苏教版 (2019)必修 第一册7.4 三角函数应用导学案

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知识精讲
一、三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即 ，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→ →根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般 ，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
1．三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
2．三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
二、三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
参考答案
一、建模问题 建立三角函数式 先根据题意设出代表函数
二、散点图 数据拟合
能力拓展
考法01 三角函数模型在生活中的应用
例 1
估计某一天的白昼时间的小时数的表达式是，其中表示某天的序号，表示1月1日，依此类推，常数与某地所处的纬度有关．
（1）在波士顿，，试画出当时函数的图象；
（2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．
【思路分析】首先利用五点法作出图象，然后结合图象分析问题．
【解析】（1）先用五点法作出的简图，
由及，
得及．
若，．
∵的周期为365，
∴．
将在上的图象向上平移12个单位，就得的图象（如图所示）．
（2）白昼时间最长的一天，即取最大值的一天，
此时，对应的是6月20日（闰年除外），
类似地，时取最小值，
即12月20日（闰年除外）白昼最短．
（3），
即，
，．
∴，．
故约有243天的白昼时间超过10．5小时．
【解题策略】该题已经知道了函数模型即函数的解析式，只需利用所学的三角函数知识对问题予以解答，再将所得结论转译成实际问题的答案．
【跟踪训练】据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈（，，）的模型波动（为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令可排除D，
令可排除B，
由可排除C；
或由题意，可得，，周期，
∴．
于是，
再代入点结合的范围得的值．
2．如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
（1）求出你与地面的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式；
（2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
【思路分析】
利用模型解决实际问题
求函数解析式
确定模型类别
【解析】（1）由已知可设，
由周期为12分钟可知，
当时，摩天轮第1次到达最高点，
即此函数第1次取得最大值，
所以，
即．
所以．
（2）设转第1圈时，第分钟时距地面60.5米，
由，
得，
所以或，
解得或．
所以（分钟）时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60．5米时，用了（分钟）．
【技巧点拨】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型，然后根据己知条件确定函数解析式中的各个参数，最后利用模型解决实际问题．
考法02 三角函数模型在物理学中的应用
例 2
1．弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间（s）内离开平衡位置（静止时的位置）的距离（cm）由下面的函数关系式表示：．
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
（3）经过多长时间小球往返振动一次？
（4）每秒内小球能往返振动多少次？
【思路分析】
问题（3）即求周期
问题（4）即求频率（的倒数）
令解（2）
令解（1）
【解析】
（1）令，
得，
所以开始振动的位置为（）．
（2）由题意知，当时，，
即最高点为；
当时，，
即最低点为．
（3），即每经过约3．14 s 小球往返振动一次．
（4），即每秒内小球往返振动约0．318次．
【易错警示】解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系导致错解．
【规律总结】1．已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般很容易，只需将具体的值代入计算即可．
【跟踪训练】
1.已知弹簧上挂着小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移（cm）随时间（s）的变化规律为，．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
（1）小球在开始振动时的位移是多少？
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
（3）经过多长时间小球往复振动一次？
【思路分析】在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数表示物体振动的位移随时间的变化规律，为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
【解析】列表如下：
描点、连线，图象如图所示：
（1）将代入，
得，
所以小球开始振动时的位移是cm．
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和cm，
（3）因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是s．
2．如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点离地面0.5 m．风车圆周上一点从最低点开始，运动（s）后与地面的距离为（m）．
（1）求函数的关系式；
（2）画出函数的图象．
【思路分析】本题主要考查逻辑思维能力和运算能力，由题意可知角速度，建立适当的直角坐标系，写出的表达式．
【解析】（1）如图①，以为原点，过点的圆的切线为轴，建立直角坐标系．设点的坐标为，则．
设，则，．
又，
即，
∴，．
（2）函数的图象如图②所示．
【点评】此题的关键是建立适当的平面直角坐标系，综合圆周运动的相关知识写出函数解析式．
考法03 函数解析式与图象对应问题
例 3
如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离（cm）和时间（s）的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．s B．s C．sD．s
【答案】D
【解析】本题已给出了单摆离开平衡位置的距离（cm）和时间（s）的函数关系式，单摆来回摆一次所需的时间即为此函数的一个周期．
∵，∴．
【点评】本题主要考查周期的物理意义，单摆来回摆动一次所需的时间即为周期，而的周期为，由此即可求得单摆的周期．
【跟踪训练】
某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化．
求出种群数量作为时间的函数表达式．（其中以年初以来的月为计量单位）
【思路分析】本题主要考查正弦曲线图象及解析式的求法，由于其符合正弦曲线，则可画出正弦曲线的示意图，由图象结合实际意义可求解析式．
【解析】设表示该曲线的三角函数为．
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，
∴振幅，，，
又∵7月1日种群数量达最高，
∴．
∴．
则种群数量关于时间的函数表达式为：
．
【点评】客观世界中许多观察的数量之间存在着三角函数关系，要注意数形结合解决实际应用题，并熟练地掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．
分层提分
题组A 基础过关练
1．“牵星术”是古代的航海发明之一，在《郑和航海图》中都有记载．如图所示，“牵星术”仪器主要是由牵星板（正方形木板），辅以一条细绳贯穿在木板的中心牵引组成．要确定航船在海上的位置，观察员一手持一块竖直的牵星板，手臂向前伸直，另一手持着线端置于眼前，眼睛瞄准牵星板上下边缘，将下边缘与水平线取平，上边缘与北极星眼线重合，通过测出北极星眼线与水平线的夹角来确定航船在海上的位置（纬度）．某航海观察员手持边长为20cm的牵星板，绳长70cm，观察北极星，眼线恰好通过牵星板上边缘，则航船所处的纬度位于区间（参考数据：，，，）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，眼睛距离牵星板的距离为，
记北极星眼线与水平线的夹角为，
则，
又，，，
所以，故选：C.
2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为，
周期为120s，，
最高点的纵坐标为，
最低点的纵坐标为，
所以，
当t=0时，H=0，，
所以.故选：A.
3．健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．收缩压为B．C．舒张压为 D．
【答案】B
【解析】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为，舒张压为，所以选项AC正确；
周期，知，所以选项B错误；
由题得，所以所以选项D正确.故选：B
4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，．故选：C
5．比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而世界闻名.把地球看成一个球(球心记为)，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，的方向即为点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于北纬，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角为，则中轴线与赤道所在平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解析如图所示，为比萨斜塔的中轴线，，，则，中轴线与赤道所在平面所成的角为.
故选:A.
6．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，因为，
，
所以，则，
所以，
所以，
因为，所以，
所以
，
故选：D
7．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数，其中为血压(单位：)，t为时间(单位：)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知，血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压，
又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期，
则，时间间隔为.故选：A.
8．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（ ）
A．10分钟B．12分钟C．14分钟D．16分钟
【答案】B
【解析】由题意，可得如下图：
由图可知，所以，
所以在运行的一圈里最佳观赏时长为.故选：B
题组B 能力提升练
1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
【答案】ABD
【解析】∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，，
则，故B正确；
振幅A为筒车的半径，即，故A正确；
由题意，t=0时，d=0，，即 ，
，∴，故C错误；
，
由d=6，得，
得
∴当k=0时，t取最小值为，故D正确．
故选：ABD．
2．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
【答案】BC
【解析】由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；
分钟后，转过的角度为，则，B正确；
周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，
则，又高度相等，则关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，所以在只有一个解；故选:BC.
3．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.
若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．该货船在2：00至4：00期间可以进港D．该货船在13：00至17：00期间可以进港
【答案】BCD
【解析】依据表格中数据知，可设函数为，
由已知数据求得，，周期，所以﹐
所以有，选项A错误；选项B正确；
由于船进港水深至少要6.25，所以，得，
又，则有或，
从而有或，选项C，D都正确.故选：BCD
4．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，江面宽度，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则下列说法正确的是（ ）
A．当，游船航行到达北岸的位置在右侧
B．当，游船航行到达北岸的位置在左侧
C．当，游船也能够达到处
D．游船能到达处时，需要航行时间为
【答案】BCD
【解析】设船的实际速度为，和的夹角为，
北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，
此时游船垂直江岸方向的速度，
时间，
所以当时，游船也能够达到处，需要航行，故CD正确；
当时，游船水平方向的速度大小为，方向水平向左，故最终到达北岸时游船在点的左侧，故A错误，B正确．
故选：BCD
5．高一某通用技术学习小组计划设计一个工艺品，该工艺品的剖面图如图所示，其中四边形为等腰梯形，且，，为圆O的弦，在设计过程中，他们发现，若圆O大小确定，OC最长的时候，工艺品比较美观，则此时圆O的半径与BC长度的比值为___________．
【答案】
【解析】过点作于，交于点，过点作的垂线，垂足为，
设，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
，
所以当时，即时，，
此时，
所以此时圆O的半径与BC长度的比值为.
故答案为：
6．海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________.
①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；
②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；
③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；
④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大.
【答案】①④
【解析】①不卸货，则吃水恒为2米，
船离海底为，
当时，，则，
解得，所以最多停留时间为小时，故①正确；
②立即卸货，吃水深度，且，
解得，
此时船离海底，
，
所以在上单调递增，且当时，，
由，，
此段时间都可以停靠，
又，，故②错误；
③与④，，，
，，解得，
当时，；当时，，
所以当时，船底离海底的距离最大.
故答案为：①④
7．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
（1）这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为____万度；
（2）这段曲线的函数解析式为______________.
【解析】由图知，最大用电量为50，最小用电量为30，
故，所以，
又由图象可得半周期为，，故，
又时，，∴ ，∴.
故.
故答案：50，30，.
8．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
参考数据：
【解析】（1）
由图象可知，，
则有
又因为时取最大值6.5，可得，
所以
（2）货船需要的安全水深为米，
所以当时就可以进港.
令，
得
得，
即，
当时，；当时，，
所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.
题组C 培优拔尖练
1．如图，正方形的长为，为边中点，射线绕点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．D．图象的对称轴是
【答案】AC
【解析】对于A选项，当时，设交于点，
，所以，，
，，A选项正确；
对于B选项，当时，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即函数在上单调递增，B选项错误；
对于C选项，取的中点，连接，
设射线与正方形的边的交点为，作点关于直线的对称点，
则，所以，，
将射线绕点按顺时针方向旋转扫过正方形的面积为，由对称性可知，
因为，即，C选项正确；
对于D选项，由C选项可知，，则，
所以，，
所以，函数的图象不关于直线对称，D选项错误.故选：AC.
2．某学校在一块圆心角为，半径等于的扇形空旷地域（如图）组织学生进行野外生存训练，已知在O，A，B处分别有50名，150名，100名学生，现要在道路OB（包括O，B两点）上设置集合地点P，要求所有学生沿最短路径到P点集合，则所有学生行进的最短总路程为_____________.
【答案】
【解析】连接，当集合地点在处时，，
所有学生行进的总路程为．
当集合地点不在处时，设，则．
在中，由正弦定理可得，
所以，，所以．
设所有学生行进的总路程为，
则
．
令，则，令，得，
又，在上单调递减，
所以根据复合函数的单调性知，当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，取得最小值，
此时．
故答案为：.
3．已知南北回归线的纬度为，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是.当地夏半年取正值，冬半年取负值，如果在北半球某地（纬度为）的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有和的式子表示）.
【答案】
【解析】如图：
设点A，B，C分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为，依题意两楼的间距不小于MC，根据太阳高度角的定义得：
故答案为：
4．定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．
【答案】
【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故
故答案为
5．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，
（1）用角表示，的长度；
（2）当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.
【解析】（1）由题意知：在中，，.
在中，，
所以.
（2）设矩形的面积为S，则
.
由，得，所以当，即时，.
因此，当时，矩形有最大面积，为.
6．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.
(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；
(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
【解析】由题意可得，，，由于 ，，
所以，，
，
即，
设，则，由于，
由于在上是单调减函数，
当时，即或时，L取得最大值为米．
课程标准
重难点
理解并掌握函数中的物理意义；
掌握解三角函数应用题的基本步骤；
理解三角函数图象类问题；
理解并掌握三角函数模型的应用．
1．通过具体实例，掌握三角函数在现实生活中的应用
2．通过现实问题进行模型的构建求解
0
0
1
0
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4
0
-4
0
时刻
水深/m
时刻
水深/m
时刻
水深/m
0：00
5.0
9：00
2.5
18：00
5.0
3：00
7.5
12：00
5.0
21：00
2.5
6：00
5.0
15：00
7.5
24：00
5.0
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5
6.5
4.5
2.5
4.5