数学苏教版 (2019)2.3 全称量词命题与存在量词命题课后作业题

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知识精讲
一、全称量词与存在量词
【特别提醒】
（1）在全称量词命题与存在量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“x∈N，x≥0”.
（2）在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.
二、全称量词命题、存在量词命题的否定
三、全称量词命题、存在量词命题及其否定的关系
1.全称量词命题的否定是 命题.
2.存在量词命题的否定是 命题.
【思考】 “一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
【特别提醒】
（1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；
（2）含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
一、全称量词 “∀x∈M，p(x)” 存在量词 “∃x∈M，p(x)”
三、存在量词 全称量词
提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
能力拓展
考法01 全称量词命题与存在量词命题的判断
对于全称量词命题与存在量词命题的判断，关键看量词，对于没有量词的命题需要补全量词在进行判别.
例 1
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)有的一次函数图象经过原点；
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
【解析】(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题. 表示为∃一次函数，它的图象过原点.
(3)全称量词命题.表示为∀二次函数，它的图象的开口都向上.
【名师指点】全称量词命题或存在量词命题的判断
注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
【跟踪训练】
下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】①②是全称量词命题，③是存在量词命题．
考法02 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧
(1)全称量词命题的真假判定
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)存在量词命题的真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
例 2
判断下列命题的真假．
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)∀x∈N，x2>0.
【解析】 (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
【跟踪训练】
判断下列命题的真假．
(1)∃x∈Z，x3<1；
(2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(3)∀x∈N，x2>0.
【解析】(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(3)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
考法03 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围
根据含量词命题的真假求参数的取值范围问题，一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系，再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
例 3
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围。
【解析】由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，
所以B⊆A，B≠∅，所以解得2≤m≤3.
【跟踪训练】
变式1. （变条件）把例3中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围．
【解析】p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
变式2. （变条件）把例3中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。
【解析】由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，
所以A⊆B，B≠∅，所以，解得m∈，所以不存在实数m，使命题p是真命题。
考法04 全称量词命题的否定
（1）对全称量词命题进行否定要做到“两变”：一变量词，即把全称量词变为存在量词；二否定命题。
（2）全称量词命题的否定是存在量词命题，
（3）对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
例4
写出下列全称量词命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
【解析】(1) p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
(2) p：有些自然数的平方不是正数.
(3) p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.
(4) p：存在实数x，使得x2＋1<0.
【跟踪训练】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
(2)p：∀x∈N,2x>0.
【解析】(1) p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．
因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故p为假命题．
(2) p：∃x∈N,2x≤0. p为假命题．
考法05 存在量词命题的否定
对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．
例5
写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形.
【解析】(1) p：∀x>1，x2－2x－3≠0. p假命题。
(2) p：所有的素数都不是奇数. p假命题。
(3) p：所有的平行四边形都是矩形. p假命题。
【跟踪训练】
写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.
【解析】(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，∴命题的否定是假命题．
考法06 根据命题求参数范围
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或aymin(或a例6
已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．
【解析】令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5，
因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
【跟踪训练】
变式1. （变条件）把例3的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
【解析】令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，
又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，
所以所求m 的取值范围是{m|m<3}．
变式2. （变条件）把例3中的条件“∀x∈R”改为“∀x∈[1，＋∞)”，求实数m的取值范围．
【解析】令y＝x2＋4x－1，x∈[1，＋∞)，则y＝(x＋2)2－5＝(1＋2)2－5≥4，
因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
分层提分
题组A 基础过关练
1．命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】特称命题的否定是全称命题，
即命题“”的否定是“”.故选：A
2．已知命题，则命题为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因是全称量词命题，则命题为存在量词命题，由全称量词命题的否定意义得，命题：.故选：C
3．命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是（ ）
A．所有奇函数的图象都不关于原点对称B．所有非奇函数的图象都关于原点对称
C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称D．存在一个奇函数的图象关于原点对称
【答案】C
【解析】全称命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是特称命题，
所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点称”.故选:C
4．下列结论中，错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．已知命题，则
C．若复合命题是假命题，则都是假命题
D．命题“若，则的逆否命题“若，则
【答案】C
【解析】对A，或，所以“”“”，反之不成立，故A正确；
对B，D都是可以直接判断为正确的.
对C，复合命题假，只需至少有一假就可以了，所以C错误.故选：C.
5．若命题“”的否定是“”，命题“若，则或”的否定是“若，则或”.则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】命题“”的否定是“”，为真命题；
因为 “若，则或”的否定是“若，则且”， 则为假命题，为真命题
所以为真命题故选：D
6．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”成立的充分必要条件；
B．命题，则；
C．命题“若，则”的否定是假命题；
D．“”是“”成立的充分不必要条件．
【答案】C
【解析】对于选项A，，时，易得，反之不成立，故A错误；
对于选项B，全称命题的否定为特称命题，所以命题，的否定为，，故B错误；
对于选项C，“若，则”为真命题，所以其否定为假命题，故C正确；
对于选项D，由“”并不能推出“”，如，，故D错误；
故选：C．
7．下列命题正确的是（ ）
A．“”的否定是“”
B．“若，则”的否命题是“若，则”
C．“”的否定是“”
D．“若，则”的逆命题是“若，则”
【答案】C
【解析】对于A，由全称命题的否定知该命题的否定为：，，A错误；
对于B，由否命题定义知该命题的否命题为：若，则，B错误；
对于C，由特称命题的否定知该命题的否定为：，，C正确；
对于D，由逆命题定义知该命题的逆命题为：若，则，D错误.
故选：C.
8．下列说法错误的是（ ）
A．“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”的否定是”
C．“是"”的必要不充分条件
D．“或是"”的充要条件
【答案】C
【解析】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；
对于B，“”的否定是”，正确；
对于C，“”等价于“或，
∴ “是"”的充分不必要条件，错误；
对于D，“或是"”的充要条件，正确.
故选：C
题组B 能力提升练
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则；
B．若，则；
C．使不等式成立的一个充分不必要条件是或
D．若是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相等”的充分不必要条件
【答案】BC
【解析】A选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题:,.则:,，A是假命题；
B选项：，
，，，B是真命题；
C选项：若或，则成立，故满足充分性；当时，或，不满足必要性，C是真命题；
D选项：设，则
所以不等式等价于.
若，此时等价于，此时两者解集相等；
若，此时等价于，此时两者解集不相等；
若不等式和解集为，则两个不等式的系数没有关系.
所以“”是“不等式和解集相等”的既不充分也不必要条件，D是假命题.故选：BC.
2．（多选题）下列说法正确的有（ ）
A．命题：，，则：，
B．“，”是“”成立的充分条件
C．命题：，，则：，
D．“”是“”的必要条件
【答案】ABD
【解析】由命题：，是全称量词命题，则：，，
所以A正确；
由时一定有，因此“”是“”成立的充分条件，所以B正确；
由命题：，，为全称命题，可得：，，所以C错误；
由不能推出，但时一定有成立，“”是“”的必要条件，所以D正确．故选：ABD
3．已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意知“”为真命题，
所以，解得0＜a＜3．
故答案为：.
4．若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为“”为假命题，
所以恒成立，
即在恒成立，
所以且，
又因为在上是增函数，
所以，
所以.故答案为：.
5．命题“”为真，则实数a的范围是__________
【答案】
【解析】由题意知：不等式对恒成立，
当时，可得，恒成立满足；
当时，若不等式恒成立则需，解得，
所以的取值范围是，故答案为：.
6．已知，，.
（1）若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
由，可得，即：.
因为为真命题，为假命题，故与一真一假，
若真假，则，该不等式组无解；
若假真，则，得或.
综上所述，实数的取值范围为或.
（2）由题意，：，，
因为是的充分不必要条件，故，
故，得，
故实数的取值范围为.
7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
（Ⅰ）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；
（Ⅱ）菱形都是正方形；
（Ⅲ）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．
【解析】（Ⅰ）该命题是特称命题，
该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0.因为
所以该命题的否定是假命题．
（Ⅱ）该命题是全称命题，
该命题的否定是：菱形不都是正方形.因为只有当菱形的邻边互相垂直时，才能成为正方形，所以该命题的否定是真命题．
（Ⅲ）该命题是特称命题，
该命题的否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数.因为方程x2﹣8x+12＝0的根为2或6，所以该命题的否定是真命题．
8．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
（1）实数都能写成小数形式.
（2）有的有理数没有倒数.
（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.
（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0.
【解析】（1）∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.
（2） ∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.
（3） ∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时，方程无实根，是假命题.
（4） ∃x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立，所以为假命题.
题组C 培优拔尖练
1．不等式组的解集记为D，下列四个命题中真命题是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】AB
【解析】作出图形如下：
由图知，区域为直线与相交的上部角型区域，
：区域D在区域的上方，故：成立；
：在直线的右上方和区域重叠的区域内，，故：正确；
：由图知，区域有部分在直线的上方，因此：错误；
：的区域（左下方的虚线区域）恒在区域下方，故：错误；故选：AB．
2．若至少存在一个,使得关于x的不等式成立,则实数m的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】原不等式可变形为，作出函数和的图象，由题意在时，至少有一点满足，
当与相切时，，，由得，
当过点时，，
∴．故选：D.
3．已知成立, 函数是减函数, 则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 ，设，则
，可得在上单调递增，而 ，则；由函数是减函数，可知，故是的必要不充分条件
4．下列四种说法：
①命题“，”的否定是“，”；
②若不等式的解集为，则不等式的解集为；
③对于，恒成立，则实数a的取值范围是；
④已知p：，q：（），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
正确的有________.
【答案】②③④
【解析】对①：命题“，”的否定是“，”，故①错误；
对②：不等式的解集为，
故可得，解得，
故不等式等价于，
解得，故②正确；
对③：，恒成立
等价于，当时，显然不成立；
当时，只需即可，
解得，故③正确；
对④：p是q的充分不必要条件，故可得在恒成立.
则只需，
整理得即可，又，故解得.
故④正确.故答案为：②③④.
5．设命题，；命题，使．
（1）若命题为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题，一真一假，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）因为命题，，．
令，
根据题意，只要，时，即可，
也就是，即；
（2）由（1）可知，当命题为真命题时，，
命题为真命题时，△，解得或
因为命题与一真一假，
当命题为真，命题为假时，，
当命题为假，命题为真时，．
综上：或．
6．已知命题“，不等式”成立是假命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）若是集合的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为命题“，不等式”成立是假命题，
所以命题的否定“，不等式”成立是真命题，
即，解得，集合.
（2）因为，即，
所以，
因为是集合的充要不必要条件，
所以令集合，集合是集合的真子集，
即，解得，实数的取值范围是.
课程标准
重难点
1、理解全称量词、存在量词的含义．
2、理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，并能用数学符号表示．
3、能判定全称量词命题与存在量词命题的真假，并掌握其判定方法
4、理解含有一个量词的命题的否定的意义．
5、理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，并能用数学符号表示．
6、掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
1．理解全称量词与存在量词的意义
2．命题的否定
3．根据命题判断参数范围
4．没有量词的命题的判断及否定
全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个
存在一个、至少有一个
符号
∀
∃
命题
含有 的命题是全称量词命题
含有 的命题是存在量词命题
命题形式
“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为
“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为