四川省广安市2021年中考数学真题（含解析）

这是一份四川省广安市2021年中考数学真题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，解答题，实践应用题，推理论证题，拓展探索题等内容，欢迎下载使用。
1. 16的平方根是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 4C. SKIPIF 1 < 0 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】依据平方根的定义解答即可．
【详解】解：16的平方根是±4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
【详解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，故选项错误；
B、 SKIPIF 1 < 0 ，故选项错误；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，故选项错误；
D、 SKIPIF 1 < 0 ，故选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
3. 到2021年6月3日，我国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团，累计接种新冠疫苗约7.05亿剂次，请将7.05亿用科学计数法表示（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．即可将题目中的数据用科学记数法表示出来．
【详解】解：7.05亿=705000000=7.05×108，
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
5. 关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有实数根，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤ SKIPIF 1 < 0 且a≠-2，
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查
B. 在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6
C. “若 SKIPIF 1 < 0 是实数，则 SKIPIF 1 < 0 ”是必然事件
D. 若甲组数据的方差 SKIPIF 1 < 0 ，乙组数据的方差 SKIPIF 1 < 0 ，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样调查及普查，众数和中位数，随机事件，方差的意义分别判断即可．
【详解】解：A、为了了解全国中学生的心理健康情况，人数较多，应采用抽样调查的方式，故错误；
B、在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6，故正确；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，则“若a是实数，则 SKIPIF 1 < 0 ”是随机事件，故错误；
D、若甲组数据的方差 SKIPIF 1 < 0 ，乙组数据的方差 SKIPIF 1 < 0 ，则甲组数据比乙组数据稳定，故错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了抽样调查及普查，众数和中位数，随机事件，方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点．
7. 若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数 SKIPIF 1 < 0 中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵-3＜0，-1＜0，
∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
8. 如图，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
9. 如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从 SKIPIF 1 < 0 地走到 SKIPIF 1 < 0 地有观赏路（劣弧 SKIPIF 1 < 0 ）和便民路（线段 SKIPIF 1 < 0 ）.已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是圆上的点， SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 ，小强从 SKIPIF 1 < 0 走到 SKIPIF 1 < 0 ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出 SKIPIF 1 < 0 的长，最后求它们的差即可．
【详解】解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B= SKIPIF 1 < 0 （180°-∠AOB）=30°，
在Rt△AOC中，OC= SKIPIF 1 < 0 OA=9，
AC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB=2AC= SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴走便民路比走观赏路少走 SKIPIF 1 < 0 米，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
10. 二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，有下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，④ SKIPIF 1 < 0 ，正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置.本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 在函数 SKIPIF 1 < 0 中，自变量x的取值范围是___．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 SKIPIF 1 < 0 在实数范围内有意义，必须 SKIPIF 1 < 0 ．
12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=360 SKIPIF 1 < 0 3
解得n=8.
所以这个多边形的边数是8.
13. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____．
【答案】12
【解析】
【分析】先求方程x2-6x+8=0的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第三边的长，利用三角形的周长公式可求得这个三角形的周长．
【详解】∵三角形的两边长分别为3和5，∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
又∵第三边长是方程x2-6x+8=0的根，∴解之得根为2和4，2不在范围内，舍掉，
∴第三边长为4．即勾三股四弦五，三角形直角三角形．
∴三角形的周长：3+4+5=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．属于基础题型，应重点掌握．
14. 若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则代数式 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【答案】-6
【解析】
【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
15. 如图，将三角形纸片 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都与点 SKIPIF 1 < 0 重合，折痕分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由折叠的性质得出BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，得出∠AFE=30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF=∠AFE=30°，证出△ABE是等边三角形，得出∠BAE=60°，求出AE=BE=2，证出∠BAF=90°，利用勾股定理求出AF，即CF，可得BC．
【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，
∴∠AFE=30°，又AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE=30°，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30°，
∴∠BAE=60°，
∵DE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE=BE=AB= SKIPIF 1 < 0 =2，
∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，
∴FC=AF= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC=BF+FC= SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使点 SKIPIF 1 < 0 的对应点 SKIPIF 1 < 0 落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，再将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使点 SKIPIF 1 < 0 的对应点 SKIPIF 1 < 0 也落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，以此进行下去……若点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，...，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），
∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，得：x=-4，即A（-4，3），
∴OB=3，AB=4，OA= SKIPIF 1 < 0 =5，
由旋转可知：
OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，
∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，
∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，
设B21（a， SKIPIF 1 < 0 ），则OB21= SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
则 SKIPIF 1 < 0 ，即点B21的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17. 计算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】0
【解析】
【分析】分别化简各数，再作加减法．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
=0
【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则．
18. 先化简： SKIPIF 1 < 0 ，再从-1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
由原式可知，a不能取1，0，-1，
∴a=2时，原式= SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
19. 如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，且 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．
20. 如图，一次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且满足 SKIPIF 1 < 0 的面积等于4，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）（1，0）或（3，0）
【解析】
【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【详解】解：（1）由题意可得：
点B（3，-2）在反比例函数 SKIPIF 1 < 0 图像上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
将A（-1，n）代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴一次函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21. 在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据图中信息回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有______人，扇形统计图中表示 SKIPIF 1 < 0 等级的扇形圆心角度数为_______．
（2） SKIPIF 1 < 0 等级中有2名男生，2名女生.从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）50，108°；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）用B等级的人数除以对应百分比，可得抽取的人数，再用C等级的人数所占比例乘以360°可得对应圆心角；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】解：（1）24÷48%=50人，
∴本次抽取调查的学生共有50人，
∵C等级的人数为15，
∴对应圆心角为 SKIPIF 1 < 0 =108°；
（2）画树状图如下：
可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合，以及列表法或树状图法求概率，注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系是解此题的关键．
22. 国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元
【解析】
【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．
【详解】解：（1）由题意可知：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得：x=16，
经检验：x=16是原方程的解；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，
由题意可知：
y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
∴m≥3（100-m），
解得：m≥75，即75≤m＜100，
在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小，
∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元，
∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
23. 如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 SKIPIF 1 < 0 与地面 SKIPIF 1 < 0 平行，踏板 SKIPIF 1 < 0 长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与地面 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，支架 SKIPIF 1 < 0 长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求跑步机手柄 SKIPIF 1 < 0 所在直线与地面 SKIPIF 1 < 0 之间的距离．（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 .参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】1.3m
【解析】
【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．
【详解】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°，
∴∠CAF=60°，
在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF= SKIPIF 1 < 0 m，
在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE=1.5·sin15°，
∴FG=FC+CG= SKIPIF 1 < 0 +1.5·sin15°≈1.3m．
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．
24. 下图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段 SKIPIF 1 < 0 的端点都在格点上.要求以 SKIPIF 1 < 0 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】将点A沿任意方向平移到另一格点处，然后将点B也按相同的方法平移，最后连接点A、B及其对应点即可．
【详解】解：如图，四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
五、推理论证题
25. 如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 直径，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 的半径为5， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）连接OE，由题意可证OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，则可证CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，证明△ADE∽△AEB，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据tan∠EAD= SKIPIF 1 < 0 ，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再证明△COE∽△CAD，得到 SKIPIF 1 < 0 ，设BC=x，解方程即可求出BC．
【详解】解：（1）连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，∵AB为直径，
∴∠AEB=90°=∠D，又∠DAE=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又tan∠EAD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则AE=2BE，又AB=10，
在△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（2BE）2+BE2=102，
解得：BE= SKIPIF 1 < 0 ，则AE= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得：AD=8，DE=4，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，设BC=x，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得：x= SKIPIF 1 < 0 ，
经检验：x= SKIPIF 1 < 0 是原方程的解，
故BC的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
六、拓展探索题
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图象与坐标轴相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点，其中 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．动点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，在线段 SKIPIF 1 < 0 上以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位长度向点 SKIPIF 1 < 0 做匀速运动；同时，动点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，在线段 SKIPIF 1 < 0 上以每秒1个单位长度向点 SKIPIF 1 < 0 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设运动时间为 SKIPIF 1 < 0 秒．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 运动的过程中，当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段 SKIPIF 1 < 0 上方的抛物线上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，由点P运动可知：
AP= SKIPIF 1 < 0 ，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，
∴AE=PE= SKIPIF 1 < 0 =t，即E（3-t，0），
又Q（-1+t，0），
∴S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC= SKIPIF 1 < 0 ，AB=4，
∴0≤t≤3，
∴当t= SKIPIF 1 < 0 =2时，四边形BCPQ的面积最小，即为 SKIPIF 1 < 0 =4；
（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，
∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，
∴∠PMF=∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，
∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，
∴点M的坐标为（3-2t，4-t），
∵点M在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，
解得：t= SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
∴M点的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
水果单价
甲
乙
进价（元/千克）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
售价（元/千克）
20
25