数学苏教版 (2019)7.2 三角函数概念学案

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知识精讲
一、任意角三角函数的定义
1.单位圆
单位圆指的是 \t "" 平面直角坐标系上，圆心为 \t "" ① ，半径为 \t "" ② 的 \t "" 圆.
2.在单位圆中，α是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），如图所示：
（1）y叫做α的正弦，记作 ③ ，即sin α ＝y；
（2）x叫做α的余弦，记作 ④ ，即cs α＝x；
（3）叫做α的正切，记作 ⑤ ，即tan α＝（x≠0）．
所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为 ⑥ ．
二、三角函数值的符号
1.三角函数值的符号
如图所示：
正弦：①象限正，②象限负；
余弦：③象限正，④象限负；
正切：⑤象限正，⑥象限负．
简记口诀：⑦，二正弦、三正切、四余弦．
三、同角三角函数基本关系
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ① ．即sin2α＋cs2α＝ ② ．
（2）商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的 ③ ，即＝ ④ （其中）．
2．同角三角函数基本关系式的变形
（1）sin2α＋cs2α＝1的变形公式：sin2α＝⑤；cs2α＝⑥；
（2）tan α＝的变形公式：sin α＝⑦；cs α＝⑧．
3．已知三角函数值求其他三角函数值的方法
（1）若已知sin α＝m，可以先应用公式⑨，求得cs α的值，
再由公式⑩求得tan α的值．
（2）若已知cs α＝m，可以先应用公式⑪，求得sin α的值，
再由公式⑫求得tan α的值．
（3）若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcs α及 EQ \\ac(○,13)，
求得cs α＝±，sin α＝±的值．
四、诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即
sin（α＋k·2π）＝ ；
cs（α＋k·2π）＝ ；
tan（α＋k·2π）＝ ，其中k∈Z．
五、诱导公式二、三、四
1．诱导公式二
（1）角π＋α与角α的终边关于①对称．
如图所示．
（2）公式：sin（π＋α）＝②．cs（π＋α）＝③．
tan（π＋α）＝④．
2．诱导公式三
（1）角－α与角α的终边关于 ⑤ 轴对称．
如图所示．
（2）公式：sin（－α）＝⑥． cs（－α）＝⑦． tan（－α）＝⑧．
3．诱导公式四
（1）角π－α与角α的终边关于 ⑨ 轴对称．如图所示．
（2）公式：sin（π－α）＝⑩． cs（π－α）＝⑪． tan（π－α）＝⑫．
六、诱导公式五、六
1．公式五、六
设任意角的终边与单位圆的交点坐标为，由于角的终边与角的终边关于直线①对称，角的终边与单位圆的交点与点关于直线对称，因此点的坐标是（如图所示）．
由三角函数的定义得：
，；，．
从而可得：
公式五 ②,
③．
由于，由公式四及公式五可得：
公式六 ④，
⑤．
参考答案
一、 \t "" ①原点 \t "" ②单位长度 ③sin α ④cs α ⑤tan α
⑥三角函数
二、 ①一、二 ②三、四 ③一、四 ④二、三 ⑤一、三⑥二、四 ⑦一全正二、(0，＋∞)
三、①1 ②1 ③正切 ④tanα ⑤1－cs2α； ⑥1－sin2α
⑦cs αtan α ⑧ ⑨ ⑩ eq \\ac(○,11) ⑫ EQ \\ac(○,13)
四、
五、①原点 ②－sinα ③－csα ④tanα ⑤x ⑥－sinα
⑦csα ⑧－tanα ⑨y ⑩sinα ⑪－csα ⑫－tanα
六、① ② ③ ④ ⑤
能力拓展
考法01 任意角的三角函数
任意角的三角函数的定义
如图，在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，那么：
（1）比值叫做的正弦，记作，即；
（2）比值叫做的余弦，记作，即；
（3）比值叫做的正切，记作，即．
对于确定的值，比值，，分别是唯一一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数．
例 1
已知角的终边经过点，求的正弦、余弦和正切值．
【点拨】回归“定义”是解题的一种常用手段．
【跟踪训练】已知点是角终边上的一点，试求，，的值．
【思路分析】根据点的坐标求出点到原点的距离，再由三角函数的定义写出三个函数值，由于的符号决定着角的终边所在的位置，故需对分类讨论．
考法02 三角函数的定义域和函数值符号
各三角函数的值在各象限的符号如图所示．
【说明】（1）对各象限角对应的正弦值、余弦值和正切值来说，第一象限各三角函数值全都是正号，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．
（2）各象限三角函数值正号规律：一全二正弦，三切四余弦．
例 2
判断下列三角函数值的符号
（1），，；
（2）（为第二象限角）．
【跟踪训练】
确定下列各三角函数值的符号：
（1）；（2）；（3）．
考法03 同角三角函数的基本关系
利用单位圆中的三角函数线以及勾股定理，我们可以得到同一个角的三个三角函数之间的两种关系，即：
（1）平方关系：．
即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1．
（2）商数关系：=．
即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切．
【说明】（1）当角的终边与坐标轴重合时，也是成立的．
（2）根据三角函数的定义，当 时，=不成立．
（3）“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达形式无关．
【深化拓展】
同角三角函数的基本关系变形
平方关系与商数关系应用极为广泛，两个关系还有如下等价变形：
，，，
，等．
例 3
若，且是第二象限角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．已知，求和的值．
考法04 诱导公式二、三、四
例 4
1．求值：（1）；（2）；（3）．
【思路分析】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，再利用特殊角的三角函数值得到【跟踪训练】 ．
考法05 诱导公式五、六
例 5
化简．
【思路分析】利用诱导公式将，，的角的三角函数，转化为的角的三角函数，再通过约分进行化简．
【跟踪训练】
已知，求的值．
【思路分析】∵，利用公式五可以将的三角函数值转化为的三角函数值，再利用同角三角函数的基本关系，将所求三角函数式整体用表示，然后将已知条件代入就可求解．
【规律总结】从整体把握角与角之间的相互关系及其恒等变形是本题的解题要点，把未知角化为已知角，是三角变换中的一个重要策略．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知，则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．三象限D．第四象限
2．已知，则（ ）
A．B．7C．D．1
3．若角的终边上一点的坐标为，则与角终边相同的最大负角为（ ）
A．B．C．D．
4．（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
5．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．若点，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知点，为坐标原点，线段绕原点逆时针旋转，到达线段，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
题组B 能力提升练
1．下列等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A. ，故A对；
B.根据“奇变偶不变，符号看象限”得出，故B对；
C. 根据“奇变偶不变，符号看象限”得出，故C错；
D. ，
，
所以，故D对.故选：ABD
2．(多选)下列说法正确的有（ ）
A．当角的终边在轴上时，角的正切线是一个点
B．当角的终边在轴上时，角的正切线不存在
C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D．余弦线和正切线的始点都是原点
3．已知，则______．
4．已知，则的值为___________.
5．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点.
（1）求，；
（2）求的值.
6．已知．
（1）求的值； （2）求的值．
7．已知角的终边经过点().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
8．设函数，且，为第二象限角.
(1)求的值.
(2)求的值.
题组C 培优拔尖练
1
1．函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．C．，0D．
2．若，则的取值范围是( )
A． B．
C． D． (以上)
3．已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___
4．已知（），则________.（用表示）
5．已知，则__________．
6．（1）已知点在角的终边上，且，求 和的值；
（2）求证：.
课程标准
重难点
理解三角函数线的概念；
会求三角函数的定义域；
掌握三角函数值线的应用．
理解同角三角函数的两种关系；
利用同角三角函数的关系求特殊值；
利用同角三角函数的关系求值；
利用同角三角函数的关系化简证明．
理解并掌握诱导公式；
会利用诱导公式求值；
会利用诱导公式证明恒等式；
掌握诱导公式的综合应用问题．
1.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．
2.运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明
3. 同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用：
（1）求值（知一求二）；
（2）化简三角函数式；
（3）证明三角恒等式.
4.诱导公式