上海市松江区华东师范大学松江实验高级中学2022-2023学年高一下学期3月监测数学试卷（原卷版+解析版）

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（完卷时间：120分钟 试卷分值：150分 命题：黄建平）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知，若与的终边相同，且，则_____
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义求解即得.
【详解】依题意，，又与的终边相同，且，
所以.
故答案为：
2. 若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角．
【答案】第三象限角
【解析】
【详解】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，
可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，
则α是第三象限角．
考点：三角函数值的象限符号.
3. cs2–sin2=________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式．
考点：余弦的二倍角公式.
4. 已知，则_____
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定的正切值，利用同角公式求解即得.
【详解】由，得，又，
因此，由，得，
所以.
故答案为：
5. 已知，则_____
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用反三角函数求出结果即可.
【详解】由，得.
故答案：
6. 已知某扇形的周长为30cm，当其面积最大时，圆心角的弧度数为_____
【答案】2
【解析】
【分析】设出扇形所在圆半径，再利用弧度、扇形面积公式求解即得.
【详解】设扇形所在圆半径为，则其弧长为，
扇形面积，
当且仅当时取等号，此时，
所以当，时，扇形面积最大，圆心角的弧度数为.
故答案为：2
7. 若及是关于x的方程的两个实根，则实数k的值为________
【答案】
【解析】
【分析】根据韦达定理得到，结合列出关于的方程，由判别式即可求解.
【详解】因为及是关于x的方程的两个实根，
则，，
因为且，
所以，即，
解得：或，
因为方程有两个实根，
所以，解得：或，
所以，
故答案为：.
8. 已知，且，则=_____
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简并求解方程即得.
【详解】由，得，即
而，即，所以.
故答案为：
9. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用化简为，再利用正弦定理边角互化为，化简求值.
【详解】，
原式，
，
即 ，由正弦定理可知，
即 ，即 ，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和正弦定理边角互化，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型.
10. 把化为的形式是_____
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式与二倍角公式化简即可.
【详解】由三角函数相关性质得原式，
，
，
故答案为：
11. 在钝角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，则边长的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理分类求解即得.
【详解】在钝角中，，，显然
当角为钝角时，且，则，解得，
当角为钝角时，且，则，解得，
所以边长的取值范围是.
故答案为：
12. 已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形,若等腰存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___.
【答案】
【解析】
分析】
【详解】设顶角为A,由得，
三角形为等腰，设B=C,则，又，
又
可得,即，故.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 在中，，则为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式以及诱导公式可得出，结合角的取值范围可得出结论.
【详解】因为，则，
所以，，因，故为钝角，
故为钝角三角形.
故选：C.
14. 如果是第一象限角，则（ ）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据的象限确定的象限，即可排除B、D，再确定的象限，即可排除A.
【详解】因为是第一象限角，则，，
所以，，
所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D；
又，，
所以的终边在第一、第二象限或在轴的非负半轴上，则，
当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除A.
故选：C
15. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
16. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函数的和差公式与三角函数的商数关系得到关于的方程组，进而结合三角函数的正负情况求得的取值范围，再次利用正弦函数的和差公式求得的值，由此得到的值.
【详解】因为，所以，
又因为，即，则，故，
联立，解得，
因为，，所以，
又，，所以，，
所以，，则，
因为，
所以.
故选：D.
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）求值：
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角公式及差角的正切公式求出，再利用同角公式求出.
（2）由（1）的信息，利用和角的正弦及二倍角的正弦公式化简计算即得.
【小问1详解】
由锐角，，得，，
由，得，
即，又，则，而为锐角，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
所以.
18. 已知
（1）求
（2）化简并求值：
【答案】18. ，；
19. .
【解析】
【分析】（1）由已知等式求出，再利用齐次式法求值即得.
（2）利用诱导公式、商数关系及和角的正弦公式化简，再利用齐次式法求值即得.
【小问1详解】
由，得，解得，
.
小问2详解】
由（1）知，，
所以
.
19. 已知中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、结合平方关系求解即得.
（2）根据给定的等式，结合诱导公式及和角的正弦公式，平方关系求解即得.
【小问1详解】
中，由，得，
由余弦定理得，而，
所以.
【小问2详解】
在中，，由（1）知，
则，
因此，即，又，
则，整理得，而，
所以.
20. 在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点．
（1）若将角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
（2）若，求x；
（3）在（2）的条件下，将OP绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数定义求出，再利用差角的正弦公式计算即得.
（2）利用三角函数定义求出x值.
（3）利用和差角的正余弦公式求出，再利用三角函数定义求出点的坐标.
【小问1详解】
依题意，，则，显然点在角的终边上，
于是，
所以.
【小问2详解】
依题意，，，因此，，
所以.
【小问3详解】
由（2）知，，
显然点在角的终边上，，
，
，
，，
所以点的坐标是.
【点睛】结论点睛：角终边上点到原点的距离为，则点.
21. 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为12米．（已有两面墙的可利用长度足够大）
（1）若，求的周长（结果精确到0.01米）
（2）如因实际需要，在墙角C的正上方5.5米高的位置，安装一照明灯源D，且要使得仰角，求此时角的大小．（结果精确到0.1度）
（3）如为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室即的面积尽可能大，如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1）米；
（2）或；
（3）为正三角形，最大面积为平方米.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算即得.
（2）利用直角三角形边角关系求出，再利用正弦定理求解即得.
（3）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解即得.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得：
，，
所以的周长为（米）.
【小问2详解】
在中，由，得，，
，又，则，
在中，由正弦定理得，而，
所以或.
【小问3详解】
在中，由余弦定理得：，
则，即，当且仅当时取等号，
，
所以当，即是正三角形时，，面积取得最大值平方米.
【点睛】思路点睛：解三角形应用题的一般步骤：
①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；
②根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；
③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；
④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.