资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩10页未读，
继续阅读
所属成套资源：高一物理同步精品讲义（沪科版必修第二册）
成套系列资料，整套一键下载
物理必修第二册第二节 万有引力定律优质导学案
展开
这是一份物理必修第二册第二节 万有引力定律优质导学案，文件包含第10课万有引力定律原卷版docx、第10课万有引力定律解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共32页， 欢迎下载使用。
目标导航
1、理解万有引力定律的内容及使用条件
2、掌握用万有引力定律计算引力的方法
知识精讲
问题1：苹果成熟后为什么往下落呢？
问题2：天体间的引力跟哪些因素有关呢？
知识点01 万有引力定律
1.万有引力定律
⑴ 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量和的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。
⑵ 公式：，是比例系数，叫做引力常量，适用于任何两个物体，通常取。值由卡文迪许首先精确测出。
⑶ 万有引力定律的适用条件
① 当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，它们之间的引力可直接使用万有引力定律公式计算。
② 通过严格的理论分析得到，质量分布均匀的球体，它们之间的引力也可直接使用公式计算，这时是两球心间的距离。
【典例1】
关于万有引力定律，下列说法正确的是（ ）
（A）牛顿提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值
（B）万有引力定律只适用于天体之间
（C）万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律
（D）地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的
【解析】A、牛顿提出了万有引力定律，而万有引力恒量是由卡文迪许测定的，故A错误；B、C、万有引力定律适用于宇宙万物任意两个物体之间的引力，是自然界一种基本相互作用的规律，故B错误，C正确；D、根据万有引力公式可知，在近日点的距离比远日点的距离小，所以在近日点万有引力大，故D错误．
【答案】C
【典例2】
两个质量分布均匀且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为，若两个半径是小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A． B． C． D．
【解析】利用万有引力公式得
【答案】D
【即学即练1】
最先利用扭秤实验较精确测出万有引力常量G的科学家是 （ ）
（A）库仑 （B）牛顿 （C）卡文迪什 （D）开普勒
【解析】卡文迪什最先利用扭秤实验较精确测出万有引力常量G
【答案】C
【即学即练2】
关于引力常量，下列说法中正确的是
A．值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，可用万有引力定律进行定量计算
B．引力常量的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量的物理意义是，两个质量是的物体相距时相互吸引力为
D．引力常量是不变的，其值大小与单位制的选择无关
【答案】AC
知识点02 卫星的环绕规律
1．卫星的运行规律
在高中阶段，我们一般近似认为卫星的运动轨道为圆形，在运动过程中只受到万有引力的作用，这样万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。设卫星的轨道半径为、线速度大小为、角速度为、周期为、向心加速度为。
⑴ 线速度规律
由可得：，即线速度。
⑵ 角速度规律
由可得：，即角速度
⑶ 周期规律
由可得：，即周期
⑷ 向心加速度规律
由可得：，即向心加速度
⑸ 轨道平面规律
由于地球对卫星的万有引力方向指向地心，因此卫星做圆周运动的轨道平面必过地心。
综上所述，可知：
以上规律不仅适用于卫星环绕地球的运动，对其它星球的卫星及类似的环绕天体也适用。
【典例1】
由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么卫星的（ ）
(A)速率变大，周期变小.
(B)速率变小，周期变大.
(C)速率变大，周期变大.
(D)速率变小，周期变小.
【解析】万有引力公式与圆周运动结合知；
【答案】A
【典例2】
甲、乙是两颗绕地球作匀速圆周运动的人造卫星，其线速度大小之比为，则这两颗卫星的运转半径之比为________，运转周期之比为________。
【解析】由线速度公式可知半径之比为，由可知周期之比为
【答案】；
【即学即练1】
设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面2R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则卫星的加速度为 __________ ，卫星的周期为__________ 。
【解析】根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力，求出卫星的线速度、角速度、周期和加速度．
知识点03 宇宙速度
1.第一宇宙速度的理解
⑴ 第一宇宙速度的推导
当物体以第一宇宙速度发射时，它将绕地球表面做匀速圆周运动，设地球质量为，绕地球做匀速圆周运动的卫星质量为，它到地心的距离为。卫星做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，则有，解得。此时约等于地球半径，带入数据可解得：。
⑵ 发射速度与运行速度
① 在地面附近以某一速度发射一个物体，发射后不再对物体提供动力，被发射物体仅靠自己的初动能克服地球引力，进入运行轨道，这个在地面时的初速度称为发射速度，三个宇宙速度都是指发射速度。以第一宇宙速度发射的卫星，只能“贴着”地面运行，要使卫星进入离地面较高的轨道运行，就需要提供更大的发射速度。
② 运行速度是指卫星在进入运行轨道稳定飞行时，做匀速圆周运动的线速度，根据前面的推导，我们知道，可见轨道半径越大，运行速度越小。
2. 第二宇宙速度（脱离速度）：；
在地面附近发射人造卫星，如果发射速度大于，而小于，那么它绕地球运行的轨迹将是椭圆。当发射速度等于或大于时，卫星会克服地球的引力而永远离开地球。
3. 第三宇宙速度（逃逸速度）：。
当卫星的发射速度等于或大于时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外。
【典例1】
某人造地球卫星，其轨道半径为2.8×107m，它与另一质量相同、轨道半径为4.2×107m的人造地球卫星相比 （ ）
A. 向心力较大 B. 周期较小 C. 动能较大 D. 发射速度都是第一宇宙速度
【解析】万有引力公式与圆周运动结合知；
【答案】ABC
【典例2】
设地球的质量为M，半径为R，则环绕地球飞行的第一宇宙速度v的表达式为______________；某行星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，那么在此行星上的“第一宇宙速度”与地球上的第一宇宙速度之比为______________（已知万有引力常量为G）。
【解析】根据万有引力定律可得 ，解得
根据 可得.
【答案】.v=， EQ \R(,3)/3︰1
【即学即练1】
我国于2020年11月24日发射的嫦娥五号探测器成功实施无人月面取样返回。已知地球表面的重力加速度
大小为g1、半径为R1、第一宇宙速度为v1；月球表面的重力加速度大小为g2、半径为R2、月球探测器近月
环绕速度为v2，则v1与v2之比为 。
【解答】解：设探测器的质量为m，在地球表面，根据万有引力提供向心力，结合重力近似等于万有引力可得：，可得：
在月球表面，根据万有引力提供向心力，结合重力近似等于万有引力可得：，可得：
故：＝。
故答案为：。
知识点04 同步卫星与近地卫星
1. 同步卫星
寒假课程中我们已经学习了同步卫星的一些特点，这些特点可以被归纳为七个方面：
① 轨道一定
地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定，与地球的赤道面重合。
② 运行方向一定
同步卫星运行时的转动方向与地球自转方向相同，即自西向东旋转。
③ 运行周期一定
同步卫星的运行周期与地球的自转周期相同
④ 角速度一定
由于，故同步卫星的角速度都相同（等于地球的自转角速度）
⑤ 距离地球表面的高度一定
由于万有引力提供向心力，，得，同步卫星运行的轨道半径。
注意：天体的半径和天体卫星的轨道半径不同，只有卫星贴近天体表面运动时，可近似认为轨道半径等于天体半径。计算时要区分天体半径、轨道半径、距离天体表面的高度几个量。
⑥ 向心加速度的大小一定
由，可得
⑦ 环绕速率一定
在轨道半径确定的条件下，同步卫星的环绕速率也确定，
2. 近地卫星
① 近地卫星其轨道半径近似等于地球半径
② 运行速度，即第一宇宙速度，是所有卫星中的最大绕行速度
③ 运行周期是所有卫星中的最小周期
④ 向心加速度，是所有卫星的最大加速度
3. 赤道上的物体
地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动所需的向心力，由万有引力与地面支持力的合力提供；其运动的角速度、周期与地球自转的角速度、周期相同；线速度等于地球赤道处自转的线速度。
4. 同步卫星、近地卫星、赤道上的物体对比
① 同步卫星与近地卫星
相同点：都是人造卫星，由万有引力提供向心力，因此可以应用卫星的运行规律进行讨论；
不同点：同步卫星的轨道半径较大，由卫星的运行规律可知，它的周期较长、线速度、角速度、向心加速度较小。
② 赤道上的物体与同步卫星
相同点：都做匀速圆周运动，可以应用匀速圆周运动规律处理；角速度都等于地球自转角速度，周期都等于地球自转周期
不同点：Ｉ受力情况不同，赤道上的物体受万有引力和支持力作用，不能当做卫星处理。
Ⅱ轨道半径不同；根据圆周运动公式，可知，同步卫星的线速度、向心加速度均大于赤道上的物体。
③ 赤道上的物体与近地卫星
相同点：都做匀速圆周运动，可以应用匀速圆周运动规律处理；轨道半径相同
不同点：受力情况不同，赤道上的物体受万有引力和支持力作用，不能当做卫星处理，其向心加速度、线速度、角速度均小于近地卫星，周期长于近地卫星。
【典例1】
已知地球自转周期为T，地球半径为R，引力常量为G，地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，则地球同步卫星的速度大小为____________；地球的质量为 ___________。
【解析】地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，所以同步卫星离的轨道半径为7R．根据线速度定义得，同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得
【答案】
【典例2】
已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球同步卫星飞行轨道离地高h，则贴地飞行的极地卫星的周期________地球同步卫星（选填“大于”、“等于”或“小于”），周期之差为_____________。
【解析】由引力提供向心力，因此当轨道半径越大时，周期越小,再根据黄金代换,ＧＭ=ｇR2；那么地球同步卫星与极地卫星的周期之差为:|△T|=
【答案】小于，
【即学即练1】
半径分别为R和r的两个行星A和B，它们各有一颗靠近表面的卫星a和b，若这两颗卫星的周期相等，由此可知，行星A和B的密度 （填“相等”、“不相等”或“无法确定”）；行星A和B表面的重力加速度之比为 。（球体的体积公式V＝）
【解答】解：根据万有引力提供向心力，得G；
则行星的密度
联立解得
V＝
由于两颗卫星的周期相等，可知行星的密度相等；
根据行星表面的重力加速度G＝mg
解得g＝；
则
故答案为：相等，
能力拓展
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示，2021年12月9日，翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员在“中国空间站”以天地互动的方式进行了8项太空授课项目，取得了非常好的效果。若将“中国空间站”绕地球的运动视为匀速圆周运动，已知“中国空间站”的质量为m，运动轨道半径为r。将地球视为质量分布均匀的球体，其质量为M，引力常量为G，则地球对“中国空间站”的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
地球对“中国空间站”的万有引力大小为
故选B。
2．2021年4 月 29 日 11 时 22 分我国空间站“天和”核心舱发射成功。在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
根据万有引力定律可知地球对“天和”的万有引力大小为
故选A。
3．如图所示，“天问一号”探测器在着陆火星前环绕火星做匀速圆周运动，其质量为m，运动轨道半径为r。将火星视为质量分布均匀的球体，其质量为M，引力常量为G。则火星对探测器的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
根据万有引力定律可知火星对探测器的万有引力大小
故选D。
4．已知地球质量为，半径为，引力常量为。质量为的导弹被发射到离地面高度为时，受到地球的万有引力大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
导弹被发射到离地面高度为时，距离地球球心为（R+h）,根据万有引力公式可得导弹受到地球的万有引力大小为
故选A。
5．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为（ ）
A．1∶9B．9∶1C．1∶10D．10∶1
【答案】C
【详解】
设月球质量为m，则地球质量为81m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则
G＝G
所以
＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10
故选C。
题组B 能力提升练
二、填空题
6．卡文迪许利用______实验测量了引力常量G。两物体间的万有引力大小相等，与两物体质量是否相等______。（选填“有关”或“无关”）
【答案】 扭秤 无关
【详解】
卡文迪许第一次在实验室利用扭秤实验测出了引力常量，两物体间的万有引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关，遵循牛顿第三定律。
7．通常情况下，地球上的两个物体之间的万有引力是极其微小以至于很难被直接测量，所以人们在长时间内无法得到引力常量的精确值．
（1）引力常量G是由_______首先测出。
（2）在下图所示的几个实验中，与“扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是______。（选填“甲”“乙”或“丙”）
（3）引力常量的得出具有重大意义，比如：______。（说出一条即可）
【答案】 卡文迪许 乙 引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性
【详解】
（1）[1]根据物理学史可知，引力常量G是由卡文迪许首先提出的；
（2）[2]图中所示的几个实验中，与“扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是乙；
（3）[3]引力常量的得出具有重大意义，比如引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性。
8．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的___________倍；
【答案】2
【详解】
解：设地球质量为M，半径为R，宇航员的质量为m，由万有引力定律，可得地球对宇航员的引力
该星球对宇航员的引力
则有
9．如图，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r=0.5R的一部分球体，则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小为______；
【答案】
【详解】
设球体质量为M，质点P的质量为m，质点P与球心间距为L；在球体中央挖去半径为0.5R的一部分球体，根据体积公式
挖去部分的体积为原来体积的 ，故挖去质量为总质量的 ，设想先将球补上，万有引力为：
该引力为两个部分的万有引力之和，故为：
联立解得：
10．2006年2月10日，中国航天局确定中国月球探测工程形象标志，它以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想。假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，地球的总质量仍大于月球的总质量，月球仍按原轨道运行，月地之间的万有引力将___________（选填“变小”、“变大”、“不变”）；月球绕地球运动的周期将___________（选填“变小”、“变大”、“不变”）；月球绕地球运动的向心加速度将___________（选填“变小”、“变大”、“不变”）；
【答案】 变大 变大 变小
【详解】
[1]根据万有引力定律
根据题意可知，M与m总和不变，但M减小，m增大，则根据数学知识可知，F变大。
[2]根据万有引力提供向心力
因为M减小，则T变大。
[3] 根据万有引力提供向心力
因为M减小，则a变小。
11．如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体R处有一质量为m的质点，此时球体对质点的万有引力F1=______；若以球心O为中心挖去一个质量为的球体，则剩下部分对质点的万有引力F2=________。
【答案】
【详解】
[1]根据万有引力定律可知
[2]挖去部分对质点的万有引力为
则
题组C 培优拔尖练
三、解答题
12．如图所示，半径为R的薄球壳质量均分分布，其单位面积的质量为，已知引力常量为G。
（1）若在球壳上A点挖去半径为r的小圆孔（，挖去的部分可看做质点），求：球壳对位于球心O处的质量为m的物体的万有引力；
（2）如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为，石油的密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏差，重力加速度在原竖直方向（即方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G。则：
①若在P点附近测量这种由于球形空腔而引起的“重力加速度反常”，那么反常的最大值出现在何处？
②设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常的大小。
【答案】（1）；（2）P点；（3）
【详解】
（1）根据“填补法”，若将挖去的小孔补上，则在球壳中心O处的物体受球壳的引力为零，则挖去小孔后剩余部分对物体的引力与挖去的部分对物体的引力等大反向，而挖去部分的质量为
根据万有引力定律可得球壳对位于球心O处的质量为m的物体的万有引力
（2）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力
来计算，式中的m是Q点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV，而r是球形空腔中心O至Q点的距离
△g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小．很明显x值越小，则△g越大，则反常的最大值出现在P点；
（2）Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g′是这一改变在竖直方向上的投影
联立以上式子得
13．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。
①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就 h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？
【答案】(1)①，②；(2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
【详解】
(1)在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
，
解得
②在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2
解得
(2)根据万有引力定律，有
解得
又因为
解得
从上式可知，当太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变。
【点睛】
解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力。
14．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g0，不考虑地球自转的 影响并假设地球质量分布均匀且密度为．假若在地球内部距表面深度为的某区域存在一半径为的球形煤炭矿区，设煤炭密度为（小于），则由于该煤炭矿区区域的存在，造成的地球该区域表面重力加速度的变化量的最大值是多少？
【答案】
【详解】
根据题意把地球看成由两部分组成即半径为的球体和剩余部分，则有：
式中F为地球剩余部分对m的作用力；M1为半径为的球体质量，应有：
同理当半径为的球体空间存在密度为的煤炭时应有：
联立解得：
故本题答案是：
目标导航
1、理解万有引力定律的内容及使用条件
2、掌握用万有引力定律计算引力的方法
知识精讲
问题1：苹果成熟后为什么往下落呢？
问题2：天体间的引力跟哪些因素有关呢？
知识点01 万有引力定律
1.万有引力定律
⑴ 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量和的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。
⑵ 公式：，是比例系数，叫做引力常量，适用于任何两个物体，通常取。值由卡文迪许首先精确测出。
⑶ 万有引力定律的适用条件
① 当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，它们之间的引力可直接使用万有引力定律公式计算。
② 通过严格的理论分析得到，质量分布均匀的球体，它们之间的引力也可直接使用公式计算，这时是两球心间的距离。
【典例1】
关于万有引力定律，下列说法正确的是（ ）
（A）牛顿提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值
（B）万有引力定律只适用于天体之间
（C）万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律
（D）地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的
【解析】A、牛顿提出了万有引力定律，而万有引力恒量是由卡文迪许测定的，故A错误；B、C、万有引力定律适用于宇宙万物任意两个物体之间的引力，是自然界一种基本相互作用的规律，故B错误，C正确；D、根据万有引力公式可知，在近日点的距离比远日点的距离小，所以在近日点万有引力大，故D错误．
【答案】C
【典例2】
两个质量分布均匀且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为，若两个半径是小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A． B． C． D．
【解析】利用万有引力公式得
【答案】D
【即学即练1】
最先利用扭秤实验较精确测出万有引力常量G的科学家是 （ ）
（A）库仑 （B）牛顿 （C）卡文迪什 （D）开普勒
【解析】卡文迪什最先利用扭秤实验较精确测出万有引力常量G
【答案】C
【即学即练2】
关于引力常量，下列说法中正确的是
A．值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值，可用万有引力定律进行定量计算
B．引力常量的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
C．引力常量的物理意义是，两个质量是的物体相距时相互吸引力为
D．引力常量是不变的，其值大小与单位制的选择无关
【答案】AC
知识点02 卫星的环绕规律
1．卫星的运行规律
在高中阶段，我们一般近似认为卫星的运动轨道为圆形，在运动过程中只受到万有引力的作用，这样万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。设卫星的轨道半径为、线速度大小为、角速度为、周期为、向心加速度为。
⑴ 线速度规律
由可得：，即线速度。
⑵ 角速度规律
由可得：，即角速度
⑶ 周期规律
由可得：，即周期
⑷ 向心加速度规律
由可得：，即向心加速度
⑸ 轨道平面规律
由于地球对卫星的万有引力方向指向地心，因此卫星做圆周运动的轨道平面必过地心。
综上所述，可知：
以上规律不仅适用于卫星环绕地球的运动，对其它星球的卫星及类似的环绕天体也适用。
【典例1】
由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么卫星的（ ）
(A)速率变大，周期变小.
(B)速率变小，周期变大.
(C)速率变大，周期变大.
(D)速率变小，周期变小.
【解析】万有引力公式与圆周运动结合知；
【答案】A
【典例2】
甲、乙是两颗绕地球作匀速圆周运动的人造卫星，其线速度大小之比为，则这两颗卫星的运转半径之比为________，运转周期之比为________。
【解析】由线速度公式可知半径之比为，由可知周期之比为
【答案】；
【即学即练1】
设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面2R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则卫星的加速度为 __________ ，卫星的周期为__________ 。
【解析】根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力，求出卫星的线速度、角速度、周期和加速度．
知识点03 宇宙速度
1.第一宇宙速度的理解
⑴ 第一宇宙速度的推导
当物体以第一宇宙速度发射时，它将绕地球表面做匀速圆周运动，设地球质量为，绕地球做匀速圆周运动的卫星质量为，它到地心的距离为。卫星做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，则有，解得。此时约等于地球半径，带入数据可解得：。
⑵ 发射速度与运行速度
① 在地面附近以某一速度发射一个物体，发射后不再对物体提供动力，被发射物体仅靠自己的初动能克服地球引力，进入运行轨道，这个在地面时的初速度称为发射速度，三个宇宙速度都是指发射速度。以第一宇宙速度发射的卫星，只能“贴着”地面运行，要使卫星进入离地面较高的轨道运行，就需要提供更大的发射速度。
② 运行速度是指卫星在进入运行轨道稳定飞行时，做匀速圆周运动的线速度，根据前面的推导，我们知道，可见轨道半径越大，运行速度越小。
2. 第二宇宙速度（脱离速度）：；
在地面附近发射人造卫星，如果发射速度大于，而小于，那么它绕地球运行的轨迹将是椭圆。当发射速度等于或大于时，卫星会克服地球的引力而永远离开地球。
3. 第三宇宙速度（逃逸速度）：。
当卫星的发射速度等于或大于时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外。
【典例1】
某人造地球卫星，其轨道半径为2.8×107m，它与另一质量相同、轨道半径为4.2×107m的人造地球卫星相比 （ ）
A. 向心力较大 B. 周期较小 C. 动能较大 D. 发射速度都是第一宇宙速度
【解析】万有引力公式与圆周运动结合知；
【答案】ABC
【典例2】
设地球的质量为M，半径为R，则环绕地球飞行的第一宇宙速度v的表达式为______________；某行星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，那么在此行星上的“第一宇宙速度”与地球上的第一宇宙速度之比为______________（已知万有引力常量为G）。
【解析】根据万有引力定律可得 ，解得
根据 可得.
【答案】.v=， EQ \R(,3)/3︰1
【即学即练1】
我国于2020年11月24日发射的嫦娥五号探测器成功实施无人月面取样返回。已知地球表面的重力加速度
大小为g1、半径为R1、第一宇宙速度为v1；月球表面的重力加速度大小为g2、半径为R2、月球探测器近月
环绕速度为v2，则v1与v2之比为 。
【解答】解：设探测器的质量为m，在地球表面，根据万有引力提供向心力，结合重力近似等于万有引力可得：，可得：
在月球表面，根据万有引力提供向心力，结合重力近似等于万有引力可得：，可得：
故：＝。
故答案为：。
知识点04 同步卫星与近地卫星
1. 同步卫星
寒假课程中我们已经学习了同步卫星的一些特点，这些特点可以被归纳为七个方面：
① 轨道一定
地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定，与地球的赤道面重合。
② 运行方向一定
同步卫星运行时的转动方向与地球自转方向相同，即自西向东旋转。
③ 运行周期一定
同步卫星的运行周期与地球的自转周期相同
④ 角速度一定
由于，故同步卫星的角速度都相同（等于地球的自转角速度）
⑤ 距离地球表面的高度一定
由于万有引力提供向心力，，得，同步卫星运行的轨道半径。
注意：天体的半径和天体卫星的轨道半径不同，只有卫星贴近天体表面运动时，可近似认为轨道半径等于天体半径。计算时要区分天体半径、轨道半径、距离天体表面的高度几个量。
⑥ 向心加速度的大小一定
由，可得
⑦ 环绕速率一定
在轨道半径确定的条件下，同步卫星的环绕速率也确定，
2. 近地卫星
① 近地卫星其轨道半径近似等于地球半径
② 运行速度，即第一宇宙速度，是所有卫星中的最大绕行速度
③ 运行周期是所有卫星中的最小周期
④ 向心加速度，是所有卫星的最大加速度
3. 赤道上的物体
地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动所需的向心力，由万有引力与地面支持力的合力提供；其运动的角速度、周期与地球自转的角速度、周期相同；线速度等于地球赤道处自转的线速度。
4. 同步卫星、近地卫星、赤道上的物体对比
① 同步卫星与近地卫星
相同点：都是人造卫星，由万有引力提供向心力，因此可以应用卫星的运行规律进行讨论；
不同点：同步卫星的轨道半径较大，由卫星的运行规律可知，它的周期较长、线速度、角速度、向心加速度较小。
② 赤道上的物体与同步卫星
相同点：都做匀速圆周运动，可以应用匀速圆周运动规律处理；角速度都等于地球自转角速度，周期都等于地球自转周期
不同点：Ｉ受力情况不同，赤道上的物体受万有引力和支持力作用，不能当做卫星处理。
Ⅱ轨道半径不同；根据圆周运动公式，可知，同步卫星的线速度、向心加速度均大于赤道上的物体。
③ 赤道上的物体与近地卫星
相同点：都做匀速圆周运动，可以应用匀速圆周运动规律处理；轨道半径相同
不同点：受力情况不同，赤道上的物体受万有引力和支持力作用，不能当做卫星处理，其向心加速度、线速度、角速度均小于近地卫星，周期长于近地卫星。
【典例1】
已知地球自转周期为T，地球半径为R，引力常量为G，地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，则地球同步卫星的速度大小为____________；地球的质量为 ___________。
【解析】地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，所以同步卫星离的轨道半径为7R．根据线速度定义得，同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得
【答案】
【典例2】
已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，地球同步卫星飞行轨道离地高h，则贴地飞行的极地卫星的周期________地球同步卫星（选填“大于”、“等于”或“小于”），周期之差为_____________。
【解析】由引力提供向心力，因此当轨道半径越大时，周期越小,再根据黄金代换,ＧＭ=ｇR2；那么地球同步卫星与极地卫星的周期之差为:|△T|=
【答案】小于，
【即学即练1】
半径分别为R和r的两个行星A和B，它们各有一颗靠近表面的卫星a和b，若这两颗卫星的周期相等，由此可知，行星A和B的密度 （填“相等”、“不相等”或“无法确定”）；行星A和B表面的重力加速度之比为 。（球体的体积公式V＝）
【解答】解：根据万有引力提供向心力，得G；
则行星的密度
联立解得
V＝
由于两颗卫星的周期相等，可知行星的密度相等；
根据行星表面的重力加速度G＝mg
解得g＝；
则
故答案为：相等，
能力拓展
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示，2021年12月9日，翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员在“中国空间站”以天地互动的方式进行了8项太空授课项目，取得了非常好的效果。若将“中国空间站”绕地球的运动视为匀速圆周运动，已知“中国空间站”的质量为m，运动轨道半径为r。将地球视为质量分布均匀的球体，其质量为M，引力常量为G，则地球对“中国空间站”的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
地球对“中国空间站”的万有引力大小为
故选B。
2．2021年4 月 29 日 11 时 22 分我国空间站“天和”核心舱发射成功。在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
根据万有引力定律可知地球对“天和”的万有引力大小为
故选A。
3．如图所示，“天问一号”探测器在着陆火星前环绕火星做匀速圆周运动，其质量为m，运动轨道半径为r。将火星视为质量分布均匀的球体，其质量为M，引力常量为G。则火星对探测器的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
根据万有引力定律可知火星对探测器的万有引力大小
故选D。
4．已知地球质量为，半径为，引力常量为。质量为的导弹被发射到离地面高度为时，受到地球的万有引力大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
导弹被发射到离地面高度为时，距离地球球心为（R+h）,根据万有引力公式可得导弹受到地球的万有引力大小为
故选A。
5．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为（ ）
A．1∶9B．9∶1C．1∶10D．10∶1
【答案】C
【详解】
设月球质量为m，则地球质量为81m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则
G＝G
所以
＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10
故选C。
题组B 能力提升练
二、填空题
6．卡文迪许利用______实验测量了引力常量G。两物体间的万有引力大小相等，与两物体质量是否相等______。（选填“有关”或“无关”）
【答案】 扭秤 无关
【详解】
卡文迪许第一次在实验室利用扭秤实验测出了引力常量，两物体间的万有引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关，遵循牛顿第三定律。
7．通常情况下，地球上的两个物体之间的万有引力是极其微小以至于很难被直接测量，所以人们在长时间内无法得到引力常量的精确值．
（1）引力常量G是由_______首先测出。
（2）在下图所示的几个实验中，与“扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是______。（选填“甲”“乙”或“丙”）
（3）引力常量的得出具有重大意义，比如：______。（说出一条即可）
【答案】 卡文迪许 乙 引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性
【详解】
（1）[1]根据物理学史可知，引力常量G是由卡文迪许首先提出的；
（2）[2]图中所示的几个实验中，与“扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是乙；
（3）[3]引力常量的得出具有重大意义，比如引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性。
8．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的___________倍；
【答案】2
【详解】
解：设地球质量为M，半径为R，宇航员的质量为m，由万有引力定律，可得地球对宇航员的引力
该星球对宇航员的引力
则有
9．如图，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r=0.5R的一部分球体，则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小为______；
【答案】
【详解】
设球体质量为M，质点P的质量为m，质点P与球心间距为L；在球体中央挖去半径为0.5R的一部分球体，根据体积公式
挖去部分的体积为原来体积的 ，故挖去质量为总质量的 ，设想先将球补上，万有引力为：
该引力为两个部分的万有引力之和，故为：
联立解得：
10．2006年2月10日，中国航天局确定中国月球探测工程形象标志，它以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想。假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，地球的总质量仍大于月球的总质量，月球仍按原轨道运行，月地之间的万有引力将___________（选填“变小”、“变大”、“不变”）；月球绕地球运动的周期将___________（选填“变小”、“变大”、“不变”）；月球绕地球运动的向心加速度将___________（选填“变小”、“变大”、“不变”）；
【答案】 变大 变大 变小
【详解】
[1]根据万有引力定律
根据题意可知，M与m总和不变，但M减小，m增大，则根据数学知识可知，F变大。
[2]根据万有引力提供向心力
因为M减小，则T变大。
[3] 根据万有引力提供向心力
因为M减小，则a变小。
11．如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体R处有一质量为m的质点，此时球体对质点的万有引力F1=______；若以球心O为中心挖去一个质量为的球体，则剩下部分对质点的万有引力F2=________。
【答案】
【详解】
[1]根据万有引力定律可知
[2]挖去部分对质点的万有引力为
则
题组C 培优拔尖练
三、解答题
12．如图所示，半径为R的薄球壳质量均分分布，其单位面积的质量为，已知引力常量为G。
（1）若在球壳上A点挖去半径为r的小圆孔（，挖去的部分可看做质点），求：球壳对位于球心O处的质量为m的物体的万有引力；
（2）如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为，石油的密度远小于，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏差，重力加速度在原竖直方向（即方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G。则：
①若在P点附近测量这种由于球形空腔而引起的“重力加速度反常”，那么反常的最大值出现在何处？
②设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常的大小。
【答案】（1）；（2）P点；（3）
【详解】
（1）根据“填补法”，若将挖去的小孔补上，则在球壳中心O处的物体受球壳的引力为零，则挖去小孔后剩余部分对物体的引力与挖去的部分对物体的引力等大反向，而挖去部分的质量为
根据万有引力定律可得球壳对位于球心O处的质量为m的物体的万有引力
（2）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力
来计算，式中的m是Q点的质量，M是填充后球形区域的质量，M=ρV，而r是球形空腔中心O至Q点的距离
△g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小．很明显x值越小，则△g越大，则反常的最大值出现在P点；
（2）Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g′是这一改变在竖直方向上的投影
联立以上式子得
13．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
（1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。
①若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就 h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳半径为Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳与地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长？
【答案】(1)①，②；(2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
【详解】
(1)在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
，
解得
②在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2
解得
(2)根据万有引力定律，有
解得
又因为
解得
从上式可知，当太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变。
【点睛】
解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力。
14．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g0，不考虑地球自转的 影响并假设地球质量分布均匀且密度为．假若在地球内部距表面深度为的某区域存在一半径为的球形煤炭矿区，设煤炭密度为（小于），则由于该煤炭矿区区域的存在，造成的地球该区域表面重力加速度的变化量的最大值是多少？
【答案】
【详解】
根据题意把地球看成由两部分组成即半径为的球体和剩余部分，则有：
式中F为地球剩余部分对m的作用力；M1为半径为的球体质量，应有：
同理当半径为的球体空间存在密度为的煤炭时应有：
联立解得：
故本题答案是：
相关学案
必修第二册第三节 万有引力定律的应用精品学案设计： 这是一份必修第二册<a href="/wl/tb_c4027644_t4/?tag_id=42" target="_blank">第三节 万有引力定律的应用精品学案设计</a>，文件包含第11课万有引力定律的应用原卷版docx、第11课万有引力定律的应用解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页， 欢迎下载使用。
沪科技版（2020）必修第二册第三节 圆周运动优秀导学案： 这是一份沪科技版（2020）必修第二册<a href="/wl/tb_c4027637_t4/?tag_id=42" target="_blank">第三节 圆周运动优秀导学案</a>，文件包含第6课圆周运动原卷版-高一物理同步精品讲义沪科版必修二doc、第6课圆周运动解析版-高一物理同步精品讲义沪科版必修二doc等2份学案配套教学资源，其中学案共49页， 欢迎下载使用。
沪科技版（2020）必修第二册第五章 曲线运动第二节 平抛运动优秀导学案： 这是一份沪科技版（2020）必修第二册<a href="/wl/tb_c4027636_t4/?tag_id=42" target="_blank">第五章 曲线运动第二节 平抛运动优秀导学案</a>，文件包含第5课平抛运动的综合应用原卷版-高一物理同步精品讲义沪科版必修二doc、第5课平抛运动的综合应用解析版-高一物理同步精品讲义沪科版必修二doc等2份学案配套教学资源，其中学案共39页， 欢迎下载使用。
