苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用8.2 函数与数学模型学案

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知识精讲
一、常见的几种函数模型
二、解决函数应用问题的一般步骤
(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.
(2)这些步骤用框图表示如图：
【思考】一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的选取的标准是什么？它们的增长速度是如何变化的？
三、函数模型的应用
几种常见函数模型
参考答案
二、一次函数模型y＝kx＋b(k>0)增长特点是直线上升，增长速度不变.
二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值问题，幂函数y＝axn＋b(x>0，n>0，a>0)随x的增大而增大，但增长的速度相对平稳，图象随n的变化而变化.
能力拓展
考法01 一次函数模型
（1）一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
例 1
某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
【解析】(1)甲地调运x台到B地，则剩下(6－x)台电脑调运到A地；
乙地应调运(8－x)台电脑至B地，运往A地12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6，x∈N)，
则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，
所以y＝20x＋960(x∈N，且0≤x≤6)．
(2)若使y≤1 000，即20x＋960≤1 000，得x≤2.
又0≤x≤6，x∈N，所以0≤x≤2，x∈N.
所以x＝0,1,2，即有3种调运方案．
【跟踪训练】某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.
【答案】y＝－x＋50(0【解析】设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由解得k＝－，b＝50，
∴y＝－x＋50(0考法02 二次函数模型
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符．
例 2
一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．
【解析】设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得，即，解得y＝40－x，
记剩下的残料面积为S，则
S＝×60×40－xy＝x2－40x＋1 200＝(x－30)2＋600(0＜x＜60)，
故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20，
所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最小为600 cm2.
【名师指点】解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
【跟踪训练】
A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10 km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
【解析】(1)由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.
设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，
∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.
∵λ＝0.25，∴y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(2)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝，
则当x＝时，y最小．
故当核电站建在距A城 km时，才能使供电总费用最小．
考法03 分段函数模型
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
例 3
国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15 000元.
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【解析】(1)当0即y＝
(2)设旅行社所获利润为S元，则当0当30即S＝
因为当0当30即x＝60时，Smax＝21 000>12 000.
所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润.
【跟踪训练】某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：
(1)求y与x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
【解析】 (1)由图象知，可设y＝kx＋b，x∈[0,200]时，代入点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k＝10，b＝－1 000，从而y＝10x－1 000；
x∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)，解得k＝15，b＝－2 500，从而y＝15x－2 500，
所以y＝
(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，由15x－2 500>1 000，得x>，故每天至少需要卖出234张门票．
考法04 指数型模型的应用
指数函数模型的应用
1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．解答数学应用题应过的三关
(1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么．
(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题．
(3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法．
例4
(链接教材P148例3)一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
【解析】(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
【跟踪训练】设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为________kPa.
【答案】81
【解析】将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝eq \f(ln 0.9,1 000)，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eeq \f(ln 0.9,1 000)x，当x＝2 000时，y＝100(eln 0.9)2＝81.
考法05 对数型模型的应用
对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
例5
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(θ,100)，单位是 m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【解析】(1)由v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(θ,100)可知，
当θ＝900时，v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(900,100)＝eq \f(1,2)lg39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，
即eq \f(1,2)lg3eq \f(θ2,100)－eq \f(1,2)lg3eq \f(θ1,100)＝1，得eq \f(θ2,θ1)＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
[母题探究]
(变设问)若本例条件不变：(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100 个单位时，它的游速是多少？
(2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
【解析】(1)将θ＝8 100代入函数解析式，
得v＝eq \f(1,2)lg381＝eq \f(1,2)×4＝2(m/s)，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s.
(2)令v＝0，得eq \f(1,2)lg3eq \f(θ,100)＝0，即eq \f(θ,100)＝1，则θ＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．
【跟踪训练】某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
【答案】1024
【解析】依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1，,alg464＋b＝4，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4.))
解得a＝2，b＝－2.
∴y＝2lg4x－2，当y＝8时，2lg4x－2＝8，
解得x＝1 024.
故他的销售额应为1 024万元．
考法06 建立拟合函数模型解决实际问题
例6
为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示：
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？
【解析】 (1)描点，作图如右图所示．
(2)从(1)图可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型：y＝a＋bx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21.1＝a＋10.4b，,45.8＝a＋24.0b，))解得a≈2.4，b≈1.8，
所以该函数模型为：y＝2.4＋1.8x.
作出函数图象(如右图)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪面积与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25米时，可以灌溉土地47.4公顷．
【跟踪训练】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq \f(x2,5)－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】设可获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－eq \f(x2,5)＋48x－8 000＝－eq \f(x2,5)＋88x－8 000＝－eq \f(1,5)(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴当x＝210时，
R(x)max＝－eq \f(1,5)(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
分层提分
题组A 基础过关练
1．毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（ ）
A．125天B．100天C．75天D．50天
【答案】C
【解析】由题意知，当时，有．
即，得．
所以当时，有．
即，得．
所以．故选：C
2．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（ ）
A．1个月B．3个月C．半年D．1年
【答案】C
【解析】由题可知：∴
∴∴（天）
∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年.故选：C.
3．核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为（ ）
(参考数据：，)
A．0.369B．0.415C．0.585D．0.631
【答案】C
【解析】由题意知，，
即，
所以，解得.故选：C.
4．某医药研究所研发了一种治疗某疾病的新药，服药后，当每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效．据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（单位：毫克）与时间t（单位：时）之间满足如图所示的曲线，则服药一次后治疗疾病的有效时间为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】B
【解析】由题意，当时，函数图象是一个线段，
由于过原点与点，故其解析式为，；
当时，函数的解析式为，
此时在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得，解得
故函数的解析式为，．
所以．
令，即，
解得，．服药一次治疗疾病有效的时间为小时．故选：．
5．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为，
令，解得.故选：B.
6．某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数．如果在前消除了的污染物，则污染物减少需要花费的时间为（ ）
（精确到，参考数据）
A．30B．31C．32D．33
【答案】D
【解析】由题意当时，，当时，，
所以，解得，所以．
当时，有，
即，解得．故选：D．
7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,
则当时,元,不符合题意;
当时,,令,解得,符合题意；
当时,,不符合题意.
综上所述: 此户居民本月用水量为15.故选：C.
8．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135B．149
C．165D．195
【答案】B
【解析】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B
题组B 能力提升练
1．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为（不超过按起步价付费）；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶，乘客需付费8元
B．出租车行驶，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶，乘客需付费25.45元
D．某人两次乘出租车均行驶的费用之和超过他乘出租车行驶一次的费用
【答案】CD
【解析】对于A：出租车行驶，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；
对于B：出租车行驶，乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误；
对于C：出租车行驶，乘客需付费元，故C正确；
对于D：某人两次乘出租车均行驶的费用之和为元，
一次行驶的费用为25.45元，，故D正确.故选：CD
2．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
【答案】CD
【解析】由图可知，过，所以，，
对A，由为指数函数，为爆炸式增长，
取前三个月浮萍面积3，9，27，
故增长率逐月增大，故A错误；
对B，第一个月为3，第二个月为9，第三个月为27，
浮萍每月增加的面积不相等，
对C，，，故C正确；
对D，，
所以，，
所以，故D正确，
故选：CD
3．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
则下列说法正确的是（ ）
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
【答案】BD
【解析】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，
卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.
故选：BD
4．创新是一个民族的灵魂，国家大力提倡大学毕业生自主创业，以创业带动就业，有利于培养大学生的创新精神.小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，在年产量不足8万件时，(万元)；在年产量不小于8万件时，(万元).每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.
（1）写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润=年销售收入-固定成本-流动成本).
（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.
【解析】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元.
依题意得，当0当x≥8时，P(x)=10x--5=28-.
所以P(x)= ；
（2）当0当x=6时，P(x)取得最大值P（6）=13；
当x≥8时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.
当x=8时，P(x)取得最大值P（8）=.
由13<，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.
5．自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T型病毒的变化规律，将T型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y与天数n近似满足.已知T型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀死体内的T型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天(参考数据：).
【答案】19
【解析】由题意病毒细胞关于时间的函数为，
则由两边取对数得，解得．
即第一次最迟应在第19天注射该种药物．故答案为：19.
6．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：)
【答案】60
【解析】设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为，
，
故答案为：.
7．数学建模小组检测到相距3米的A，B两光源的强度分别为a，b，异于A，B的线段上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设米.
（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数，测得数据：当时，；当时，，求A，B两处的光强度，并写出函数的解析式；
（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数，测得数据：当时，；当时，，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.
【解析】（1）由已知，得
所以，，故，.
（2）由已知，得，所以，
故，.
因为，
当且仅当
所以当时的C处，光强度最弱为．
8．为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本可变成本）；
（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）当时，，
当时，，
所以
（2）当时，，即时，最大；
当时，因为，所以，所以
，当且仅当x=10时，
所以，此时x=10.
即年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
题组C 培优拔尖练
1．咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓中国咖啡市场最有效的方式之一.若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且该品牌门店提供如下4种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）3.8折优惠券，每人限用一次；（3）买2杯送2杯，每人限用两次；（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数.每位消费者都可以在以上4种优惠方式中选择不多于2种使用.现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（ ）人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利.
A．28B．29C．30D．31
【答案】C
【解析】由题意知，咖啡产品原价为 30 元杯，成本为 12 元杯，
优惠方式（1）免单购买，每购买1杯该品牌门店亏损12元；
优惠方式（2）每杯售价11.4元，每购买1杯该品牌店亏损0.6元；
优惠方式（3）和（4）相当于5折购买，每购买1杯该品牌门店盈利3元；
我们只需要考虑最优的购买方式，每位后勤工作人员能选择2种优惠方式，
必然包含优惠方式（1），可以免单购买5杯咖啡，该品牌门店因此亏损60元，
最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡
，说明只要用原价购买1杯咖啡，哪怕最大程度利用3.8折优惠，花费也一定会超过搭配使用（2）（4）优惠购买咖啡），
故显然该品牌门店必须按照优惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，
故技术人员人数一定多于人；
技术人员在人时，免单购买5杯咖啡买5送5购买20杯咖啡折购买14杯咖啡，该品牌门店依旧亏损；
技术人员为30人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡十买5送5购买20杯咖啡十买2送2购买4杯咖啡折购买1杯咖啡，
该品牌门店盈利元； 由于 4，
故技术人员超过30人时，该品牌门店能保证持续盈利．故选：C．
2．(5分)为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.
对于下列说法：
①越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.
其中正确的是：
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
【答案】A
【解析】
对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．
3．某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：
①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐;
②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：
③如果购买罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数.（其中表示不大于x的最大整数）
则所有正确说法的序号是__________.
【答案】②③.
【解析】①：购买罐可乐时，第一次可换罐还剩个空罐，第二次可换罐还剩个空罐，所以最多可饮用罐可乐，故错误；
②：购买罐时，第一次可换罐可乐，第二次可换罐可乐还剩个空罐，
第三次可换罐可乐还剩个空罐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；
购买罐时，第一次可换罐可乐还剩个空罐，第二次可换瓶可乐还剩个空罐，
第三次可换罐可乐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；
所以至少需要购买罐可乐，故正确；
③：购买到罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：
由表可知如下规律：
（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为；
（2）实际饮用数不是的倍数；
（3）每多买罐可乐，可多饮用罐可乐，
（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的倍少或；
设购买了罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为，
所以，即，即，
又因为可看作，即不大于的最大整数，所以成立，故正确；
故答案为：②③.
4．某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%，如果存款到期不取出继续留存于银行，银行自
动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄，
某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为
________元.（精确到1元）
【答案】218660
【解析】20万存款满一年到期后利息有，本息和共，再过一年本息和， 经过5年共有本息元,
元.
故填218660.
5．2011年六月康菲公司由于机器故障，引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染.为降低污染，渔场迅速切断与海水联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂.已知每投放(，且)个单位的药剂，它在水中释放的浓度(毫克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据实验，当水中药剂的浓度不低于4(毫克/升)时，它才能起到有效治污的作用.称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试问a的最小值(精确到0.1，参考数据：取近似值1.4).
【解析】（1）
则由时，，解得，所以此时.
当时，，解得，所以此时.
综上所述，得，若一次投放4个单位的药剂，则有效去污时间可达8天.
（2）当时，，
(当时，等号成立)
由，解得，所以的最小值1.6.
6．如图，河的两岸分别有生活小区和，其中，三点共线，与的延长线交于点，测得，，，，，若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系则河岸可看成是曲线（其中是常数）的一部分，河岸可看成是直线（其中为常数）的一部分．
（1）求的值．
（2）现准备建一座桥，其中分别在上，且，的横坐标为．写出桥的长关于的函数关系式，并标明定义域；当为何值时，取到最小值？最小值是多少？
【解析】（1）由题意得：，，∴，，，，
把，代入得，解得：，
把，代入得，解得.
（2）由（1）得：点在上，∴，
①桥的长为到直线的距离，
故；
②由①得：，
而，∴，
当且仅当时即“=”成立，∴.
课程标准
重难点
理解“指数爆炸”的含义；
掌握函数增长速度的差异；
掌握函数增长速度的比较；
理解并掌握函数增长速度的应用．
1.函数增长速度的比较
2.函数增长速度的应用
3.利用函数模型解决实际问题
4.实际问题中函数模型的选择问题
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx ，x∈Dn))
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
小数记录
五分记录
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/
型号
小包装
大包装
质量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
购买数
饮用数
剩余空罐数