1))处的切线方程是y=−3．
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)=f(x)−m(m∈R)，若函数g(x)只有1个零点，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
记数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(n+1)an−n(n+1)．
(1)证明：{an}为等差数列；
(2)若数列{1anan+1}的前n项和Tn，证明18≤Tn<14．
20.(本小题12分)
函数f(x)=x2+ax−lnx．
(1)若函数y=f(x)在区间[1,3]上单调递增，求a的取值范围；
(2)当a=1时，讨论函数f(x)在区间(0,t](t>0)上的单调性．
21.(本小题12分)
数列an，bn满足bn=a12+a222+a323+⋯+an2n，且a1=2，数列{bnn}是公差为1的等差数列．
(1)求an；
(2)求an的前n项和为Sn．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−ln(x+1)−csx，a∈R．
(1)当a=0时，求f(x)在x=0处的切线方程；
(2)若x∈[0,1]时，f(x)≥−1恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：f′(x)=2+csx>0，
所以f(x)在区间[0,π]上单调递增，
因此f(x)的最小值为f(0)=0，最大值为f(π)=2π．
故选：B．
先求得函数f(x)的导数，进而得到f(x)在区间[0,π]上单调性，即可求得f(x)在区间[0,π]上的最小值和最大值．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：△x→0limf(2−2△x)−f(2)△x=−2△x→0limf(2−2△x)−f(2)−2△x=−2f′(2)=−2，
故选：D．
利用导数的定义，即可解出．
本题考查了导数的定义，学生的数学运算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且SnTn=7n+3n+3，
则a2+a23b8+b17=a1+a24b1+b24=S24T24=7×24+324+3=193，
故选：C．
由题意利用等差数列的性质、前n项和公式，求得要求式子的值．
本题主要考查等差数列的性质、前n项和公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：在等比数列{an}中，
由a2a3a6a9a10=(a2a10)⋅(a3a9)⋅a6=a65=32=25，可得a6=2，
则a92a12=a6a12a12=a6=2．
故选：B．
由下标和性质求出a6，再由下标和性质计算可得．
本题考查等比数列的性质，属基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可得，f′(x)=(x−2)ex+x−2=(x−2)(ex+1)，
则当x>2时，f′(x)>0，当x<2时，f′(x)<0，
即f(x)在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
即f(x)在x=2处取得最值，则有2m−2<2<3+m，解得−1故选：C．
先对函数求导，然后借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：函数g(x)=lnx+12x2−(b−1)x的定义域为(0,+∞)，且其导数为g′(x)=1x+x−(b−1)，
由g(x)存在单调递减区间知g′(x)<0在(0,+∞)上有解，即1x+x−(b−1)<0有解，
因为函数g(x)的定义域为(0,+∞)，所以x+1x≥2．
要使1x+x−(b−1)<0有解，只需要1x+x的最小值小于b−1，
所以23，
所以实数b的取值范围是(3,+∞)．
故选：B．
首先计算出g′(x)，由g(x)存在单调递减区间知g′(x)<0在(0,+∞)上有解即可得出结果．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由函数f(x)=e|x|−3|x|−1的定义域为R，
且f(−x)=e|−x|−3|−x|−1=e|x|−3|x|−1=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
当x∈(0,+∞)时，f(x)=ex−3x−1，则f′(x)=ex−3，
当x∈(0,ln3)时，f′(x)<0；当x∈(ln3,+∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,ln3)上单调递减，在(ln3,+∞)上单调递增．
故选：C．
根据题意，求得f(x)为偶函数，再利用导数求得函数f(x)的单调区间，结合选项，即可求解．
本题考查了函数图象变换，函数的奇偶性的应用，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意：an+1=−an+4n+2，
构造an+1+k(n+1)+b=−(an+kn+b)，k，b∈R，
化简得：an+1=−an−2kn−2b−k，
则−2k=4−2b−k=2，解得k=−2，b=0，
即an+1−2(n+1)=−(an−2n)，
令bn=an−2n，则bn+1=an+1−2(n+1)，且bn+1bn=−1，
数列{bn}为首项是b1=a1−2=2，公比为−1的等比数列，
数列{bn}的通项公式为bn=an−2n=2×(−1)n−1，
解得an=2n+2×(−1)n−1，
数列{an}的前n项和为Sn=2+2n2×n+2×1×[1−(−1)n]1−(−1)=n2+n+1−(−1)n，
当n为奇数时，Sn=n2+n<2023，即n(n+1)<2023，解得n的最大值为43；
当n为偶数时，Sn=n2+n+2<2023，即n(n+1)<2021，解得n的最大值为44；
综上可得，n的最大值为44，
故选：C．
利用构造法求出数列{an}的通项公式，由公式法计算出数列的前n项和，结合选项得出n的最大值．
本题考查数列的通项公式的求法，考查公式法求前n项和，考查学生计算能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：当23时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(2,+∞)上先减后增，故A错误；
当1因为f(x)在x=1左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，
所以函数f(x)在x=1处取得极大值，故C正确；
因为f(x)在x=−1左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，
所以函数f(x)在x=−1处取得极小值，
因为f(x)在x=3左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，
所以函数f(x)在x=3处取得极小值，
则函数f(x)共有两个极小值点，故D正确．
故选：BCD．
利用导函数的图象，根据导函数的符号判断函数的单调性，从而判断A，B，根据极值和极值点的概念分别判断C，D．
本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若y=cs1x，则y′=1x2sin1x，A正确；
对于B，若y=x+1x−1=1+2x−1，则y′=−2(x−1)2，B正确；
对于C，若y= 3x+1=(3x+1)12，则y′=32 3x+1，C正确；
对于D，若y=ln(2x+1)，则y′=22x+1，D错误．
故选：ABC．
根据题意，由复合函数导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意复合函数的导数的计算公式，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对A：Sn+1−Sn=an+1=a1qn=an⋅q，故A正确；
对B：Sn+1−S1=a2+a3+⋯+an+1=q(a1+a2+⋯+an)=qSn，故B正确；
对C：当q=−1时，有S2=a1+a2=a1−a1=0，等比数列不能有项为0，故C错误；
对D：当q=−12时，Sn+1+Sn=2Sn+2−2an+2−an+1=2Sn+2−(2q⋅an+1+an+1)
=2Sn+2−(−an+1+an+1)=2Sn+2，
故由“q=−12”可得“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”，
当Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列时，可得Sn+Sn+1=2Sn+2，
即有Sn+Sn+1=2Sn+2=2Sn+1+2an+2=Sn+Sn+1+2an+2+an+1，
即2an+2+an+1=0，可得an+2an+1=−12，即由“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”可得“q=−12”，
故“q=−12”是“Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列”的充要条件，故D正确．
故选：ABD．
对A、B、D，结合an与Sn的关系，将an与Sn互相转化计算即可得；对C，举出反例当q=−1时其不成立即可得．
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A：函数f(x)=x2+x−1ex定义域为R，
f′(x)=(2x+1)ex−ex(x2+x−1)(ex)2=−x2+x+2ex，
令f′(x)=0得x=−1或x=2，
所以在(−∞,−1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(−1,2)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(2,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
因为f(−1)=−e，f(2)=5e2，
所以在(−1,2)中必有且只有一个零点，
当x→−∞时，f(x)→+∞；x→+∞时，f(x)→0，
所以在(−∞,−1)中必有且只有一个零点，(2,+∞)中没有零点，故A正确；
对于B：由A知f(x)有极小值f(−1)=−e，极大值f(2)=5e2，故B正确；
对于C：当x∈[t,+∞)，f(x)max=5e2，
因为f(2)=5e2，且x∈[2,+∞)，f(x)单调递减，
所以t的最大值为2，故C错误；
对于D：作出函数f(x)的图象：
若方程f(x)=k有两个实根，则k∈(−e,0]∪{5e2}，故D正确．
故选：ABD．
求导分析单调性和极值，函数的零点，利用函数与方程的关系，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】152
【解析】解：因为数列{an}满足an+12=anan+2，且a1=12,a4=4，
所以数列{an}是等比数列，且首项为12，
设公比为q，
可得4=12q3，可得q=2，
所以S4=a1(1−q4)1−q=12×(1−24)1−2=152．
故答案为：152．
根据已知条件求得数列{an}是等比数列，且首项为12，求出公比q，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
14.【答案】−7
【解析】解：f′(x)=3x2+2ax+1，则有f′(1)=3+2a+1=0，解得a=−2，f(1)=1+a+1+b=5，解得b=5，
故a−b=−2−5=−7．
故答案为：−7．
由函数f(x)=x3+ax2+x+b在x=1处取得极值5，可得f(1)=5，f′(1)=0，计算即可得．
本题主要考查利用导数研究极值，属于中档题．
15.【答案】1009
【解析】解：f(m)+f(1−m)=4m4m+2+41−m41−m+2=8+2×4m+2×41−m8+2×41−m+2×4m=1
则f(12019)+f(22019)+...+f(20182019)=1009
故答案为：1009．
可得f(m)+f(1−m)=1，由此即可求值．
本题考查指数运算，属于基础题．
16.【答案】 22
【解析】解：∵A(a,a)，B(b,eb)(a,b∈R)，
∴点A在直线y=x上运动，点B是函数y=ex图象上任意一点，
对y=ex求导数得y′=ex，所以函数图象在x=b处的切线斜率k=eb，
当曲线y=ex在x=b处的切线与y=x平行时，切点B到直线y=x的距离就是|AB|的最小值．
令k=eb=1，得b=0，此时点B(0,1)，点B到直线y=x的距离d=|0−1| 2= 22．
因此，A、B两点间距离|AB|的最小值为 22．
故答案为： 22．
根据题意，点A在直线y=x上运动，点B是函数y=ex图象上任意一点，由此利用切线方程和点到直线的距离，算出|AB|的最小值．
本题主要考查利用导数研究函数图象的切线、点到直线的距离公式及其应用等知识，属于中档题．
17.【答案】解：(1)函数f(x)=(x2−3)ex，f′(x)=(x2+2x−3)ex=(x+3)(x−1)ex．
当x<−3或x>1时，f′(x)>0；当−3故函数f(x)递增区间为(−∞,−3)和(1,+∞)，递减区间为(−3,1)．
(2)由(1)可得函数f(x)在[−1,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，
且f(−1)=−2e−1=−2e，f(2)=e2，
则f(x)在[−1,2]上的最大值f(x)max=f(2)=e2，最小值f(x)min=f(1)=−2e．
【解析】(1)根据f(x)导数的正负即可求其单调区间；
(2)根据f(x)在[−1,2]上的单调性即可求其最值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f′(x)=3ax2+2bx，则f′(1)=3a+2b=0，
f(1)=a+b=−3，解方程组3a+2b=0a+b=−3，
可得a=6b=−9，即a=6，b=−9；
(2)由a=6，b=−9，故f(x)=6x3−9x2，
g(x)=6x3−9x2−m，g′(x)=18x2−18x=18x(x−1)，
故当x<0或x>1时，g′(x)>0，当0即g(x)在(−∞,0)、(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
又g(0)=−m，g(1)=−3−m，
若函数g(x)只有1个零点，则有−m<0或−3−m>0，
即m>0或m<−3，
则m的取值范围为(−∞,−3)∪(0,+∞)．
【解析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；
(2)借助导数研究函数的单调性后计算即可得．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
19.【答案】证明：(1)由Sn=(n+1)an−n(n+1)，可得n=1时，a1=S1=2a1−2，解得a1=2，
当n≥2时，由Sn=(n+1)an−n(n+1)，可得Sn−1=nan−1−n(n−1)，
上面两式相减可得an=(n+1)an−n(n+1)−nan−1+n(n−1)，
化为an−an−1=2，
则{an}是首项和公差均为2的等差数列；
(2)1anan+1=12n⋅2(n+1)=14(1n−1n+1)，
则Tn=14(1−12+12−13+...+1n−1n+1)=14(1−1n+1)，
由{1−1n+1}是递增数列，可得12≤1−1n+1<1，
则18≤14(1−1n+1)<14，即18≤Tn<14．
【解析】(1)由数列的通项与前n项和的关系，结合等差数列的定义，可得结论；
(2)由等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，结合数列的单调性，可得结论．
本题考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=2x+a−1x=2x2+ax−1x，
因为函数f(x)在区间[1,3]上单调递增，
所以f′(x)≥0在[1,3]上恒成立，
所以2x2+ax−1≥0在[1,3]上恒成立，
所以a≥−2x2+1x在[1,3]上恒成立，
令g(x)=−2x2+1x=−2x+1x，x∈[1,3]，则g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x)max=g(1)=−1，
所以a≥−1，
所以a的取值范围为[−1,+∞)．
(2)当a=1时，f(x)=x2+x−lnx，x>0，
f′(x)=2x+1−1x=2x2+x−1x=(2x−1)(x+1)x，
令f′(x)=0，得x=12或x=−1(舍)，
所以在(0,12)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(12,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
当0当t>12时，f(x)在(0,12)上单调递减，在(12,t)上单调递增．
【解析】(1)根据题意可得f′(x)≥0在[1,3]上恒成立，即a≥−2x2+1x在[1,3]上恒成立，令g(x)=−2x2+1x=−2x+1x，x∈[1,3]，只需a≥g(x)max，即可得出答案．
(2)当a=1时，f(x)=x2+x−lnx，x>0，求导分析f′(x)的符号，f(x)单调性．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由bn=a12+a222+a323+⋯+an2n，且a1=2，
可得b1=12a1=1，
又数列{bnn}是公差为1的等差数列，可得bnn=1+n−1=n，
即bn=n2，
由bn=a12+a222+a323+⋯+an2n，可得n≥2时，an2n=bn−bn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
则an=(2n−1)⋅2n，对n=1也成立，
所以an=(2n−1)⋅2n，n∈N*；
(2)Sn=1⋅2+3⋅22+5⋅23+...+(2n−1)⋅2n，
2Sn=1⋅22+3⋅23+5⋅24+...+(2n−1)⋅2n+1，
上面两式相减可得−Sn=2+2(22+23+...+2n)−(2n−1)⋅2n+1
=2+2⋅4(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1=−6+(3−2n)⋅2n+1，
则Sn=6+(2n−3)⋅2n+1．
【解析】(1)由等差数列的通项公式求得bn，再由已知数列的递推式可得an；
(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=−ln(x+1)−csx，f′(x)=−1x+1+sinx，
所以k=f′(0)=−1，又f(0)=−1，
所以f(x)在x=0处的切线方程为y+1=−x，
即x+y+1=0；
(2)令g(x)=f(x)+1(0≤x≤1)，则g(x)≥0在x∈[0,1]上恒成立，
则g(0)=0，g′(x)=a−1x+1+sinx，g′(0)=a−1，
当a<1时，g′(0)=a−1<0，
因为g′(x)=a−1x+1+sinx在x∈[0,1]上单调递增，
故存在δ>0，当x∈(0,δ)时，g′(x)<0，即g(x)在x∈(0,δ)上单调递减，
所以x∈(0,δ)时，g(x)当a≥1时，由x∈[0,1]可得g′(x)=a−1x+1+sinx≥a−1x+1≥a−1≥0，
故g(x)在x∈[0,1]上单调递增，
所以g(x)≥g(0)=0(0≤x≤1)，满足题意，
综上，a的取值范围为a∈[1,+∞)．
【解析】(1)根据导数的几何意义求出斜率，点斜式求出切线方程；
(2)转化为g(x)=f(x)+1≥0(0≤x≤1)，对a分类讨论，利用导数确定单调性求解即可．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．