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2023年高考数学二轮复习课件：专题一 三角函数与解三角形
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这是一份2023年高考数学二轮复习课件：专题一 三角函数与解三角形，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，真题感悟，答案A，答案C，答案B，知识精要，2先伸缩后平移，三角函数的性质，2二倍角公式，3辅助角公式等内容，欢迎下载使用。
高考小题突破1 三角函数的图象与性质
高考小题突破2 三角恒等变换与解三角形
培优拓展❶ 三角变换与解三角形中的“变角”“变式”
◎高考满分大题一 三角函数与解三角形
答案 D 解析 设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cs 120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.
5. (2021·全国甲·理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)( )A.346B.373C.446D.473
解析 过C作CD⊥BB'于点D,过B作BE⊥AA'于点E(图略),由题意,
6. (2021·全国甲·文15)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则
7.(2022·新高考Ⅰ·18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
∴cs Acs B=sin B+sin Asin B,∴sin B=cs Acs B-sin Asin B=cs(A+B)=cs(π-C)=-cs C>0.
8.(2021·新高考Ⅰ·19)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cs∠ABC.
(1)证明 由正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b.(2)解 (方法一 两次应用余弦定理)
(方法二 等面积法和三角形相似)如图,已知AD=2DC,
而b2=ac,即sin∠ADB=sin∠ABC,故有∠ADB=∠ABC,从而∠ABD=∠C.
(方法四 构造辅助线利用相似的性质)如图,作DE∥AB,交BC于点E,则△DEC∽△ABC.由AD=2DC,得
1.同角基本关系式、诱导公式
名师点析各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.三角函数图象的变换(1)先平移后伸缩
误区警示无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看角“ωx+φ”的变化.
求单调区间时,必须保证ω>0
其他两类函数类似可解.
4.三角恒等变换(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcs β±cs αsin β;cs(α±β)=cs αcs β∓sin αsin β;
名师点析注意公式的逆用与变形用,例如:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
5.正弦定理、余弦定理
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等.
(2)余弦定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccs A.
(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α;(sin α-cs α)2=1-2sin αcs α;(sin α+cs α)2+(sin α-cs α)2=2.
(4)在△ABC中,a>b⇔A>B⇔sin A>sin B.(5)任意三角形中的射影定理bcs C+ccs B=a,acs C+ccs A=b,acs B+bcs A=c.
答案 (1)C (2)A
增分技巧1.三角函数中常见的3种变换方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α= 化成正弦、余弦;(2)和积转换法:利用(sin θ±cs θ)2=1±2sin θcs θ进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cs2θ=cs2θ(1+tan2θ)=tan .2.应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定要注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简时要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为底、化繁为简等.
答案 (1)A (2)50°
考向1由函数的图象特征求解析式典例突破2(1)(多选)(2020·山东·10)右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( )
答案 (1)BC (2)C
增分技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A通过看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
对点练2(2021·全国甲·理16)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所
考向2三角函数的图象变换
规律方法三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下:(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.(2)变同名:变换前后函数的名称要一样.(3)选方法:选择变换方法要注意对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin ω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.
(2)(2022·重庆高三模拟调研)已知曲线C:y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,要得到曲线C的图象,可将曲线y=cs x的图象( )
答案 (1)A (2)A
答案 (1)AC (2)D
增分技巧一般地,研究三角函数的性质时,首先应将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)的形式,然后通过整体代换,结合正弦函数、余弦函数的基本性质进行求解.(1)求单调区间时,将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数或余弦函数的单调递增(减)区间,求出x的范围即为原函数的单调递增(减)区间.(2)求函数在闭区间上的最值时,应根据x所在的区间求出ωx+φ的取值范围,再结合正弦函数或余弦函数的图象确定函数的最值.(3)判断对称轴或对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断.
答案 (1)A (2)BD
A.tan(α+β)=-1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α-β)=1
答案 (1)A (2)A (3)C
增分技巧1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2θ+cs2θ=tan 45°.(2)项的拆分与角的配凑:如sin2α+2cs2α=(sin2α+cs2α)+cs2α,α=(α-β)+β等.(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.
典例突破2(1)(2022·陕西西安模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别
(2)由题意作出图形,如图.在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM·BA·cs B,即12=4+BM2-2BM×2× ,解得BM=4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM=8.
规律方法三角形中边角互化的基本原则(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”.(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”.(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”.(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解.(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
典例突破3(1)为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设,如图,在东北某地地面有四个5G基站A,B,C,D.已知C,D两个基站建在松花江的南岸,距离为10 km;基站A,B在松花江的北岸,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A,B两个基站的距离为( )
(2)蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市,建于明朝天启元年(1621年),为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南,砖石结构,平面呈六边形,是江西省省级重点保护文物,已被列为革命传统教育基地.某学生为测量蜚英塔的高度,如图,选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=35米,∠CAD=45°,∠CBD=30°,∠ADB=150°,则蜚英塔的高度CD是( )
答案 (1)D (2)C
解析 (1)在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=75°+45°=120°,所以∠CAD=30°,有∠ADC=∠CAD,
增分技巧解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
对点练3(1)(2022·辽宁葫芦岛高三检测)黄鹤楼,位于湖北省武汉市武昌区,地处蛇山之巅,濒临万里长江,为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度,在楼的一侧找到一座高为30( -1)m的建筑物AB,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°,则估算黄鹤楼的高度CD为( )
(2)(2022·四川泸州二模)如图,航空测量组测得飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高
A.7 350 mB.2 650 mC.3 650 mD.4 650 m
答案 (1)C (2)B
(2)如图,设飞机的初始位置为点A,经过420 s后的位置为点B,山顶为点C,连接AB并延长,作CD⊥直线AB于点D,则∠BAC=15°,∠CBD=45°,所以∠ACB=30°,在△ABC中,AB=50×420=21 000(m),由正弦定理
三角变换与解三角形中的“变角”“变式”
三角函数的求值、化简以及研究函数性质等问题的本质是处理其中的“角”和“式”,其核心技巧也在于处理“角”和“式”之间的关系,通过合理地“变角”“变式”,达到解决问题的目的.(1)变角:变角的目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”,常常从和角、差角、二倍角、半角、互补、互余等关系入手.(2)变式:一是通过变换函数名称减少函数种类,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;二是根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
答案 (1)A (2)130°
(4)已知θ是钝角,则sin θ+cs θ+sin θcs θ的取值范围是 .
(1)求ω的值;(2)用“五点法”作出函数f(x)在区间[0,π]上的图象.
增分技巧五点作图法注意点利用五点作图法画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)在一个周期上的图象时,如果不指定具体的区间,则可由ωx+φ=0,ωx+φ=2π确定区间的两个端点,画出一个周期上的图象;如果指定了区间,则除了找出位于该区间内的关键点以外,还要把区间的端点也要列在表格中,然后通过描点、连线,得到函数在该区间上的一段图象.
对点练1(2022·北京海淀模拟)已知函数f(x)=2sin .(1)某同学利用五点法画函数f(x)在区间 上的图象.他列出表格,并填入了部分数据,请你帮他把表格填写完整,并在坐标系中画出图象;
典例突破2(2021·浙江·18)设函数f(x)=sin x+cs x(x∈R).
增分技巧1.三角变换在三角函数图象与性质中应用的基本思路:通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想和数形结合的思想解决相关问题.2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递减区间.
考向1求三角形中的边或角典例突破3(2022·山东潍坊二模)如图,四边形ABCD的内角B+D=π,AB=6,DA=2,
解 (1)设BC=CD=x>0,在△ABC中,根据余弦定理,得AC2=36+x2-2×6xcs B=28,即x2+8=12xcs B,①又在△ACD中,根据余弦定理,得AC2=4+x2-2×2xcs D=28,即x2-24=4xcs D,②因为B+D=π,则cs D=cs(π-B)=-cs B,③
规律方法解三角形问题的基本策略(1)选定理.①已知两角及一边,求其余的边或角,利用正弦定理.②已知两边及其一边的对角,求另一边所对的角,利用正弦定理.③已知两边及其夹角,求第三边,利用余弦定理.④已知三边求角或角的余弦值,利用余弦定理的推论.⑤已知两边及其一边的对角,求另一边,利用余弦定理.
(2)巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化;若将条件转化为边之间的关系,则式子一般比较复杂,要注意根据式子结构特征灵活化简.(3)得结论.利用三角函数公式,结合三角形的有关性质(如大边对大角,三角形的内角取值范围等),并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.
已知三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,c=4, .
(1)求角B的大小;(2)若M为边AC上一点,且BM为∠ABC的平分线,求BM的长.
考向2与面积有关的解三角形问题典例突破4(12分)(2022·新高考Ⅱ·18)记△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,以a,b,c为边长的三个正三角形的面积分别为S1,S2,S3,
增分技巧三角形面积公式的应用原则
考向3解三角形中的最值与范围问题典例突破5(2022·山东枣庄一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为
增分技巧在已知三角形的一边及其对角的前提下,求该三角形周长或面积的最值通常有两种方法:(1)代数变换法:先利用余弦定理,建立三角形中未知的两条边满足的条件等式,然后利用基本不等式求出两边之和或两边之积的最值,最后结合周长公式或面积公式即得三角形周长或面积的最值.(2)三角变换法:先利用正弦定理,建立三角形中未知的两条边和两角满足的关系式,并用其中的一个角表示两条边,然后根据周长公式或面积公式建立周长或面积关于该角的函数关系式,最后通过三角恒等变换对函数解析式进行化简,即可求得周长或面积的最值.
对点练5(2022·广东佛山模拟)设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,已知A= .(1)若a=5bsin B,求cs B;(2)在①b2+4c2=16,②a=2cs A这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中.问题:若 ,求△ABC面积的最大值.
典例突破6(2022·山西临汾适应性训练)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数y=Acs(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,b>0,-π<φ<π),画出函数图象,并求出函数解析式.(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?大约能在港口停留多久?
当k=1时,x∈[14,16],所以该船在2:00或14:00点可以进入港口,在港口可以停留大约2个小时.
增分技巧利用三角函数解决实际应用问题的方法步骤(1)分析理解题意,弄清已知与未知,抽象出一个或几个三角形.(2)根据已知条件与求解目标,建立三角函数模型.(3)根据正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换等方法解决三角函数问题.(4)得到原实际问题的解.
对点练6(2022·广东中山纪念中学高三检测)随着人们物质和文化生活水平的提高,旅游业也逐渐兴旺起来.经过调查研究,在某个风景区,每年到访的游客人数会发生周期性的变化.现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位:万人)φ(n)可近似地用函数φ(n)=10[Acs(ωn+2)+k]来刻画.其中:正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=2时表示二月份;A和k是正整数;ω>0.统计发现,风景区每年各个月份游客人数有以下规律:①每一年相同的月份,该风景区游客人数大致相同;②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400 000人;③二月份该风景区游客大约为100 000人,随后逐渐增加,八月份达到最多.
(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的φ(n)的表达式.(2)一般地,当该地区游客超过400 000人时,该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”?请说明理由.
高考小题突破1 三角函数的图象与性质
高考小题突破2 三角恒等变换与解三角形
培优拓展❶ 三角变换与解三角形中的“变角”“变式”
◎高考满分大题一 三角函数与解三角形
答案 D 解析 设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cs 120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.
5. (2021·全国甲·理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)( )A.346B.373C.446D.473
解析 过C作CD⊥BB'于点D,过B作BE⊥AA'于点E(图略),由题意,
6. (2021·全国甲·文15)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则
7.(2022·新高考Ⅰ·18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
∴cs Acs B=sin B+sin Asin B,∴sin B=cs Acs B-sin Asin B=cs(A+B)=cs(π-C)=-cs C>0.
8.(2021·新高考Ⅰ·19)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cs∠ABC.
(1)证明 由正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b.(2)解 (方法一 两次应用余弦定理)
(方法二 等面积法和三角形相似)如图,已知AD=2DC,
而b2=ac,即sin∠ADB=sin∠ABC,故有∠ADB=∠ABC,从而∠ABD=∠C.
(方法四 构造辅助线利用相似的性质)如图,作DE∥AB,交BC于点E,则△DEC∽△ABC.由AD=2DC,得
1.同角基本关系式、诱导公式
名师点析各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.三角函数图象的变换(1)先平移后伸缩
误区警示无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看角“ωx+φ”的变化.
求单调区间时,必须保证ω>0
其他两类函数类似可解.
4.三角恒等变换(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcs β±cs αsin β;cs(α±β)=cs αcs β∓sin αsin β;
名师点析注意公式的逆用与变形用,例如:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
5.正弦定理、余弦定理
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等.
(2)余弦定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccs A.
(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α;(sin α-cs α)2=1-2sin αcs α;(sin α+cs α)2+(sin α-cs α)2=2.
(4)在△ABC中,a>b⇔A>B⇔sin A>sin B.(5)任意三角形中的射影定理bcs C+ccs B=a,acs C+ccs A=b,acs B+bcs A=c.
答案 (1)C (2)A
增分技巧1.三角函数中常见的3种变换方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α= 化成正弦、余弦;(2)和积转换法:利用(sin θ±cs θ)2=1±2sin θcs θ进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cs2θ=cs2θ(1+tan2θ)=tan .2.应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定要注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简时要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为底、化繁为简等.
答案 (1)A (2)50°
考向1由函数的图象特征求解析式典例突破2(1)(多选)(2020·山东·10)右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( )
答案 (1)BC (2)C
增分技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A通过看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
对点练2(2021·全国甲·理16)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所
考向2三角函数的图象变换
规律方法三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下:(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.(2)变同名:变换前后函数的名称要一样.(3)选方法:选择变换方法要注意对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin ω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.
(2)(2022·重庆高三模拟调研)已知曲线C:y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,要得到曲线C的图象,可将曲线y=cs x的图象( )
答案 (1)A (2)A
答案 (1)AC (2)D
增分技巧一般地,研究三角函数的性质时,首先应将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)的形式,然后通过整体代换,结合正弦函数、余弦函数的基本性质进行求解.(1)求单调区间时,将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数或余弦函数的单调递增(减)区间,求出x的范围即为原函数的单调递增(减)区间.(2)求函数在闭区间上的最值时,应根据x所在的区间求出ωx+φ的取值范围,再结合正弦函数或余弦函数的图象确定函数的最值.(3)判断对称轴或对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断.
答案 (1)A (2)BD
A.tan(α+β)=-1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α-β)=1
答案 (1)A (2)A (3)C
增分技巧1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2θ+cs2θ=tan 45°.(2)项的拆分与角的配凑:如sin2α+2cs2α=(sin2α+cs2α)+cs2α,α=(α-β)+β等.(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.
典例突破2(1)(2022·陕西西安模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别
(2)由题意作出图形,如图.在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM·BA·cs B,即12=4+BM2-2BM×2× ,解得BM=4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM=8.
规律方法三角形中边角互化的基本原则(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”.(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”.(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”.(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解.(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
典例突破3(1)为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设,如图,在东北某地地面有四个5G基站A,B,C,D.已知C,D两个基站建在松花江的南岸,距离为10 km;基站A,B在松花江的北岸,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A,B两个基站的距离为( )
(2)蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市,建于明朝天启元年(1621年),为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南,砖石结构,平面呈六边形,是江西省省级重点保护文物,已被列为革命传统教育基地.某学生为测量蜚英塔的高度,如图,选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=35米,∠CAD=45°,∠CBD=30°,∠ADB=150°,则蜚英塔的高度CD是( )
答案 (1)D (2)C
解析 (1)在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=75°+45°=120°,所以∠CAD=30°,有∠ADC=∠CAD,
增分技巧解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
对点练3(1)(2022·辽宁葫芦岛高三检测)黄鹤楼,位于湖北省武汉市武昌区,地处蛇山之巅,濒临万里长江,为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度,在楼的一侧找到一座高为30( -1)m的建筑物AB,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°,则估算黄鹤楼的高度CD为( )
(2)(2022·四川泸州二模)如图,航空测量组测得飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高
A.7 350 mB.2 650 mC.3 650 mD.4 650 m
答案 (1)C (2)B
(2)如图,设飞机的初始位置为点A,经过420 s后的位置为点B,山顶为点C,连接AB并延长,作CD⊥直线AB于点D,则∠BAC=15°,∠CBD=45°,所以∠ACB=30°,在△ABC中,AB=50×420=21 000(m),由正弦定理
三角变换与解三角形中的“变角”“变式”
三角函数的求值、化简以及研究函数性质等问题的本质是处理其中的“角”和“式”,其核心技巧也在于处理“角”和“式”之间的关系,通过合理地“变角”“变式”,达到解决问题的目的.(1)变角:变角的目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”,常常从和角、差角、二倍角、半角、互补、互余等关系入手.(2)变式:一是通过变换函数名称减少函数种类,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;二是根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
答案 (1)A (2)130°
(4)已知θ是钝角,则sin θ+cs θ+sin θcs θ的取值范围是 .
(1)求ω的值;(2)用“五点法”作出函数f(x)在区间[0,π]上的图象.
增分技巧五点作图法注意点利用五点作图法画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)在一个周期上的图象时,如果不指定具体的区间,则可由ωx+φ=0,ωx+φ=2π确定区间的两个端点,画出一个周期上的图象;如果指定了区间,则除了找出位于该区间内的关键点以外,还要把区间的端点也要列在表格中,然后通过描点、连线,得到函数在该区间上的一段图象.
对点练1(2022·北京海淀模拟)已知函数f(x)=2sin .(1)某同学利用五点法画函数f(x)在区间 上的图象.他列出表格,并填入了部分数据,请你帮他把表格填写完整,并在坐标系中画出图象;
典例突破2(2021·浙江·18)设函数f(x)=sin x+cs x(x∈R).
增分技巧1.三角变换在三角函数图象与性质中应用的基本思路:通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想和数形结合的思想解决相关问题.2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递减区间.
考向1求三角形中的边或角典例突破3(2022·山东潍坊二模)如图,四边形ABCD的内角B+D=π,AB=6,DA=2,
解 (1)设BC=CD=x>0,在△ABC中,根据余弦定理,得AC2=36+x2-2×6xcs B=28,即x2+8=12xcs B,①又在△ACD中,根据余弦定理,得AC2=4+x2-2×2xcs D=28,即x2-24=4xcs D,②因为B+D=π,则cs D=cs(π-B)=-cs B,③
规律方法解三角形问题的基本策略(1)选定理.①已知两角及一边,求其余的边或角,利用正弦定理.②已知两边及其一边的对角,求另一边所对的角,利用正弦定理.③已知两边及其夹角,求第三边,利用余弦定理.④已知三边求角或角的余弦值,利用余弦定理的推论.⑤已知两边及其一边的对角,求另一边,利用余弦定理.
(2)巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化;若将条件转化为边之间的关系,则式子一般比较复杂,要注意根据式子结构特征灵活化简.(3)得结论.利用三角函数公式,结合三角形的有关性质(如大边对大角,三角形的内角取值范围等),并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.
已知三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,c=4, .
(1)求角B的大小;(2)若M为边AC上一点,且BM为∠ABC的平分线,求BM的长.
考向2与面积有关的解三角形问题典例突破4(12分)(2022·新高考Ⅱ·18)记△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,以a,b,c为边长的三个正三角形的面积分别为S1,S2,S3,
增分技巧三角形面积公式的应用原则
考向3解三角形中的最值与范围问题典例突破5(2022·山东枣庄一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为
增分技巧在已知三角形的一边及其对角的前提下,求该三角形周长或面积的最值通常有两种方法:(1)代数变换法:先利用余弦定理,建立三角形中未知的两条边满足的条件等式,然后利用基本不等式求出两边之和或两边之积的最值,最后结合周长公式或面积公式即得三角形周长或面积的最值.(2)三角变换法:先利用正弦定理,建立三角形中未知的两条边和两角满足的关系式,并用其中的一个角表示两条边,然后根据周长公式或面积公式建立周长或面积关于该角的函数关系式,最后通过三角恒等变换对函数解析式进行化简,即可求得周长或面积的最值.
对点练5(2022·广东佛山模拟)设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,已知A= .(1)若a=5bsin B,求cs B;(2)在①b2+4c2=16,②a=2cs A这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中.问题:若 ,求△ABC面积的最大值.
典例突破6(2022·山西临汾适应性训练)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数y=Acs(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,b>0,-π<φ<π),画出函数图象,并求出函数解析式.(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?大约能在港口停留多久?
当k=1时,x∈[14,16],所以该船在2:00或14:00点可以进入港口,在港口可以停留大约2个小时.
增分技巧利用三角函数解决实际应用问题的方法步骤(1)分析理解题意,弄清已知与未知,抽象出一个或几个三角形.(2)根据已知条件与求解目标,建立三角函数模型.(3)根据正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换等方法解决三角函数问题.(4)得到原实际问题的解.
对点练6(2022·广东中山纪念中学高三检测)随着人们物质和文化生活水平的提高,旅游业也逐渐兴旺起来.经过调查研究,在某个风景区,每年到访的游客人数会发生周期性的变化.现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位:万人)φ(n)可近似地用函数φ(n)=10[Acs(ωn+2)+k]来刻画.其中:正整数n表示月份且n∈[1,12],例如n=2时表示二月份;A和k是正整数;ω>0.统计发现,风景区每年各个月份游客人数有以下规律:①每一年相同的月份,该风景区游客人数大致相同;②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400 000人;③二月份该风景区游客大约为100 000人,随后逐渐增加,八月份达到最多.
(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的φ(n)的表达式.(2)一般地,当该地区游客超过400 000人时,该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么,一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”?请说明理由.
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