高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性学案

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知识精讲
一、函数的奇偶性
【思考1】如果函数的f(x)定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，那么函数f(x)是偶函数吗？
【思考2】如果奇函数在x＝0处有定义，则其图象有什么特征？
【特别提醒】理解函数的奇偶性应关注三点
(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．
(2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．
(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．
y轴 原点
【思考1】不一定。必须对定义域内的任意一个x都有f(－x)＝f(x)成立，函数f(x)才是偶函数。
【思考2】其图象过原点，即f(0)＝0.
能力拓展
考法01 函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
例1
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
所以f(x)是非奇非偶函数.
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
【跟踪训练】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；(2)f(x)＝
【解析】(1)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为R.
因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，
所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－＝＝f(x)；
当x<0时，－x>0，则f(－x)＝＝－＝f(x)．
综上可知，函数f(x)＝是偶函数.
考法02 奇偶函数的图象及应用
巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性；
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象；
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
例2
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
【解析】(1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．
【名师指点】
奇偶函数图象的应用类型及处理策略
1.类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．
2.策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．
【跟踪训练】(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
【解析】(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
考法03 利用函数的奇偶性求值
由函数的奇偶性求参数应关注两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
例3
求下列函数的解析式：
(1)已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
【解析】(1)方法一：(换元法)设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二：(配凑法)∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，
∴解得∴f(x)＝x2－x＋1.
（3）∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.
【跟踪训练】
变式1. （变条件）在例3（2）中，把条件换为“函数f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋8”，求f(x)．
【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即，解得或∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
变式2. （变条件）在例3(3)中把条件换为“2f＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)。
【解析】由f(x)＋2f＝x，令x＝eq \f(1,x)，得f＋2f(x)＝eq \f(1,x)，
于是得关于f(x)与f的方程组解得f(x)＝－ (x≠0)。
考法04 利用奇偶性求函数的解析式
利用函数奇偶性求解析式的方法
（1） “求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
（2）要利用已知区间的解析式进行代入.
（3）利用f(x)的奇偶性写出f(－x)或－f(x)，从而解出f(x).
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
例4
（1）若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
【解析】当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
故f(x)＝
（2）设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【解析】∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝.
【跟踪训练】
函数f(x)是在R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
【答案】x(x＋1)
【解析】当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).
因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1).
考法05 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
利用函数的奇偶性与单调性比较大小
(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
例5
若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A.C.f(2)【答案】B
【解析】∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<<－1.
∴f(2)＝f(－2)<【跟踪训练】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是________.
【答案】f(－2)【解析】因为f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时，f(x)是增函数，所以f(2)分层提分
题组A 基础过关练
1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误；
对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误；
对于C：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确；
对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误.故选：C
2．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】义在R上的偶函数在上单调递增，且，
所以在上单调递减，且，
或，
故或，故选：C
3．已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ）
A．B．0C．2D．50
【答案】C
【解析】
又是上的奇函数
∴函数的周期
又,，
，
故选：C
4．若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以或，
因为在上单调递增，且，
所以，
因为在上为奇函数，
所以在上单调递增，且，
因此，
综上：不等式的解集为.
故选：C.
5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
6．函数在上的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，
则，
所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，
又当x=1时，，排除D.故选：B
7．若是上周期为5的奇函数，且满足，，则等于（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】C
【解析】∵若是上周期为5的奇函数，∴，，∴，，∴，故选：C.
8．已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，
所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，
对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）对于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；
对于C､D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）故选：D.
题组B 能力提升练
1．已知函数(即，)则（ ）
A．当时，是偶函数B．在区间上是增函数
C．设最小值为，则D．方程可能有2个解
【答案】ABD
【解析】：当时，，即，
所以，所以是偶函数，故正确；
：当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
当时，，的对称轴为，开口向上，
此时在上是增函数，
综上，在上是增函数，故正确；
：当时，，
当时，，
因为不能确定的大小，所以最小值无法判断，故错误；
：令，
当时，，有2个解，故正确.
故选：ABD
2．下列函数中，是奇函数且在上单调递减的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，设，该函数的定义域为R，
且，所以该函数为奇函数，
又函数在上恒成立且单调递增，
所以函数在上单调递减，故A正确；
对于B，设，该函数的定义域为R，
且，所以该函数为奇函数，
又在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故B错误；
对于C，设，该函数的定义域为，
且，所以该函数为奇函数，
又在上单调递减，
所以函数在（0,1 ）单调递减，故C正确；
对于D，设，定义域为R，
且当时，；当时，，
所以该函数为奇函数，
当时，，单调递减，故D正确.故选：ACD.
3．已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数，则函数的解析式为___________.
【答案】
【解析】∵是偶函数，有，
∴关于对称，即，故，又图像经过点，
∴，可得.
故.故答案为：
4．已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，故答案为：1
5．写出一个单调递减的奇函数______．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】，在定义域R上是减函数，
又，
所以函数是奇函数，
故答案为：（答案不唯一）．
6．已知定义域为R的函数是奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】（1）定义域为R的奇函数f（x），则f（0）＝0，
当x＞0时，，当x＜0时，﹣x＞0，
则，∵f（x）是奇函数，
∴，即．
∴f（x）的解析式为： ．
（2）当x＞0时，单调递减，且，则在上单调递减，若不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，
即f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）
∴t2﹣2t＞k﹣2t2，
即3t2﹣2t＞k，
可得3（t﹣）2﹣＞k对任意的t∈R．∴k＜﹣．
故得实数k的取值范围是（﹣∞，﹣）．
7．函数是定义在R上的偶函数，当时，．
（1）求函数在的解析式；
（2）当时，若，求实数m的值．
【解析】（1）令，则，
由，此时；
（2）由，，
所以，
解得或或（舍）.
8．已知是定义在R上的奇函数，当时时，
（1）求解析式
（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）
【解析】（1）当时，，
当时，，，
所以，
（2）的图像为：
单调递增区间为：，，
单调递减区间为：，.
题组C 培优拔尖练
1．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）
A．的周期B．的最大值为4
C．D．为偶函数
【答案】ABD
【解析】函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
对有，
函数的图象关于中心对称，
，即，
又，即，
，
，即，，
的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；
当时，，，
当时，，，即，
当时，，
又函数的图象关于直线对称，
在一个周期上，，
在上的最大值为4，选项B正确；
，选项C错误.
故选：ABD.
2．对于函数，则下列判断正确的是（ ）
A．在定义域内是奇函数
B．函数的值域是
C．，，有
D．对任意且，有
【答案】ABD
【解析】A：由解析式知：定义域为，，即在定义域内是奇函数，正确；
B：当时，当且仅当时等号成立；当时有，当且仅当时等号成立；故其值域，正确；
C：当时，，而，，则，所以，错误；
D：若，，，所以，而，即，正确；故选：ABD
3．1837年，德国数学家狄利克雷(，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：(Q表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．
C．对于任意的有理数，都有
D．存在三个点，使为正三角形
【答案】ABCD
【解析】A：由定义知：定义域关于原点对称，当则，当则，即有，故是偶函数，正确；
B：由解析式知：或，即，正确；
C：任意的有理数，当时，即，当时，即，正确；
D：若存在为正三角形，则其高为1，边长为，所以当时成立，正确；故选：ABCD
4．下列命题中所有正确的序号是__________.
①函数()在R上是增函数；
②函数的定义域是，则函数的定义域为；
③已知，且，则；
④为奇函数.
⑤函数值域为
【答案】①④⑤
【解析】①由于在定义域内为增函数，在时也为增函数，故在R上是增函数，故正确；
②由题设知：中，令则，即的定义域为，故错误；
③由题设，令，即为奇函数，有，而，所以，故错误；
④，而，即，故正确；
⑤由题设，知：，即值域为，故正确.
故答案为：①④⑤
5．定义在R上的函数具有性质：（1）（2）当时，单调增，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】因为
所以令，得，
令，得，所以为R上的奇函数，
令，得，
因为时，单调递增，
所以，即当时，，
因为为R上的奇函数，
所以当时，；当时，，
等价于，
当即时，所以符合题意；
当即时，所以不符合题意；
当即时，所以不符合题意；故答案为：.
6．已知函数，对任意实数，.
（1）求函数的奇偶性；
（2）在上是单调递减的，求实数的取值范围；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）记，定义域为R，
因为，所以为偶函数.
（2），
任取，则
要使在上是单调递减的，只需恒成立.
因为，
所以，
所以只需恒成立，
即恒成立，
因为，所以，
即实数的取值范围为.
（3）在上的值域为，
∴要使对任意恒成立，只需对任意恒成立.
记，只需.
任取，则
因为，
所以，
所以，所以 在单增，
所以，
即，解得：或，
所以的取值范围是
课程标准
重难点
1.结合具体函数，了解奇偶性概念和几何意义；
2.会根据函数奇偶性的概念判断函数的奇偶性；
3.解决一些奇偶函数的图象问题；
4.会利用函数奇偶性求值.
1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式
2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图象特点
关于 对称
关于 对称