人教A版 (2019)第六章 计数原理6.2 排列与组合学案设计

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知识精讲
知识点
1.组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数定义及公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，即组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示，其中Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq \f(n！,m！n－m！).
3．组合的性质：
性质1：Ceq \\al(m,n)＝eq \a\vs4\al(C\\al(n－m,n))；
性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝eq \a\vs4\al(C\\al(m,n)＋C\\al(m－1,n)).
4. 排列与组合的概念
2.排列数与组合数
【微点拨】1.组合问题的常见类型与处理方法：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.
②“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.
2.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列.
当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数.
①不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组、均匀分组、部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.
②对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.
【即学即练1】下列几个问题是组合问题的有( )
①从A，B，C 3名同学中选出2名同学任正、副班长，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要从7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
③安排3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
④把3本相同的书分给5人，每人一本，有多少种分配方法？
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】①③与顺序有关，属于排列问题，②④与顺序无关，属于组合问题．故选D．
【即学即练2】从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据加法、减法、乘法、除法的运算律确定正确答案.
【详解】
因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响，
而加法和乘法运算满足交换律，交换两个数的位置对计算结果没有影响.
所以属于组合的有加法和乘法，共2个.
故选：B
【即学即练3】某工程队有卡车､挖掘机､吊车､混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（ ）
A．18B．9C．27D．36
【答案】D
【解析】
【分析】
利用捆绑法，先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，即可得到答案；
【详解】
先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，
则不同的派法共有（种）.
故选：D
【即学即练4】在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为（ ）
A．4×13种B．134种
C．种D．种
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，原问题可以转为从52张桥牌中任选13张，分配给这名参赛者，由组合数公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，原问题可以转为从52张桥牌中任选13张，分配给这名参赛者，则有种情况，即参赛者可能有种不同的牌．
故选：D.
【即学即练5】关于排列组合数，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据排列数和组合数的公式和性质可判断.
【详解】
根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；
，而，故C选项错误；
，故D选项正确．
综上，错误的选项为C.
故选：C.
【即学即练6】若则＝_____
【答案】190
【解析】
【分析】
由组合数性质可得：，再由组合数计算公式得解．
【详解】
因为
所以.
所以.
【点睛】
本题主要考查了组合数的性质，还考查了组合数计算，属于基础题．
【即学即练7】化简：________________________.
【答案】或
【解析】
【分析】
直接利用组合数公式求解即可
【详解】
【点睛】
组合数公式
【即学即练8】6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手多少次？
【答案】15
【解析】
【分析】
利用组合数公式即求.
【详解】
由题可知每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手（次）
【即学即练9】求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
利用组合数的性质计算即可得解.
【详解】
对任意的且，，其中且，
所以，.
能力拓展
考法01
组合的概念及其应用
【典例1】下列问题不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【解析】
【分析】
根据组合的定义可判断各项的正误.
【详解】
A选项中握手次数的计算与次序无关，
B选项中线段的条数计算也与点的次序无关，
C选项中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故这三个问题都是组合问题.
D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，
因此是排列问题，不是组合问题，
故选：D.
【典例2】下面四组元素，是相同组合的是（ ）
A．a，b，c—b，c，aB．a，b，c—a，c，b
C．a，c，d—d，a，cD．a，b，c—a，b，d
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据组合的概念，逐项判断即可.
【详解】
根据同一组合的概念，可知选项D中，中有，没有，但是中有，无，故选项D不是相同组合；A,B,C选项满足同一组合的概念.
故选：ABC.
【典例3】给出下列几个问题，其中是组合问题的是（ ）
A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数
B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数
C．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数
D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据组合的定义判断可得选项.
【详解】
解：A，B中选出元素就完成了这件事，是组合问题；
而C，D中选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.
故选：AB.
考法02
有关组合数的计算与组合数的性质
【典例4】计算：＋＋＋＝________.
【答案】210
【解析】
【分析】
利用组合数及性质即得.
【详解】

.
故答案为：.
【典例5】的值为___________.
【答案】5或16
【解析】
【分析】
由组合数的定义列出不等式组即可求解.
【详解】
解：由，得或5，
当时，原式；当时，原式.
所以的值为5或16.
故答案为：5或16.
【典例6】从10名排球队员中选出7人参加比赛，则不同的选法种数为（ ）
A．150B．120C．160D．110
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件确定属组合问题，再用组合列式计算即得.
【详解】
因从10名排球队员中选出7人参加比赛，选出的7人没有顺序性，它是组合问题，
所以，不同的选法种数为.故选：B
【典例7】若整数满足，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．1或3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用组合数的运算性质求解即可
【详解】
由题可知或，
整理得或，
解得或或或．
又，
所以只有和满足条件，
故的值为1或．
故选：C
【典例8】若，则的取值集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据组合数的计算公式即可求解.
【详解】
因为，所以
所以，解得：，
因为，所以．
所以的取值集合为，故答案为：.
【典例9】用组合数公式证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用组合数公式可得，，即证；
（2）利用组合数公式可得，通过化简运算可证.
【解析】
(1)∵，
，
∴.
(2)∵
∴.
考法03
简单的分组问题
【典例10】某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )
A．4 B．8
C．28 D．64
【答案】C
【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建Ceq \\al(2,8)＝28条公路．
【典例11】从2，3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组，a，b，c且aA．35组B．42组
C．105组D．210组
【答案】A
【解析】
【分析】
利用组合的意义及组合数公式即求.
【详解】
由题知不同的数组，有(组).
故选：A.
【典例12】将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
(1)要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法？
(2)要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？
【答案】(1)60；(2)360.
【分析】
（1）根据题意，分3步进行：①、在6人中选出3人，将其分到甲组；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙组；③、将剩下的1人分到丙组；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算即可得答案．
（2）分2步进行：①、将6人分成3组，人数依次为3、2、1；②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算即可得答案．
【解析】
(1)根据题意，分3步进行：①、在6人中选出3人，将其分到甲组，有种分法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙组，有种分法；③、将剩下的1人分到丙组，有种分法；
所以共有种不同的分法；
(2)根据题意，分2步进行：①、将6人分成3组，人数依次为3、2、1，有种分法；②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组，有种分法；
所以共有种不同的分法.
【典例13】某校足球队有高一学生6人，髙二学生5人，高三学生8人．
(1)若每个年级各选1名学生担任召集人，则有多少种不同的选法？
(2)若选派2人外出参观学习，要求这2人来自不同年级，则有多少种不同的选法？
【答案】(1)240；(2)118.
【分析】
（1）先从每个年级选一名召集人，然后再乘起来；
（2）分成三类：高一高二各选一人，高一高三各选一人，高二高三各选一人，然后在相加即可．
【解析】
(1)由题意得共有（种不同选法．
(2)分成三类选派外出参观学习人员．
第一类：高一高二各选一人有种
第二类：高三高二各选一人有种
第三类：高一高三各选一人有种
所以共有种不同选法．
考法04
1．排列与组合的联系与区别
排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中，任取m个元素”，如果交换某两个元素的位置对结果产生影响，就是排列问题；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，是组合问题，简言之，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
2．分组与分配问题
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
分组与分配问题
【典例14】将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，要求每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
A．18 B．24
C．30 D．36
【答案】C
【解析】将甲、乙、丙、丁四名老师分到三个不同的班共有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)种，甲、乙被分到同一个班有Aeq \\al(3,3)种，所以不同分法共有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)－Aeq \\al(3,3)＝30(种)，故选C．
【典例15】（1）从人中选派人去参加某个会议，不同的选法共有______种；
（2）从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，不同的方法共有______种；
（3）设集合有个元素，集合有个元素，从这两个集合中各取出个元素，不同的方法共有______种．
【答案】 或
【解析】
【分析】
（1）、根据组合的定义及组合数公式即可求解；
（2）、根据排列的定义及排列数公式即可求解；
（3）、利用分步乘法计数原理求解.
【详解】
（1）、从人中选派人去参加某个会议，与顺序无关属于组合问题，不同的选法共有种；
（2）、从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，与顺序有关属于排列问题，不同的方法共有种；
（3）、集合有个元素，集合有个元素，从这两个集合中各取出个元素，利用分步乘法计数原理可知，不同的方法共有种.
故答案为：;;.
【典例16】2016年3月10日是第十一届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，不同的分配方案有________种(用数字作答).
【答案】90
【解析】
【分析】
分组分配问题，先分组后排列即求.
【详解】
分配方案有(种).
故答案为：90.
【典例17】从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合.
【答案】ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
【解析】
【分析】
先将顺序a，b，c，d，e排好，再依次固定第一个元素按顺序将各个组合逐个标出来即可.
【详解】
解：将元素按顺序a，b，c，d，e排好，依次固定第一个元素按顺序将各个组合逐个标出来，
固定a，有 ab，ac，ad，ae；固定b，有bc，bd，be；固定c，有cd，ce，固定d，有de.
所以所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
【典例18】6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，分给甲、乙、丙三人，每人至少1本，有多少种不同的选法？
【答案】540.
【解析】
【分析】
根据题意，分3种情况讨论，再利用组合数以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】
根据题意，分3种情况讨论：
①一人4本，其他2人各1本，种分法，
②一人1本，一人2本，一人3本，种分法，
③每人2本，种分法，
故共有90+360+90＝540种．
【典例19】（1）6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？
（2）6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？
【答案】（1）90；（2）15.
【解析】
【分析】
（1）用分步计数原理，先从6本书中取出2本给甲，再从剩下的4本书中取出2本给乙，最后把剩下的2本书给丙，即可求解；
（2）无序均匀分组问题，先分组再去掉重复，即可求解．
【详解】
（1）把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，有C62种取法，
再从剩下的4本书中取出2本给乙，有C42种取法，最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，
则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有C62×C42×1＝90种分法；
（2）无序均匀分组问题．先分三步，则应是C62C42C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，
若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C62C42C22种分法中还有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），
共A33种情况，而这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有（C62C42C22）÷A33＝15种．
考法05
排列与组合的综合应用
【典例20】判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.
（1）10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
（2）10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
（3）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
（4）从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
（5）从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
【答案】（1）90；（2）45；（3）45；（4）120；（5）720.
【解析】
【分析】
具体分析每一小问的题意，确定有无顺序区别，从而知道是排列问题还是组合问题.
【详解】
（1）排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为.
（2）组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为
（3）组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为
（4）组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为
（5）排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为.
【典例21】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．
【答案】86400
【解析】
【分析】
分三步，先将5个女孩圆排列，再把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组，最后把这5组放入已成圆排列的5个间隔即可得解.
【详解】
因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起，
先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)，
把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法，
最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法，
所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种).
故答案为：86400
【典例22】名大学生志愿者安排到北京世界园艺博览会的4个场馆担任服务工作，要求每个场馆至少安排一人，且每人仅参加一个场馆的服务工作，其中甲不安排到国际馆去，则不同的安排方法种数为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以求出不考虑甲的限制条件时总的方法数，然后求出将甲安排在国际馆时的方法数，最后两者相减，即可得出结果.
【详解】
若不考虑甲的限制条件，则总的方法数为，
将甲安排在国际馆的方法数为，
故所求的安排方法种数，
故答案为：.
【点睛】
本题考查排列组合，主要考查通过排列组合求方法数，考查推理能力，考查间接法的灵活应用，是简单题.
【典例23】有标号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中选出4个放入标号分别为1，2，3，4的4个盒中，每盒只放1个小球.
（1）求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数
（2）求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分2步进行分析：①、奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球，②、将剩余的4个小球中的2个放入余下的两个盒中，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分两类讨论：①取出1个奇数号小球和3个偶数号小球共4球放入，②取出2个奇数号小球和2个偶数号小球共4球放入，分别求出每一类的情况数目，由分类计数原理计算可得答案；
【详解】
解：（1）奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球
先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒，有6种放法
再将剩余的4个小球中的2个放入余下的两个盒中，有12种放法
不同放法数为种；
（2）奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放一个小球，
需分两类讨论：
①取出1个奇数号小球和3个偶数号小球共4球放入，共有种；
②取出2个奇数号小球和2个偶数号小球共4球放入，种
所有不同放法数为种.
【典例24】6个人坐在一排10个座位上，问：
（1）空位不相邻的坐法有多少种？
（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？
【答案】（1）种；（2）种；（3）种.
【解析】
（1）利用插空法可求坐法的总数.
（2）把4个空位看成两个不同元素，利用插空法可求坐法的总数.
（3）4个空位至多有2个相邻可分成3类，就每一类分类讨论后可得坐法的总数.
【详解】
解：6个人排有种坐法，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位.
（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有种插法，故空位不相邻的坐法有种.
（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有种.
（3）4个空位至多有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有种坐法；
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有种坐法；
③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有种坐法.
综上所述，应有种坐法.
【点睛】
方法点睛：（1）利用排列组合计算时，注意完成一件事情是分类还是分步.
（2）对于不相邻问题，应该利用插空法来处理，注意根据题设条件确定插空的方法.
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列问题中，组合问题的个数是（ ）
①从全班50人中选出5人组成班委会；
②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据组合的定义逐一分析即可得出答案.
【详解】
解：对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题.
所以组合问题的个数是2个.
故选：B.
2. 计算＋＋＋＋的值为（ ）
A．B．
C．－1D．－1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用组合数的性质即得.
【详解】
.故选：C.
3. 文化和旅游部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”这三个主题，遴选出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含中共一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场2个展现改革开放和新时代发展成就的景区，中国天眼、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州花茂村5个展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则必须含有传统红色旅游景区以及展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的不同选法种数为（ ）
A．220B．150C．50D．100
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件求出从12个景区中选3个景区的选法种数，去掉不符合要求的选法种数即可得解.
【详解】
从12个景区中选3个景区，共有种选法，
不含传统红色旅游景区的选法种数为，
不含展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的选法种数为，
所以所求的不同选法种数为.
故选：B
4. 一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为，恰好有三个红色和一个白色的概率为，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为，四种颜色各一个的概率为．若恰好有，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为（ ）
A．17B．19C．21D．前三个答案都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
若红、白、蓝、绿玻璃球数量分别为，，，，可得，即可知盒子里玻璃球的个数的最小值.
【详解】
设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为，，，．
由题意得，即．
经验证，玻璃球的个数的最小值为21，此时，，，．
故选：C
5. 已知，则的值是（ ）
A．2B．6C．D．2或6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据组合数的性质可求解.
【详解】
由题可得，解得，
结合组合数性质可得或，
解得或．
故选：D.
6. 年二十国集团()领导人峰会将在日本大阪开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，日本大阪市长决定举办大型歌舞晚会，现从、、、、共名歌手中任选人出席演唱活动，当名歌手中有和时，需排在的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】
【分析】
运用分类计算原理，结合组合与排列的定义进行求解即可.
【详解】
第一种情况：和都不选时方法有种，
第二种情况：和只选一个时方法有种，
第三种情况：和都选时方法有种，
则不同的出场方法有种，
故选：A
7. 将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为（ ）
A．50B．80C．120D．140
【答案】B
【解析】
【分析】
利用分类加法计数原理确定有3种分配方案，再利用组合数求出每种方案的分法种数，最后相加可得结果.
【详解】
由题知，将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人
，则有以下3种分配方案：
第一种方案：甲组分3人，乙组分1人，丙组分1人，共有种分法；
第二种方案：甲组分2人，乙组分2人，丙组分1人，共有种分法；
第三种方案：甲组分2人，乙组分1人，丙组分2人，共有种分法；
由分类加法计数原理知，不同的分配方案的种数为.
故选：B.
8. 若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用组合数平均分组法即可.
【详解】
解析：由于三组之间没有区别，且是平均分组，
故共有种分组方法，
故选：C．
9. 如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（ ）
A．530B．502C．503D．505
【答案】B
【解析】
根据题意，分别得到“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个，再由组合数的性质，即可求出结果.
【详解】
由题意，“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个，
则所有“上升”的正整数的个数为
，
故选：B.
10. 的所有可能的值是（ ）
A．7B．4或7C．7或11D．4或7或11
【答案】D
【解析】
【分析】
由组合数的性质有，求得n值，进而代入公式求可能值即可.
【详解】
由组合数的条件可知，，即，故n=2，3，4．
当n=2时，=4；
当n=3时，=7；
当n=4时，=11.
故选：D
11. 某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村必须有1名干部，每个干部至多去3个村，则不同的选派方案共（ ）
A．243种B．210种
C．150种D．125种
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排列组合思想求出甲干部住个村的排法种数以及将三名可供选派的干部下乡到个村蹲点的排法种数.
【详解】
解：3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村都需要1名干部，每个干部至多去3个村，于是可以把5个村分为(1，1，3)和(1，2，2)两组，
当为(1，1，3)时，有＝60(种)；
当为(1，2，2)时，有(种)．
根据分类加法计数原理可得不同的选派方案共60＋90＝150(种)．
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
12. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个B．54个C．12个D．45个
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意分类讨论：
（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).
（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.
（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）
由分类加法计数原理得共有(个)．
故选：A．
【点睛】
方法点睛：本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
13. 若，则的值为（ ）
A．60B．70C．120D．140
【答案】D
【解析】
【分析】
先由可求出n，再代入式子即可求出.
【详解】
，解得或（舍去），
.
故选：D.
【点睛】
本题考查排列数和组合数的计算，属于基础题.
14. 满足条件的自然数有（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据排列数和组合数公式化简可得，再根据，且可得答案.
【详解】
由得，即，
又，且，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了排列数与组合数公式，属于基础题.
15. 若，则（ ）
A．5B．8C．7D．6
【答案】A
【解析】
直接根据排列数公式和组合数公式列式解方程即可得答案.
【详解】
解：∵，
∴，
即，
求得，或（舍去），
故选：A.
【点睛】本题考查排列数与组合数的方程问题，考查运算能力，是基础题.
16. 某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．150种B．120种C．240种D．540种
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．
【详解】
由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，
当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；
当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；
所以，共有种不同的安排方案.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.
题组B 能力提升练
1.（多选题）下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据排列组合数的计算公式依次对选项整理变形，分析可得答案.
【详解】
根据组合数公式得，则A错误；根据排列数公式得．，则B正确；根据排列数公式得，则C正确；根据组合数公式得
，，即，则D正确．
故选：BCD
2. （多选题）下列四个命题中，真命题为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据组合数的运算和性质依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
对于A，，A错误；
对于B，由组合数的性质知：，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC．
3. （多选题）下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（ ）
A．B．
C．D．是一个常数
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据排列组合计算公式即可求解．
【详解】
对于A，∵，∴A不正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C不正确；
对于D，n应满足解得.
所以，故D正确．
故选：BD
4. （多选题）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则（ ）
A．恰好有1件是不合格品的抽法种数为
B．恰好有2件是不合格品的抽法种数为
C．至少有1件是不合格品的抽法种数为
D．至少有1件是不合格品的抽法种数为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A，从2件不合格品中选1件，再从98件合格品中选2件，由分步乘法计数原理可得；
B，从2件不合格品中选2件，再从98件合格品中选1件，由分步乘法计数原理可得；
“至少有1件”：
一种方法是直接法：先分类，一类是：从2件不合格品中选1件，再从98件合格品中选2件，第二类是：从2件不合格品中选2件，再从98件合格品中选1件，计算后判断C，
第二种方法是间接法（排除法）：从100个产品中任选3件，排除3件全是正品的方法，计数后判断D．
由此可得正确选项．
【详解】由题意知，抽出的3件产品中恰好有1件不合格品，则包括1件不合格品和2件合格品，抽法种数为，故选项A正确；
恰好有2件不合格品，则包括2件不合格品和1件合格品，抽法种数为，故选项B不正确；
根据题意，至少有1件不合格品可分为有1件不合格品与有2件不合格品两种情况，则抽法种数为，故选项C正确；
至少有1件不合格品的对立事件是3件都是合格品，3件都是合格品的抽取方法有种，则至少有1件是不合格品的抽法种数为，故选项D正确.
故选ACD.
5. （多选题）某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法正确的算法为（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据正、副班长有1人参加或两人都参加分类计算判断A，用排除法判断BCD．
【详解】
对于A，正、副班长有1人参加的方法数有种，正、副班长有人参加的方法数有种，故总的方法数有种，故A正确；
对于B，人抽取人，总的方法数为，其中没有正、副班长的方法数为，所以方法数为种，故B正确；
对于C和D，正、副班长中任抽取一个，然后在剩余人中抽取个，方法数有种，减去重复的包括正、副班长的情况种.所以方法数有种，故D正确，C不正确.
综上所述，本小题正确算法有种，
故选：ABD.
6. （多选题）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A.利用组合的概念进行计算并判断；B.分类考虑：物理和化学只选一门、物理和化学都选，由此计算并判断；C.利用间接法进行分析计算并判断；D.将问题分为三类进行分析：只选物理、只选化学、同时选物理和化学，由此进行计算并判断.
【详解】
A. 任意选择三门课程，属于组合问题，可得选法的总数为，故错误；
B.物理和化学只选一门的选法数：，物理和化学同时选的选法数：，所以选法总数为，故错误；
C.物理和历史同时选的选法数：，所以物理和历史不能同时选的选法总数为，故正确；
D.只选物理时，不选化学和历史，选法数为：；只选化学时，不能选物理，选法数为：；物理和化学同时选，不能选历史，选法数为：，
所以选法总数为：，且，故错误；
故选：ABD.
7. （多选题）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为120
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据题意分析出甲从到达处， 需要走6格，其中向上3格，向右3格，从而可得到从到达处的走法种数为，从而可得出A错误；
若甲从M必须经过到达N处，可分两步，甲从到达，从到达，从而可判断选项B正确；
若甲，乙两人能在处相遇，先计算甲经过的走法种数，再计算乙经过的走法种数，从而可求出甲，乙两人能在处相遇的走法种数；
根据题意可得出只能在，，，处相遇，然后分别计算走法种数即可.
【详解】
对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从到达处的走法种数为，故A错误.
对于B，甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，所以甲从必须经过到达处的走法种数为，故B正确.
对于，甲经过的走法种数为，乙经过的走法种数为，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误.
对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，则两人在处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.
故选：BD.
8. （多选题）已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则（ ）
A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为
B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为
C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为
D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A.根据红球数与甲袋中总球数的比求得结果；B.根据黑球数与乙袋中总球数的比求得结果；C.先利用组合数计算出摸出个球的总的取法数，再分析摸出个球都是红球的取法数，根古典概型的概率计算公式求得结果；D.利用概率的乘法公式求得结果即可.
【详解】
对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为，故A对；
对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为，故B错；
对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率，故C对；
对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率；
故选：ACD.
9. （多选题）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.
【详解】
6门中选3门共有种，故A错误；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．
故选：CD
【点睛】本题考查排列组合的应用.
10. 西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号．某茶文化活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方法有_____________种．（用数字作答）
【答案】51
【解析】
【分析】
分当选出的字号中没有“狮、梅”，有“狮梅”中的一种，“狮、梅”都有，三种情况讨论分别求解，然后再求和即得.
【详解】
当选出的字号中没有“狮、梅”时，共有种展出的方法；
当选出的字号中有“狮梅”中的一种时，共有种展出的方法；
当选出的字号中“狮、梅”都有时，共有种展出的方法,
所以共有种不同的展出方法．
故答案为：51.
11. 某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.
【答案】1560
【解析】
【分析】
先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，有两种情况：（1）4个组的人数按3,1,1,1分配，（2）4个组的人数为2,2,1,1，求出所有的分组方法，然后再把4个组的人分给4个分厂，从而可求得答案
【详解】
先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.
（1）若4个组的人数按3,1,1,1分配，
则不同的分配方案有 (种).
（2）若4个组的人数为2,2,1,1，
则不同的分配方案有 (种).
故所有分组方法共有20＋45＝65(种).
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有 (种).
故答案为：1560
12. 某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为______
【答案】
【解析】
按照甲、乙两节目只有一个参加，甲、乙两节目都参加两种情况讨论，分别计算，再求和，即可得解.
【详解】
若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：，
若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：；
因此不同的演出顺序的种数为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：
①根据题意，对情况进行合理分类、分步，最后求和；
②区分排列、组合的差异，合理选择；
③对于不相邻问题，常采用插空法.
13. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.
【答案】535
【解析】
【分析】
根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法
【详解】
四个盒子放球的个数如下
1号盒子：{0，1}
2号盒子：{0，1，2}
3号盒子：{0，1，2，3}
4号盒子：{0，1，2，3，4}
结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法
5 = 1 + 4：种
5 = 2 + 3：种
5 = 1 + 1 + 3：种
5 = 1 + 2 + 2：种
5 = 1 + 1 + 1 + 2：种
∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种
故答案为：535
【点睛】
本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算
14. 现准备将6本不同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲乙两个班级每个班至少2本，其他班级允许1本也没有，则不同的分配方案有________种.(用数字作答)
【答案】1220
【解析】
【分析】
根据题意，分配方案可以分为以下情况：甲分2本，乙分4本；甲分3本，乙分3本；甲分4本，乙分2本；甲分2本，乙分3本，剩下的1本分给其它3个班的1个班；甲分3本，乙分2本，剩下的1本分给其它3个班的1个班；甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的1个班；甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的2个班，分别计算即可求出.
【详解】
由题可知，分配方式可分为以下情况：
甲分2本，乙分4本，则有种，
甲分3本，乙分3本，则有种，
甲分4本，乙分2本，则有种，
甲分2本，乙分3本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有种，
甲分3本，乙分2本，剩下的1本分给其它3个班的1个班，则有种，
甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的1个班，则有种，
甲分2本，乙分2本，剩下的2本分给其它3个班的2个班，则有种，
则不同的分配方案共有种.
故答案为：1220.
【点睛】
本题考查利用排列组合解决分配问题，属于中档题.
15. 有写好数字2，2，3，3，5，5，7，7的8张卡片，任取4张，则可以组成不同的四位数的个数为_________.
【答案】204
【分析】通过题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2，分类讨论求出每类的个数，再根据分类加法原理求解即可.
【详解】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0，1，2.
当含有0对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为个；
当含有1对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为个；
当含有2对相同数字时，组成的不同的四位数的个数为个.
综上，可以组成不同的四位数的个数为个.
故答案为：204.
【点睛】
本题主要考查分类计数原理，根据先选再排的原则计算，是中档题..
16. 方程的正整数解的个数__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.
【详解】
问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．
共有种．故答案为：
【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.
C 培优拔尖练
1. (1)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
【答案】(1)45；(2)90.
【分析】
（1）利用组合数公式即得；
（2）利用排列数公式即得.
【解析】
(1)以平面内10个点中2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有（条）.
(2)由于有向线段的两个端点中一个为起点，另一个为终点，以平面内10个点中2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有（条）.
2. 一批产品共100件，其中有5件不合格品.从中任取50件，问：没有不合格品的概率是多少？恰有1件不合格品的概率是多少？
【答案】没有不合格品的概率是；恰有1件不合格品的概率是.
【解析】
【分析】
利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
没有不合格品的概率是
.
恰有1件不合格品的概率是
.
3. 求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】利用组合数公式即证.
【详解】
∵
∴
4. 把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
【答案】(1)10；(2)40；(3)30.
【分析】
（1）先把6个相同的小球排成一行，在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，结合组合数的计算公式，即可求解.
（2）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，即可求解.
（3）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，结合组合数的计算公式，即可求解.
【解析】(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，共有（种）方法．
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，故共有（种）方法．
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法，
如，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如，有种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如，有种插法．故共有（种）方法．
5. （1）已知，求；
（2）已知，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用组合数公式化简可得，即可求值，进而求.
（2）利用组合数公式化简可得，求解即可求.
【详解】
（1）由题设，，
∴，可得，解得或（舍），
∴.
（2）由题设，，
∴，
∴，解得.
6. 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.
（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？
（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？
（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
【答案】（1）561种；（2）5 984种；（3）2 100种；（4）2 555种；（5）6 090种.
【解析】
【分析】
组合实际应用题，根据组合的意义及组合数公式即求.
【详解】
（1）从余下的34名学生中选取2名，有＝561(种).
∴不同的取法有561种；
（2）从34名可选学生中选取3名，有种；或者(种).
∴不同的取法有5984种；
（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有(种).
∴不同的取法有2100种；
（4）选取2名女生有种，选取3名女生有种，共有选取方式＋＝2100＋455＝2555种；
∴不同的取法有2555种.
（5）选取3名的总数有，因此选取方式共有－＝6545－455＝6090(种).
∴不同的取法有6090种.
7. （1）解不等式；
（2）求证：①，
②．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用组合的意义及组合数计算公式化简不等式，再解不等式即可.
(2)利用组合数计算公式变形，计算推理作答.
【详解】
(1)在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，
原不等式化为：，即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
(2)①，
所以成立；
②因，
，
所以成立.
8. 现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学.
（1）若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
（2）若本书都不相同，共有多少种分法？
（3）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
【答案】（1）种；（2）种；（3）150种.
【解析】
【分析】
（1）用挡板法求解；
（2）每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；
（3）用分组分配问题的求解方法求解，①将本书分成组，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
解：（1）根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用，
在个空位中任选个，插入挡板，有种情况，
即有种不同的分法；
（2）根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，
则5本不同的书有种；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①将本书分成组，
若分成1、1、3的三组，有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则有种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，
则有种分法.
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，难度一般. 解答时注意挡板法、分组分配问题等的应用，注意分类讨论思想的运用.
9. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
【答案】(1)161700种；(2)9506种；(3)9604种.
【分析】
(1)根据题意直接利用组合列式计算即可.
(2)利用分步计数乘法原理结合组合列式计算即可
(3)求出含有1件次品、2件次品的抽法，再利用分类加法计数原理计算作答.
【解析】(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即(种)
所以有161700种不同的抽法.
(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则(种)，
所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种.
(3)抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，
由(2)知，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种，
由分类加法计数原理得：(种)，
所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种.
10. 有标号为1，2，3，4，5，6的6个小球和标号为1，2，3，4的4个盒.
（1）从6个小球中选出4个放入4个盒中，每盒只放1个小球.
①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数；
②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数.
（2）若不许空盒且将6个小球都放入4个盒中，求所有不同的放法种数.
【答案】（1）①种；②种；（2）种.
【分析】
(1)①根据题意，结合分步计数原理，先处理奇数号球，再处理偶数号球即可；
②根据题意，结合分类计数原理，讨论取出的奇数号球的个数，即可求解；
(2)根据题意，可知小球可分为1，1，2，2四组或1，1，1，3四组，再结合分类与分步计数原理即可求解.
【详解】
（1）①因为奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球，所以先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒中，有种放法；再将剩余的4个小球中的2个放入余下的2个盒中，有种放法.从而不同的放法种数为.
②因为奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放一个小球，所以分两类讨论：
第一类，取1个奇数号小球和3个偶数号小球放入盒中，共有种放法；
第二类，取2个奇数号小球和2个偶数号小球放入盒中，共有种放法.
从而不同的放法种数为.
（2）由于不许空盒且将6个小球都放入盒中，所以考虑对6个小球先进行分组再放入盒中，分两类：
第一类，将6个小球分成1，1，2，2四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法；
第二类，将6个小球分成1，1，1，3四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法.
从而所有不同的放法种数为.
11. 有五张卡片，它们的正、反面分别写与，与，与，与，与．将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
【答案】个
【解析】
【分析】
分别在取不取、取不取和和都不取三种情况下，利用排列组合的知识求得组成的三位数个数，根据分类加法计数原理计算可得结果.
【详解】
（1）取不取，则先从另四张卡片中选一张作百位，有正反两种可能，有种；可从后两位中任选一个位置，有种；最后从剩余的三张卡片中任选一张，有正反两种可能，有种；
取不取共可组成个不同的三位数；
（2）取不取，则从四张卡片中任选两张，每张都有正反两种可能，有种；与搭配构成三位数有种排法；
取不取共可组成个不同的三位数；
（3）和都不取，则从四张卡片中任选三张，每张都有正反两种可能，有种；三个数字搭配构成三位数有种排法；
和都不取共可组成个不同的三位数；
综上所述：共可组成个不同的三位数.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）平均分组问题先选好人后，平均分了组，则除以；
（5）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
12. 某学校为了解全校学生每天锻炼身体所花时间的情况，从全校随机抽取了100名学生进行调查，并将这100人的锻炼时间分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计该校学生每天锻炼身体的时间的众数与中位数；
(2)以频率估计概率，已知在全校学生中采用分层抽样在和范围内共抽取了6人，求从这6人中随机选取2人，这2人都在范围内的概率．
【答案】(1)35,30
(2)
【分析】
（1）根据频率分布直方图，利用众数和中位数的定义求解；
(2)由频率分布直方图得到内有4人，在内有2人，得到从6人中随机选取2人的基本事件数和这2人都在范围内的基本事件数，利用古典概型的概率求解.
【解析】(1)由频率分布直方图得：该校学生每天锻炼身体的时间的众数为35，
因为第1组，第2组，第3组的频率和为：
，
所以其中位数为30；
(2)由频率分布直方图知：在和范围内的人数分别为10和5，
现抽取了6人，在内有4人，在内有2人，
从这6人中随机选取2人的基本事件有种，
这2人都在范围内的基本事件有种，
所以这2人都在范围内的概率为.课程标准
课标解读
1.了解组合、组合数的意义，掌握常见的组合处理方法，会用组合的相关方法解决简单的组合问题.熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题.
2.在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题.
通过本节课的学习，要求在掌握组合、组合数的意义基础上，能解决简单的组合问题.并能解决简单的排列组合综合问题.
名称
定义
区别
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
排列有序，组合无序
组合
合成一组
定义
计算公式
性质
联系
排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“Aeq \\al(m,n)”表示
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n)
(1)Aeq \\al(n,n)＝n！；
(2)0！＝1
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),m！)
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“Ceq \\al(m,n)”表示
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)eq \f(n！,m！n－m！) (n，m∈N*，且m≤n)
(1)Ceq \\al(n,n)＝Ceq \\al(0,n)＝1；
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；
(3)Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)