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    第02讲 三角函数概念-高一数学同步精品讲义(苏教版必修第一册)
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    数学苏教版 (2019)7.2 三角函数概念学案

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    这是一份数学苏教版 (2019)7.2 三角函数概念学案,文件包含第02讲三角函数概念教师版-高一数学同步精品讲义苏教版必修第一册doc、第02讲三角函数概念学生版-高一数学同步精品讲义苏教版必修第一册doc等2份学案配套教学资源,其中学案共30页, 欢迎下载使用。

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    知识精讲
    一、任意角三角函数的定义
    1.单位圆
    单位圆指的是 \t "" 平面直角坐标系上,圆心为 \t "" ① ,半径为 \t "" ② 的 \t "" 圆.
    2.在单位圆中,α是任意一个角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),如图所示:
    (1)y叫做α的正弦,记作 ③ ,即sin α =y;
    (2)x叫做α的余弦,记作 ④ ,即cs α=x;
    (3)叫做α的正切,记作 ⑤ ,即tan α=(x≠0).
    所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们把它们统称为 ⑥ .
    二、三角函数值的符号
    1.三角函数值的符号
    如图所示:
    正弦:①象限正,②象限负;
    余弦:③象限正,④象限负;
    正切:⑤象限正,⑥象限负.
    简记口诀:⑦,二正弦、三正切、四余弦.
    三、同角三角函数基本关系
    1.同角三角函数的基本关系
    (1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ① .即sin2α+cs2α= ② .
    (2)商数关系:同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的 ③ ,即= ④ (其中).
    2.同角三角函数基本关系式的变形
    (1)sin2α+cs2α=1的变形公式:sin2α=⑤;cs2α=⑥;
    (2)tan α=的变形公式:sin α=⑦;cs α=⑧.
    3.已知三角函数值求其他三角函数值的方法
    (1)若已知sin α=m,可以先应用公式⑨,求得cs α的值,
    再由公式⑩求得tan α的值.
    (2)若已知cs α=m,可以先应用公式⑪,求得sin α的值,
    再由公式⑫求得tan α的值.
    (3)若已知tan α=m,可以应用公式tan α==m⇒sin α=mcs α及 EQ \\ac(○,13),
    求得cs α=±,sin α=±的值.
    四、诱导公式一
    终边相同的角的同一三角函数的值相等,即
    sin(α+k·2π)= ;
    cs(α+k·2π)= ;
    tan(α+k·2π)= ,其中k∈Z.
    五、诱导公式二、三、四
    1.诱导公式二
    (1)角π+α与角α的终边关于①对称.
    如图所示.
    (2)公式:sin(π+α)=②.cs(π+α)=③.
    tan(π+α)=④.
    2.诱导公式三
    (1)角-α与角α的终边关于 ⑤ 轴对称.
    如图所示.
    (2)公式:sin(-α)=⑥. cs(-α)=⑦. tan(-α)=⑧.
    3.诱导公式四
    (1)角π-α与角α的终边关于 ⑨ 轴对称.如图所示.
    (2)公式:sin(π-α)=⑩. cs(π-α)=⑪. tan(π-α)=⑫.
    六、诱导公式五、六
    1.公式五、六
    设任意角的终边与单位圆的交点坐标为,由于角的终边与角的终边关于直线①对称,角的终边与单位圆的交点与点关于直线对称,因此点的坐标是(如图所示).
    由三角函数的定义得:
    ,;,.
    从而可得:
    公式五 ②,
    ③.
    由于,由公式四及公式五可得:
    公式六 ④,
    ⑤.
    参考答案
    一、 \t "" ①原点 \t "" ②单位长度 ③sin α ④cs α ⑤tan α
    ⑥三角函数
    二、 ①一、二 ②三、四 ③一、四 ④二、三 ⑤一、三⑥二、四 ⑦一全正二、(0,+∞)
    三、①1 ②1 ③正切 ④tanα ⑤1-cs2α; ⑥1-sin2α
    ⑦cs αtan α ⑧ ⑨ ⑩ eq \\ac(○,11) ⑫ EQ \\ac(○,13)
    四、
    五、①原点 ②-sinα ③-csα ④tanα ⑤x ⑥-sinα
    ⑦csα ⑧-tanα ⑨y ⑩sinα ⑪-csα ⑫-tanα
    六、① ② ③ ④ ⑤
    能力拓展
    考法01 任意角的三角函数
    任意角的三角函数的定义
    如图,在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点的坐标为,它与原点的距离为,那么:
    (1)比值叫做的正弦,记作,即;
    (2)比值叫做的余弦,记作,即;
    (3)比值叫做的正切,记作,即.
    对于确定的值,比值,,分别是唯一一个确定的实数,所以正弦、余弦、正切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上三种函数统称为三角函数.
    例 1
    已知角的终边经过点,求的正弦、余弦和正切值.
    【点拨】回归“定义”是解题的一种常用手段.
    【跟踪训练】已知点是角终边上的一点,试求,,的值.
    【思路分析】根据点的坐标求出点到原点的距离,再由三角函数的定义写出三个函数值,由于的符号决定着角的终边所在的位置,故需对分类讨论.
    考法02 三角函数的定义域和函数值符号
    各三角函数的值在各象限的符号如图所示.
    【说明】(1)对各象限角对应的正弦值、余弦值和正切值来说,第一象限各三角函数值全都是正号,第二象限只有正弦是正值,第三象限只有正切是正值,第四象限只有余弦是正值.
    (2)各象限三角函数值正号规律:一全二正弦,三切四余弦.
    例 2
    判断下列三角函数值的符号
    (1),,;
    (2)(为第二象限角).
    【跟踪训练】
    确定下列各三角函数值的符号:
    (1);(2);(3).
    考法03 同角三角函数的基本关系
    利用单位圆中的三角函数线以及勾股定理,我们可以得到同一个角的三个三角函数之间的两种关系,即:
    (1)平方关系:.
    即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.
    (2)商数关系:=.
    即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切.
    【说明】(1)当角的终边与坐标轴重合时,也是成立的.
    (2)根据三角函数的定义,当 时,=不成立.
    (3)“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达形式无关.
    【深化拓展】
    同角三角函数的基本关系变形
    平方关系与商数关系应用极为广泛,两个关系还有如下等价变形:
    ,,,
    ,等.
    例 3
    若,且是第二象限角,则等于( )
    A. B. C. D.
    【跟踪训练】
    1.已知,求和的值.
    考法04 诱导公式二、三、四
    例 4
    1.求值:(1);(2);(3).
    【思路分析】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,再利用特殊角的三角函数值得到【跟踪训练】 .
    考法05 诱导公式五、六
    例 5
    化简.
    【思路分析】利用诱导公式将,,的角的三角函数,转化为的角的三角函数,再通过约分进行化简.
    【跟踪训练】
    已知,求的值.
    【思路分析】∵,利用公式五可以将的三角函数值转化为的三角函数值,再利用同角三角函数的基本关系,将所求三角函数式整体用表示,然后将已知条件代入就可求解.
    【规律总结】从整体把握角与角之间的相互关系及其恒等变形是本题的解题要点,把未知角化为已知角,是三角变换中的一个重要策略.
    分层提分
    题组A 基础过关练
    1.已知,则的终边在( )
    A.第一象限B.第二象限C.三象限D.第四象限
    2.已知,则( )
    A.B.7C.D.1
    3.若角的终边上一点的坐标为,则与角终边相同的最大负角为( )
    A.B.C.D.
    4.( )
    A.2B.-2C.1D.-1
    5.已知,且,则( )
    A.B.C.D.
    6.已知,则( )
    A.B.C.D.
    7.若点,则点在( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    8.已知点,为坐标原点,线段绕原点逆时针旋转,到达线段,则点的坐标为( )
    A. B.
    C. D.
    题组B 能力提升练
    1.下列等式正确的有( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】ABD
    【解析】A. ,故A对;
    B.根据“奇变偶不变,符号看象限”得出,故B对;
    C. 根据“奇变偶不变,符号看象限”得出,故C错;
    D. ,

    所以,故D对.故选:ABD
    2.(多选)下列说法正确的有( )
    A.当角的终边在轴上时,角的正切线是一个点
    B.当角的终边在轴上时,角的正切线不存在
    C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
    D.余弦线和正切线的始点都是原点
    3.已知,则______.
    4.已知,则的值为___________.
    5.已知角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边经过点.
    (1)求,;
    (2)求的值.
    6.已知.
    (1)求的值; (2)求的值.
    7.已知角的终边经过点().
    (1)求的值;
    (2)若是第二象限角,求的值.
    8.设函数,且,为第二象限角.
    (1)求的值.
    (2)求的值.
    题组C 培优拔尖练
    1
    1.函数的最大值和最小值分别为( )
    A. B.C.,0D.
    2.若,则的取值范围是( )
    A. B.
    C. D. (以上)
    3.已知,对任意,总存在实数,使得,则的最小值是___
    4.已知(),则________.(用表示)
    5.已知,则__________.
    6.(1)已知点在角的终边上,且,求 和的值;
    (2)求证:.
    课程标准
    重难点
    理解三角函数线的概念;
    会求三角函数的定义域;
    掌握三角函数值线的应用.
    理解同角三角函数的两种关系;
    利用同角三角函数的关系求特殊值;
    利用同角三角函数的关系求值;
    利用同角三角函数的关系化简证明.
    理解并掌握诱导公式;
    会利用诱导公式求值;
    会利用诱导公式证明恒等式;
    掌握诱导公式的综合应用问题.
    1.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.
    2.运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明
    3. 同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:
    (1)求值(知一求二);
    (2)化简三角函数式;
    (3)证明三角恒等式.
    4.诱导公式
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