苏教版 (2019)必修 第一册2.2 充分条件、必要条件、冲要条件导学案

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知识精讲
充分条件与必要条件
【特别提醒】
对充分条件和必要条件的理解：
(1)对“推出”的正确理解：对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的．
(2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．
(3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．
（4）以下五种表述形式是等价的：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q。
充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为 条件．
(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
【特别提醒】
（1）若p是q的充要条件，则p⇔q，即命题p和q是两个相互等价的命题。
（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别是：若p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；若p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
一、充分 必要 充分 必要
二、 充要
能力拓展
考法01 充分条件的判断
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．
例 1
下列命题中，p是q的充分条件的是________．
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．
【跟踪训练】
“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．
考法02 必要条件的判定
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．
例 2
在以下各题中，分析p与q的关系：
(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；
(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．
【跟踪训练】
下列p是q的必要条件的是( )
A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：－1C．p：ab，q：a>b＋1
考法03 根据充分条件或必要条件求参数的范围
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
例 3
已知p：实数x满足3a【跟踪训练】
变式1. （变条件）将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
变式2. （变条件）将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
考法04 充分必要条件的判定
定义法判断充分条件、必要条件
（1）确定谁是条件，谁是结论
（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
（3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
例 4
指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bc.
【跟踪训练】
指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
考法05 充要条件的证明
充要条件的证明策略
（1）要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
例 5
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【跟踪训练】
求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
考法06 充分条件与必要条件的应用
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
(3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
例 6
已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【跟踪训练】
变式1. （变条件）若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
变式2. （变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
分层提分
题组A 基础过关练
1．有以下说法，其中正确的个数为（ ）
（1）“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.
（2）“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.
（3）“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．“”是二次函数 经过原点”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
3．对于实数，“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
4．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．r是q的充分不必要条件B．p是q的充分不必要条件
C．r是q的必要不充分条件D．r是s的充分不必要条件
5．“>1”的一个充分不必要条件是（ ）
A．x>yB．x>y>0
C．x6．若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则（ ）
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
7．是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．有限集合中元素的个数记作，设都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是；
②的必要条件是；
③不是的子集的充分条件是
④的充要条件是
其中真命题的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
题组B 能力提升练
1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知条件，条件关于x的一元二次方程有实数解．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条
3．已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．5
4．设．若是的必要不充分条件，则实数可以是（ ）
A．B．C．D．
5．若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
6．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．
7．设集合，
（1）请写出一个集合，使“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件；
（2）请写出一个集合，使“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件．
8．设：实数满足，：实数满足.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
题组C 培优拔尖练
1．已知，恒成立，则的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个条件中可以作为方程有实根的充分不必要条件是（ ）
A．a=0B．C．D．
3．已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的充要条件是
D．当m=3时，方程的两个实数根之和为0
4．设实数，若满足，则称a比b更接近m.
（1）若比更接近0，求实数的取值范围；
（2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由.
5．设条件p：|x－2|<3，条件q：06．已知集合，集合.
（1）求集合；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
课程标准
重难点
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的定义．
2、会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．
3、能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与充分条件和必要条件的关系
2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与充要条件的关系
3．熟练判断命题间的关系
4．根据命题关系求参数范围或参数值
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的 条件
q是p的 条件
p不是q的 条件
q不是p的 条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
A．
B．
C．
D．