数学选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布学案

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知识精讲
知识点
超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式
则称随机变量X服从超几何分布．
【微点拨】1. 若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝eq \f(nM,N)．
2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是：
（1）考察对象分两类；
（2）已知各类对象的个数；
（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型.
3. 超几何分布和二项分布的区别：
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）；
（3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.
【即学即练1】下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据超几何分布的定义可判断得选项.
【详解】
解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.
故选：B.
【即学即练2】从一批含有件正品，件次品的产品中，不放回地任取件，则取得次品数为的概率为_______（结果用最简分数表示）.
【答案】
【解析】
【分析】
设随机变量表示取出次品的个数，则服从超几何分布，其中..，根据超几何分布的概率计算公式直接求解即可.
【详解】
设随机变量表示取出次品的个数，则服从超几何分布，其中..，
它的可能的取值为，，，相应的概率为.
故答案为：.
【即学即练3】下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)
①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；
②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.
【答案】①②
【解析】
【分析】
根据超几何分布模型定义逐个分析即可求出结果.
【详解】
根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．
故答案为：①②.
【即学即练4】袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得______分.
【答案】1.5或
【解析】
【分析】
由X服从超几何分布可得.
【详解】
用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，
于是.
故答案为：1.5
【即学即练5】一个箱子里装有大小相同、质地均匀的红球3个、白球2个，从中随机摸出3个球，设摸出红球的个数为，则________，________.
【答案】
【解析】
【分析】
分析可得的所有可能取值为1,2,3,根据超几何分布的概率公式分别解得,,,再由期望公式和方差公式求解即可.
【详解】
由题意知,的所有可能取值为1,2,3,且,,,
所以,,
故答案为:；
【点睛】
本题考查超几何分布的应用,考查求离散型随机变量的期望与方差.
【即学即练6】盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为__________，__________.
【答案】
【解析】
的所有可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出，.
【详解】
盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，
取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为，
则的所有可能取值为3，4，5，6，
，
，
，
.
故答案为：，.
【点睛】
本小题主要考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.
【即学即练7】袋中有3个红球，7个白球．从中无放回地任取5个，取到几个红球就得几分．问平均得几分？
【答案】1.5.
【解析】
【分析】
由题可得X 服从超几何分布，进而可得分布列，然后利用期望的公式即得.
【详解】
用X 表示得分数，则X 也是取到的红球个数，X 服从超几何分布，X 可取0,1,2,3，
∴，，，，
所以，
∴平均得1.5分.
【即学即练8】从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的均值．
【答案】(1)分布列见解析；(2).
【分析】
（1）根据题意，求得的取值，利用古典概型的概率计算公式即可求得对应取值的概率，即可求得分布列；
（2）根据所求分布列，即可求得X的均值.
【解析】(1)根据题意，，又，
，，，
故的分布列如下所示：
(2)根据（1）中所求分布列可知，的均值为：.
能力拓展
考法01
1．随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
【典例1】一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．①②B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，
而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，
故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③，的可能取值为，
表示取出4个白球；
表示取出3个白球1个黑球；
表示取出2个白球2个黑球；
表示取出1个白球3个黑球；
表示取出4个黑球；
因此服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合，
故选：B.
【典例2】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；
（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；
（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据超几何分布的概念逐一判断即可.
【详解】
(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．
考法02
2．超几何分布的计算公式：
【典例3】12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛.若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为（ ）
A．P(X＝6) B．P(X＝5) C．P(X＝3) D．P(X＝7)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据X服从超几何分布直接得到答案.
【详解】
由题意可知：随机变量X服从参数为N＝12，M＝5，n＝6的超几何分布.
由公式P(X＝k)＝，易知表示的是X＝3的取值概率.
故选：C
【点睛】随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则P(X＝k)＝.
【典例4】某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
由于X＝1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，进而结合超几何分布的概率计算公式即可求出结果.
【详解】
X＝1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，
所以.故答案为：.
【典例5】若一个随机变量的分布列为，其中则称服从超几何分布，记为，并将记为，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题中的计算公式代入数据求解即可.
【详解】
根据题意，
故答案为：.
【典例6】有9张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中任取3张，设表示抽出的3张卡片标有的数字是偶数的个数，则______，______．
【答案】
【解析】
【分析】
结合超几何分布计算公式进行求解.
【详解】
由题意知的可能取值分别为0，1，2，3，且，
，，，
则．
故答案为：；
考法02
3．求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列．
【典例7】已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列．
【答案】；
【解析】
【分析】利用超几何分布可求题设中的概率.
【详解】
由题设可得， .故答案为：；.
【典例8】已知件产品中有件次品，从中任取件，则任意取出的件产品中次品数的数学期望为________．
【答案】
【解析】
【分析】设任意取出的件产品中次品数为，列出随机变量的分布列，进而可计算出的值.
【详解】设任意取出的件产品中次品数为，则的可能取值有、、、，
，，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
故答案为：.
【典例9】某班有30名男生和10名女生，现从中随机选取5名学生，计算所选学生中女生的人数X的分布列和均值．
【答案】分布列见解析，均值为.
【解析】
【分析】
由题意分析出服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列和数学期望.
【详解】
由题意可得：X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，5.
所有;;
;;
;.
所有X的分布列为：
X的数学期望为：.
【典例10】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．
（1）求的分布列；
（2）求“所选3人中女生人数”的概率．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）可能取的值为0，1，2，服从超几何分布，（0，1，2），然后分别求出，，的值，最后写出分布列即可；
（2）由计算即可.
【详解】
（1）可能取的值为0，1，2，服从超几何分布，（0，1，2），
所以，，，，
所以的分布列为：
（2）由（1）知，“所选3人中女生人数”的概率为：
.
考法03
4.超几何分布的期望与方差：
【典例11】口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则____；_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望、方差即可.
【详解】
取得红球数为可能为0,1,2，
则，
,
,
所以，
.
故答案为：；
【典例12】如果一个数含有正偶数个数字8，就称它为“优选数”（如等），否则就称它为“非优选数”，从由数字,共10个数字组成的四位数中任意抽取10个数，随机变量X表示抽到的“优选数”的个数，则=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
分四位数中含两个8和四个8，根据排列组合知识求出“优选数”的个数，然后由超几何分布可得期望.
【详解】
当四位数中含有两个时，若不在首位共有个，若在首位，共有个；当四位数中含有四个时，只有一种结果，所以从由数字,组成的四位数中，“优选数”共有个，可能取的值为10,已知随机变量X服从超几何分布，故= .
故答案为：.
【典例13】已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为___，方差为__，
【答案】 0.3， 0.2645
【解析】
【详解】
试题分析：取出的三件产品中次品件数服从参数的超几何分布，由超几何分布的期望方差公式可得,方差为.
考点：超几何分布的期望和方差.
【典例14】某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为______．
【答案】24
【解析】
【分析】
依题意可知的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，从而求出数学期望与标准差；
【详解】由题意，可得的所有可能取值为190，150，110，且，，，则，标准差．
故答案为：
【典例15】一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方法从中随机抽取2件产品检验：方法一：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件；方法二：一次性随机抽取2件.记方法一抽取的不合格产品数为，方法二抽取的不合格产品数为.
（1）求，的分布列；
（2）比较两种抽取方法抽到的不合格产品数的均值的大小，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析；（2）均值相等，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，，分别服从二项分布和超几何分布，利用对应的概率公式计算概率，列出分布列即可；
（2）利用二项分布和超几何分布的期望公式计算对应的期望，即得解
【详解】
（1）随机变量的可能取值为0，1，2，
且，
，，
.
因此的分布列为
随机变量的可能取值为0，1，2，且服从参数为10，3，2的超几何分布，
，，.
因此的分布列为
（2）由（1）知，方法一中，方法二中，因此，
所以两种方法抽到的不合格产品数的均值相等.
考法04
5.超几何分布的实际问题：
【典例16】某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用超几何概率计算公式即可求解.
【详解】
组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为.
故选：C
【典例17】为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作.为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度，从经济不发达的A城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本：
A城市：46，48，51，53，54，56，62，64，65，65，73，73，74，76，79，81，82，83，91，93
B城市：53，62，64，66，73，74，76，76，78，78，81，82，85，86，88，89，92，95，95，97
若评分不低于80分，则认为该用户对此授课方式“认可”，否则认为该用户对此授课方式“不认可”，以该样本中A，B城市的用户对此授课方式“认可”的频率分别作为A，B城市用户对此授课方式“认可”的概率.现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用X表示这4个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则______；用Y表示从A城市随机抽取2个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则Y的数学期望为______.
【答案】
【解析】
设随机抽取的4个用户中，对此授课方式“认可”的A、B城市的户数分别为m户和n户，由超几何分布分别计算和，再将两者相加即可得；
随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，再根据超几何分布的概率公式计算每个Y的取值所对应的概率，然后由数学期望的计算方法即可得解.
【详解】
A城市中，对此授课方式“认可”的户数有5户，
B城市中，对此授课方式“认可”的户数有10户.
设随机抽取的4个用户中，对此授课方式“认可”的A、B城市的户数分别为m户和n户，
则
.
随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，
，，，
数学期望.故答案为：；.
【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望、超几何分布，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题.
【典例18】在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取2个不同的数.
(1)求这2个数中恰有1个是奇数的概率；
(2)设X为所取的2个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布及均值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，均值为．
【分析】（1）由9个数中5个奇数，4个偶数，可得出取出的2个数中恰有1个是奇数的方法数，从而计算出概率；
（2）X的可能值依次为，分别计算出概率得分布列，由均值公式计算出均值．
【解析】(1)9个数中5个奇数，4个偶数，因此所求概率为；
(2)X的可能值依次为，，，
的分布列为
均值为．
【典例19】在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
(2)已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为，求的分布列和均值；
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小．（只需写出结论）
【答案】(1)480；
(2)的分布列为
均值为1；(3)
【分析】
（1）从频率分布直方图中求出甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率，进而求出该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为多少；（2）利用超几何分布求分布列和均值；（3）从甲、乙两个班学生每天的学习时间的频率分布直方图上看两个班的数据集中情况，进行判断方差的大小.
【解析】(1)由甲班频率分布直方图知，甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为．
故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为．
(2)甲班每天学习时间不足4小时的人数约为，乙班每天学习时间不足4小时的人数约为，
所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人．从中随机抽取3人．则抽到的甲班学生人数的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，
，，，
所以的分布列为
方法一：．
方法二：．
(3)从甲、乙两个班学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故．
【典例20】为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：，两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为.，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求，两名学生恰好答对2个问题的概率.
（2）设答对的题数为，答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
【答案】（1），；（2）选择学生，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由古典概型概率公式求得的概率，由独立重复试验的概率公式计算出的概率；
（2）的可能取值为1，2，3，计算出概率后得概率分布列，求出期望与方差，而，也计算出均值与方差，比较可得．
【详解】
（1）由题意，知恰好答对2个问题的概率为，恰好答对2个问题的概率为.
（2）的可能取值为1，2，3，
则；；.
所以，.
易知，
所以，.
因为，，
所以与答题的平均水平相当，但比更稳定.所以选择学生.
分层提分
题组A 基础过关练
1．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据超几何分布概率模型可得选项.
【详解】
根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，
故选：A.
2.盒中有个白球，个红球，从中任取个球，则恰好取出个红球的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由超几何分布概率公式可直接求得结果.
【详解】
设取出红球的个数为，则，.
故选：C.
3. 袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E（X）为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意的可能取值为0或2，再根据超几何分布的概率公式求出概率，再求出数学期望；
【详解】
解：由题意，得的可能取值为0或2，其中表示取得2个白球，表示取得1个白球，1个红球，所以，，故的均值．
故选：B
4. 在10个排球中有6个正品，4个次品，从中随机抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
抽取的正品数比次品数少，有两种情况：抽取到0个正品和4个次品；抽取到1个正品和3个次品.分别求概率再相加即可.
【详解】
抽取的正品数比次品数少，有两种情况：抽取到0个正品和4个次品；抽取到1个正品和3个次品.
当抽取到0个正品和4个次品时，；
当抽取到1个正品和3个次品时，，
所以抽取的正品数比次品数少的概率为.
故选：A.
5. 盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的B．4个全是好的
C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的
【答案】C
【解析】
【分析】
利用超几何分布的概率公式，对四个选项一一求概率，进行验证即可.
【详解】
对于A，事件的概率为；
对于B，事件的概率为；
对于C，事件的概率为；
对于D，事件的概率为.
故选C.
6. 袋中有80个球，其中40个红球、40个黑球，这些球除颜色外完全相同.从中任取两球，则所取的两球同色的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率求法求解.
【详解】
从含有80个球的袋中选2球有种方法，
选的两球同色有种方法，
所以所取的两球同色的概率为.
故选：A
7. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ）
A．10%B．20%
C．30%D．40%
【答案】B
【解析】
先根据列式求出x，进而可求出次品率．
【详解】
设10件产品中有x件次品，
则＝＝，
所以x＝2或8.
因为次品率不超过40%，所以x＝2，
所以次品率为＝20%.
故选：B．
8. 学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若表示选到高二（1）班的候选人的人数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
随机变量服从超几何分布，根据超几何分布期望公式即可求解.
【详解】
法一：（公式）由题意得随机变量，
则．
法二：，分布列如下
,
．
故选：D.
【点睛】
本题考查超几何分布的期望，要掌握常用的随机变量的分布列和期望，减少计算量，属于基础题.
9. 某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
X服从超几何分布，根据古典概型的概率公式计算即可．
【详解】
X服从超几何分布，
因为有6个小镇不太方便，
所以从6个不方便小镇中取4个，
，
故选A．
【点睛】此题考查古典概型的概率公式和超几何分布，属于基础题.
10. 有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．
【详解】
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E(X)＝.
【点睛】
本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11. 现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由求出的范围，再由方差公式求出值．
【详解】
∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．
【点睛】
本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．
12. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰好有6个白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据古典概型的概率公式求解即可.
【详解】
从袋中任取10个球，共有种，其中恰好有6个白球的有种
即其中恰好有6个白球的概率为
故选：C
【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.
13. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加B．增加，减小
C．减小，增加D．减小，减小
【答案】C
【解析】
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【详解】
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
14. 下图是国家统计局发布的生产资料出厂价格涨跌幅以及生活资料出厂价格涨趺幅的统计图，现有如下说法：
①2020年下半年生产资料出厂价格的环比涨幅呈现上升趋势；
②可以预测，在市场平稳的前提下，2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数；
③从2020年1月~12月生活资料出厂价格同比的数据中随机抽取3个，恰有2个是正数的概率为；
④将2020年1月~2021年1月生产资料出厂价格的环比涨跌幅从小到大排列后，所得的中位数为，
则正确的有（ ）
A．①③④B．②③C．②③④D．②④
【答案】C
【解析】
【分析】
本题可根据2020年下半年生产资料出厂价格环比涨幅先下降后上升得出①错误，然后根据生活资料出厂价格的环比涨跌幅后一个月与前一个月的差介于之间判断出②正确，再然后通过超几何分布的概率计算即可判断出③正确，最后将2020年1月~2021年1月生产资料出厂价格的环比涨跌幅从小到大排列，即可判断出④正确.
【详解】
由图（1）可知，2020年下半年生产资料出厂价格环比涨幅先下降后上升，故①错误；
由图（2）中的环比折线可知：
生活资料出厂价格的环比涨跌幅后一个月与前一个月的差介于之间，
因为2021年1月环比的涨幅为，
所以在市场平稳的前提下，2021年2月生活资料出厂价格的环比可能为正数，故②正确；
结合图像易知，2020年1月~12月生活资料出厂价格同比的数据中有8个正数、4个负数，
则随机抽取3个恰有2个是正数的概率，故③正确；
将2020年1月~2021年1月生产资料出厂价格的环比涨跌幅从小到大排列，依次为：
、、、、、、、、、、、、，
则中位数为，故④正确，
故选：C.
15. 口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【答案】A
【解析】
【分析】
当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出， ；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出， ，即可得解．
【详解】
当时，ξ的可能取值为1，2，3，
，，，
∴，；
当时，η可取1，2，3，4，
，，
，，
∴，
；
∴，．
故选：A．
【点睛】
本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.
题组B 能力提升练
1. (多选题)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据超几何分布的定义可以得出答案.
【详解】
解：依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
故选：ABD
2. (多选题)为了增强学生的冬奧会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．的取值范围为B．
C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先理解概率类型为超几何概率，结合组合数公式，即可计算，并判断选项.
【详解】
的取值范围为，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所.，，，，所以.
故选：BC.
3.（多选题）一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为，则（ ）
A．随机变量服从二项分布B．随机变量服从超几何分布
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可
【详解】
由题意，知随机变量服从参数为10，4，4的超几何分布，即，故A错误，B正确；
随机变量的取值范围为，
，，，
，，
故，故C，D正确．
故选：BCD．
4.（多选题）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的白球个数X服从二项分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
【答案】BD
【解析】
【分析】
超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的白球个数X，取出的黑球个数服从超几何分布；取出2个白球的概率为；取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为．
【详解】
对于AB，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的白球个数X，黑球个数服从超几何分布，故A错误，B正确；
对于C，取出2个白球的概率为，故C错误；
对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为，故D正确．
故选：BD．
【点睛】
方法点睛：本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，做题时首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力.
5.（多选题）．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．
【详解】
解：由题意知随机变量服从超几何分布，故错误，正确；
的取值分别为0，1，2，3，4，则，，
，，，
，
故，正确．
故选：．
6. 某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为______.若记取出3个球中黑球的个数为，则______.
【答案】 3
【解析】
【分析】该事件服从超几何分布，由其概率计算公式求出黑球个数，并列出分布列，再由分布列与方差的计算公式求得方差.
【详解】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，可得，该事件服从超几何分布，
由题可知，取出3个球中黑球的个数的可能取值为1,2,3，由超几何分布事件分别计算对应概率，,可画出分布列如下：
则，.
故答案为：3,
【点睛】本题考查超几何分布事件中由概率求样本容量个数，列出超几何分布事件的分布列并求方差.
7.某市有名男教师和名女教师（），从中任取两名教师去西部支教，甲被抽中的概率为，一名男教师和一名女教师被抽中的概率为，则______，记去支教的教师中男教师的人数是，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用题中所给的概率，列式，即可求解；首先求的分布列，再求期望.
【详解】
由随机抽样的概率可知，，
且，得，且，解得：，，
所以；
，
，，，
分布列如下：
.
故答案为：；
8. 为庆祝建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某中学开展党史知识竞赛活动.为了解学生学习的效果，现从高一和高二两个年级中各随机抽取名学生的成绩，根据学生的竞赛成绩分为四个等级，两个年级各个等级的人数如下表.
若从样本中任取名同学的竞赛成绩，在成绩为“优秀”的条件下这名同学来自同一个年级的概率为_____；若从样本中成绩为“良好”的学生中随机抽取人座谈，用表示抽到高一年级的人数，则随机变量的数学期望为______.
【答案】 或
【解析】
【分析】
结合古典概型概率计算公式，计算出在成绩为“优秀”的条件下这名同学来自同一个年级的概率.结合超几何分布的数学期望计算公式，计算出.
【详解】
在成绩为“优秀”的条件下这名同学来自同一个年级的概率为.
的可能取值为.
所以
故答案为：；
9.一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为_____，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝_____．
【答案】 5
【解析】
【分析】
根据至少得到一个白球的概率为，可得不含白球的概率为，结合超几何分布的相关知识可得白球的个数，以及随机变量的期望，得到答案．
【详解】
依题意，设白球个数为，至少得到一个白球的概率是，则不含白球的概率为，
可得，即，解得，
依题意，随机变量，所以．
故答案为：5，．
【点睛】
本题主要考查了超几何分布中事件的概率，以及超几何分布的期望的求解，其中解答中熟记超几何分布的相关知识，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
10. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量的数学期望为________．
【答案】
【解析】
【分析】
第一空，先求抽取的3天空气质量都不为良的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可；
第二空，随机变量服从超几何分布，计算即可.
【详解】
解：设事件A表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”，
事件B表示“抽取的3天空气质量都不为良”，
则事件A与事件B互为对立事件，
所以；
随机变量的可能取值为，概率为，
所以随机变量分布列为：
随机变量的数学期望为
故答案为：；
【点睛】本题考查利用古典概型求事件的概率，超几何分布，是中档题.
11. 某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数的期望是______.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；（2）先求得的分布列，再求其期望即可.
【详解】（1）从10件产品中，抽取3件，有种可能；
若取出的3件中恰有1件是次品，有种可能；故满足题意的概率；
（2）根据题意，，
；；，
故.故答案为：；.
【点睛】本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.
12. 某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在的学生人数为，且有个女生的成绩在中，则__________；现由成绩在的样本中随机抽取2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为，则的数学期望是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用频率和为求得的值.根据的学生人数及频率，计算出的值.根据的频率计算出该组的总人数，利用超几何分布概率计算公式求得分布列，由此求得的数学期望.
【详解】
由，解得.依题意，则.成绩在的人数为，其中个为女生，个为男生.的可能取值为.，故.
【点睛】
本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查超几何分布的概率计算公式，考查分布列的期望求法.属于中档题.对于频率分布直方图，要注意的有以下两点：一个是小长方形的面积和为，二个是频率分布直方图的纵坐标为.超几何分布的计算公式，类似于古典概型的计算公式.
13. 盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.
【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.
又X的分布列
∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.
η的分布列为
∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
C 培优拔尖练
1. 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
（1）求7名学生中甲班的学生数；
（2）设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率.
【答案】（1）7人；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设甲班的学生人数为M，则可得，即可得出答案；
（2）由题意可知，ξ服从超几何分布，则P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)，即可得解.
【详解】
解：（1）设甲班的学生人数为M，则，
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去).
∴7名学生中甲班的学生共有3人.
（2）由题意可知，ξ服从超几何分布，
∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
2. 高二（1）班的联欢会设计了一项游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在5张卡片上印有“奖”字．游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一件精美小礼品；如果抽到的5张卡片都印有“奖”字，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书．一名同学准备试试，那么获得精美小礼品的概率是多少？能获赠一套丛书的概率又是多少？
【答案】；
【解析】
【分析】
设表示抽取的5张卡片中印有“奖”字的卡片数，则服从超几何分布，列出分布列，利用计算获得精美小礼品的概率，计算获赠一套丛书的概率.
【详解】
设表示抽取的5张卡片中印有“奖”字的卡片数，则服从参数为的超几何分布，的可能取值为，则的分布列为，要获得精美小礼品，只需，故获得精美小礼品的概率为，若获赠一套丛书，必须，故获赠一套丛书的概率为，由上面的计算可知，该同学参加游戏，获得精美小礼品的概率是，希望较大，能获赠一套丛书的概率是，希望很小.
【点睛】
超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
3. 共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】
（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案；
（2）先确定X的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案.
【解析】
(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以，，
，.
所以分布列为
数学期望.
4. 某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6 篇，试求：
(1)抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布及数学期望；
(2)他能过关的概率．
【答案】(1)分布列见解析，；(2).
【分析】
（1）考察超几何分布，列出所有情况，按照公式求出对应概率，写出分布列以及数学期望
（2）能过关即背出2篇或3篇，将第一问的概率相加即可
【解析】
(1)记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3
，，，，
的分布列为
数学期望
(2)他能过关的概率为
5. 2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.
(1)从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；
(2)从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望：
(3)在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为，全部十个区域降雨量的方差为.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：；(3).
【分析】
（1）由表格可得雨量在135毫米以上的区域共有6个，进而可得结果；
（2）得出的所有取值，分别计算其概率，即可得分布列和期望；
（3）结合方差的意义可得结果.
【解析】(1)设这个区域降雨量在135毫米以上为事件，
区域降雨量在135毫米以上的区域共有6个，所以
答：这个区域降雨量在135毫米以上的概率为
(2)由题意分析可知
，
，
.
随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为：.
(3).
6. 某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.
（1）分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？
（2）从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设表示所抽取的3名同学的得分在的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）甲的平均数，方差；乙的平均数，方差；乙小组的更稳定.（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方程，并作出判断.
（2）结合超几何分布的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）甲小组的平均数：
甲小组的方差：
，
乙小组的平均数：
乙小组的方差：
.
两个小组成绩的平均数相同，甲的方差比乙的方差要大，所以乙小组的成绩更稳定.
（2）甲组同学成绩不低于70分的人有人，从中任意抽取3人，得分在的人数为人.，
,
,
的分布列如下：
故.
7. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分），绘制成如图所示的茎叶图：
根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
（1）从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；
（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记为抽到高二年级的人数，求的分布列，数学期望与方差.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，，.
【解析】
【分析】
（1）利用条件概率的公式即得解；
（2）随机变量服从超几何分布，计算对应的概率，列出分布列，利用期望与方差的公式即得解
【详解】
（1）记事件为“从样本中任取2名同学的竞赛成绩为优秀”，事件为“这两个同学来自同一个年级”，则，.
所以在成绩为优秀的情况下，这2个同学来自同一个年级的概率为
.
（2）由题意的可能取值为0，1，2，3.
，，，.
所以的分布列为：
数学期望为：
.
【点睛】
本题考查了条件概率、随机变量的分布列以及期望、方差的计算，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于中档题
8. 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前“日行万步”正成为健康生活的代名词，某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这50名教职工日行步数的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；
（2）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望；
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；试判断10000元的预算是否足够.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）足够.
【解析】
【分析】
（1）本题可根据频率分布直方图求出样本平均数；
（2）本题首先可通过频率分布直方图求出“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”的人数，然后求出的所有可能的值以及对应的概率，即可列出的分布列，最后根据的分布列即可求出的数学期望；
（3）本题可通过频率分布直方图求出、内的人数，然后求出奖励所需要的总金额并与进行对比，即可得出结果.
【详解】
（1）由频率分布直方图易知，50名教职工日行步数的样本平均数为：
.
（2）由频率分布直方图易知，50名职工中“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”各有6人，
则的所有可能的值为、、、，
，，
，，
故的分布列为：
.
（3）用样本估计总体，步数在内的概率为，有人，
步数在内的概率为，有人，
因为，所以的预算足够.
9. 2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（1）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
（2）“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为"基地学校"，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“基础站姿、滑行、转弯、停止”这4个动作技巧进行集训．规定：这4个动作中至少有3个动作达到“优秀"，则总考核记为"优秀"．在集训前，小李同学4个动作中每个动作达到“优秀”的概率为0.2，在集训后的考核中，小李同学总考核成绩为“优秀”．能否认为小李同学在集训后总考核达到“优秀”的概率发生了变化？并说明理由．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用古典概型结合组合公式即可求得结果；（2）写出X的可能值，利用超几何分布求得分布列，利用数学期望公式求得期望；（3）利用二项分布分别求得集训前，小李同学总考核为“优”的概率，经比较得出结论.
【详解】（1）记“从10所学校中选出的3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”的事件为A；
参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，随机选择3所学校共种，
所以．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，参加“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所．
所以，，，．
所以X的分布列为
所以．
（3）答案不唯一．
答案示例1：可以认为小李同学在集训后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：
集训前，小李同学总考核为“优”的概率为：．
集训前，小李同学总考核为“优”的概率非常小，一且发生，就有理由认为集训后总考核达到“优”的概率发生了变化．
答案示例2：无法确定，理由如下：
集训前，小李同学总考核为“优”的概率为：．
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．
10. 在10件产品中,有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：
（1）取出的3件产品中一等品件数的分布列；
（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）试验包含的所有事件总数为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k，写出概率，列出分布列即可；
（2）事件包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件三等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果即可．
【详解】
（1）题意知 的所有可能取值为 ，，，，且 服从参数为 ，， 的超几何分布，
因此 ．
所以 ；
；
；
．
故 的分布列为 :
（2）设“取出的件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件，“恰好取出件一等品和件三等品”为事件，“恰好取出件一等品”为事件，“恰好取出件一等品”为事件，
由于事件，，彼此互斥，且，
而，，，
所以取出的件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为：
．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的超几何分布列，互斥事件概率的计算，属于中档题.
课程标准
课标解读
理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系；
根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差；
在实际问题中能用超几何概型解决实际问题.
通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题.
X
0
1
…
m
P
…
ξ＝k
0
1
2
P(ξ＝k)
________
________
X
0
1
2
3
4
5
P
0
1
2
P
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
X
1
2
3
4
P

1
2
3
1
等级
合格
中等
良好
优秀
高一
4
7
4
5
高二
3
5
6
6










X
0
1
2
P
η
1
2
3
P
0
1
2
3
0
1
2
3

北京密云
山东乐陵
河北迁西
山东庆云
北京怀柔
河北海兴
河北唐山
天津渤海A平台
河北丰南
山东长清
180毫米
175毫米
144毫米
144毫米
143毫米
140毫米
130毫米
127毫米
126毫米
126毫米
测试成绩（单位：分）
等级
合格
中等
良好
优秀
0
1
2
3
0
1
2
3
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P