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沪科技版（2020）必修第二册第一节 曲线运动巩固练习
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这是一份沪科技版（2020）必修第二册第一节 曲线运动巩固练习，文件包含第3课“小船过河”“绳杆连物”问题原卷版-高一物理同步精品讲义沪科版必修二doc、第3课“小船过河”“绳杆连物”问题解析版-高一物理同步精品讲义沪科版必修二doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
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1、会解决船速大于水流速度的“小船过河”问题
2、会解决船速小于水流速度的“小船过河”问题
3、会解决“绳杆连物”问题
知识精讲
如图所示，小船分别以这两种方式渡河，哪一种用的时间更短呢？
知识点01 小船过河模型
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．三种情况
【典例1】
一艘小船横渡一条河流，小船本身提供的速度大小、方向都不变，且始终垂直于河岸。已知河水流速从两岸到中心逐渐增大，则小船运动轨迹是选项图中的( )
【解析】小船沿垂直于河岸方向做匀速直线运动，河水流速从两岸到中心逐渐增大，即小船从河岸到河心时沿河岸方向做加速运动，加速度指向下游，曲线轨迹的凹侧指向下游，从河心到另一侧河岸时，小船沿河岸方向做减速运动，加速度指向上游，凹侧指向上游，故只有C正确。
【答案】C
【典例2】
河宽60 m，水流速度v1＝6 m/s，小船在静水中的速度v2＝3 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间；
(2)小船渡河的最短航程。
【解析】(1)当小船垂直河岸航行时，渡河时间最短，
tmin＝eq \f(d,v2)＝eq \f(60,3) s＝20 s。
(2)因为船速小于水速，所以小船一定向下游漂移。如图所示，以v1矢量末端为圆心，以v2矢量的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。
由图可知，最短航程为
x短＝eq \f(d,sin θ)＝eq \f(v1,v2)d＝eq \f(6,3)×60 m＝120 m。
【答案】(1)20 s (2)120 m
【典例3】
小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸。求：
(1)水流的速度；
(2)小船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。
【解析】
(1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示。
由x＝v2t1得v2＝eq \f(x,t1)＝eq \f(120,600) m/s＝0.2 m/s。
(2)船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示。
v2＝v1cs α
d＝v1sin α·t2
由图甲可得d＝v1t1
联立解得α＝53°，v1≈0.33 m/s，d＝200 m。
【答案】(1)0.2 m/s (2)0.33 m/s 200 m 53°
【即学即练1】
如图所示，甲、乙两船在同一条水流匀速的河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相同，且两船相遇不影响各自的航行，下列判断正确的是( )
A．甲船也能到达M点正对岸
B．甲船渡河时间一定短
C．两船相遇在NP直线上的某点(非P点)
D．渡河过程中两船不会相遇
【解析】乙船垂直河岸到达正对岸，说明水流方向向右；甲船参与了两个分运动，沿着船头指向的匀速运动，随着水流方向的匀速运动，故不可能到达M点正对岸，故A错误；小船过河的速度为船本身的速度垂直河岸方向的分速度vy＝vsin α，小船过河的时间t＝eq \f(d,vy)＝eq \f(d,vsin α)，故甲、乙两船到达对岸的时间相同，故B错误；以流动的水为参考系，两船相遇点在速度方向延长线的交点上；又由于乙船实际上沿着NP方向运动，故相遇点在NP直线上的某点(非P点)，故C正确，D错误。
【答案】C
【即学即练2】
(多选)如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则( )
A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了
D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了
【解析】 由于河水速度恒定，小船做曲线运动的加速度方向必定垂直河岸，由题图可知，前一阶段，加速度与小船航行速度同方向，小船航行速度增加，后一阶段，加速度与小船航行速度反方向，小船航行速度减小，故选项A错误，B正确；容易知道，小船垂直河岸运动的平均速度大于船出发时的速度，故选项C错误，D正确．
【答案】 BD
知识点02 绳杆连物模型
1．模型特点
绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
2．模型分析
(1)合速度→物体的实际运动速度v；
(2)分速度其一：沿绳或杆的速度v1；其二：与绳或杆垂直的分速度v2.
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．
4．常见模型示例
绳(杆)端速度分解的技巧
(1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度；
(2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解；
(3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．
【典例1】
如图所示，细线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A．vsin θB．vcs θ
C．vtan θD．vct θ
【解析】 如图，将光盘水平向右移动的速度v分解为沿细线方向的速度和垂直于细线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度v沿细线方向的分速度大小相等，故可得v球＝vsin θ，选项A正确．
【答案】 A
【典例2】
(多选)如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动．下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的是( )
A．笔尖留下的痕迹是一条抛物线
B．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线
C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变
【解析】 笔尖水平方向是匀速直线运动，竖直方向是初速度为零的匀加速直线运动，故笔尖做匀变速曲线运动，其轨迹是抛物线，选项A、D正确．
【答案】 AD
【即学即练1】
如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A．eq \f(vsin α,L)B．eq \f(v,Lsin α)
C．eq \f(vcs α,L)D．eq \f(v,Lcs α)
【解析】 棒与平台接触点的实际运动，即合运动方向是垂直于棒向左上方，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直向上的速度分量等于v，即ωLsin α＝v，故选项B正确．
【答案】 B
【即学即练2】
如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变D．大小和方向均改变
【解析】 本题考查运动的合成与分解．铅笔向右匀速移动，则在水平方向橡皮向右匀速运动，由于细线不能伸长，所以橡皮在竖直方向也做匀速运动，且速度大小与水平方向速度大小相等，橡皮的实际运动为这两个运动的合运动，所以橡皮运动的速度大小、方向均不变，选项A正确．
【答案】 A
能力拓展
小船过河解题思路
绳杆连物解题思路
【典例1】
如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为 ( )
A．t甲C．t甲>t乙 D．无法确定
【解析】 设水速为v0，人在静水中的速度为v，eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)＝x。对甲，O→A阶段人对地的速度为(v＋v0)，所用时间t1＝eq \f(x,v＋v0)；A→O阶段人对地的速度为(v－v0)，所用时间t2＝eq \f(x,v－v0)。所以甲所用时间t甲＝t1＋t2＝eq \f(x,v＋v0)＋eq \f(x,v－v0)＝eq \f(2vx,v2－v02)。对乙，O→B阶段和B→O阶段的实际速度v′为v和v0的合成，如图所示。由几何关系得，实际速度v′＝eq \r(v2－v02)，故乙所用时间t乙＝eq \f(2x,v′)＝eq \f(2x,\r(v2－v02))。eq \f(t甲,t乙)＝eq \f(v,\r(v2－v02))>1，即t甲>t乙，故C正确。
【答案】 C
【典例2】
（多选）如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtanθ
D．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsinθ
【解析】O点向右运动，O点的运动使杆AO绕A点逆时针转动的同时，沿杆OA方向向上推动A点；竖直杆的实际运动(A点的速度)方向竖直向上，使A点绕O点逆时针转动的同时，沿OA方向(弹力方向)与OA杆具有相同的速度。速度分解如图所示，对O点，v1＝vsin θ，对于A点，vAcs θ＝v1，解得vA＝vtan θ，O点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan θ减小，vA减小，但杆不做匀减速运动，A错误，B正确；由vA＝vtan θ可知C正确，D错误。
【答案】 BC
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示，炮弹从炮筒中射出时，速度的大小为v、方向与水平方向夹角为，设炮弹的水平分速度为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
炮弹的速度分解为竖直和水平分速度，则可得
则
故选B。
2．如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置。则小环M的速度将（ ）
A．逐渐增大B．先减小后增大
C．先增大后减小D．逐渐减小
【答案】A
【详解】
设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为
则AB杆上小环M绕A点的线速度
将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆上分速度等于小环M绕A点的线速度v，则小环M的速度
v′＝
随着时间的延长，根据余弦函数特点，可知速度的变化率增大。
故选A。
3．一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合（设河水速度保持不变），则两船过河所用的时间之比是（ ）
A．vA∶vBB．vB∶vAC．∶D．∶
【答案】D
【详解】
两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图
两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即
而
v水=
即
csθ=
所以
故D正确，A、B、C错误。
故选D。
4．某小船在静水中的速度大小保持不变，该小船要渡过一条河，渡河时小船船头垂直指向河岸。若船行至河中间时，水流速度突然增大，则（ ）
A．小船航行速度不变
B．小船航行方向不变
C．小船渡河时间不变
D．小船到达对岸地点不变
【答案】C
【详解】
C．当船头垂直指向河岸时，渡河时间由河宽及船速决定，与水速无关
故小船渡河时间不变，C正确；
AB．由于水流速度突然增大，由平行四边形定则可知
故小船航行速度增大，合速度与河岸夹角变小，AB错误；
D．小船到达对岸地点偏向下游，D错误。
故选C。
5．一艘小船在静水中的速度为5m/s，渡过一条宽180m，水流速度3m/s的河。则该小船过河的最短时间为（ ）
A．60sB．36sC．45sD．30s
【答案】B
【详解】
当船头始终与河岸垂直时，过河时间最短，最短时间为
故选B。
6．如图所示，有一条宽为的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为，水流速度大小为。下列说法正确的是（ ）
A．小船渡河过程中的位移大小为
B．小船渡河的时间是
C．小船在河水中航行的轨迹是曲线
D．小船在河水中的速度是
【答案】B
【详解】
A．小船参与了两个方向的运动，一个是垂直于河岸的运动，一个是沿着河岸的运动，小船到达河对岸时，垂直于河岸的位移为，总位移大于，A错误；
B．由于渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直，故
解得
选项B正确；
C．小船垂直于河岸方向做匀速直线运动，沿河岸方向也做匀速直线运动，所以小船的实际运动为匀速直线运动，C错误；
D．小船在河水中的速度为
D错误。
故选B。
题组B 能力提升练
二、填空题
7．如图所示，在水平地面上，放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面上，当滑到图示位置时，B端的速度为v，则A端的速度是_________。（α为已知）
【答案】
【详解】
由速度的合成与分解，可知，将两球的速度分解，如图所示：
则有
那么两小球实际速度之比
vA：vB=csα：sinα=1：tanα
则A点速度是
点睛：本题考查运动的合成与分解，要掌握三角函数知识运用，注意两球沿着杆方向的分速度相等是解题的关键。
8．如图所示，A、B两物体放在水平面上且通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连。现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳与水平面夹角分别是α、β 时（绳始终有拉力），物体B的运动速度vB大小为________。
【答案】
【详解】
[1]由运动的合成与分解可得两个物体的速度分解如图所示，对物体B则有
对物体A则有
v绳A=v1csα
在同一绳上，由于长度不变，因此有
v绳A=v绳B
解得
9．一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1=10min，小艇到达正对岸下游x=120 m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，则经过t2=12.5 min，小艇恰好到达河对岸的B处。则船在静水中的速度_______m/min；河宽为_______m。
【答案】 20 200
【详解】
[1][2]设河宽为d，水流速度为v1，小艇在静水中的速度为v2，小艇艇身与河岸垂直时，有
解得
小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，小艇恰好到达河对岸的B处，则有
联立解得
，
10．某河宽为600m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度4m/s渡河，且船渡河的时间最短，则渡河最短时间为_____，船离开河岸400m时的速度大小为_____。
【答案】 150
【详解】
[1]船头垂直河岸时，渡河时间最短
[2]由图可知，船离开河岸400m时，水速为2m/s，此时船的合速度为
11．一条江全长562公里，上游是高山峡谷，溪流密布；中游地段河谷狭窄，滩多水急；下游流速缓慢，有利航行。某段江面宽，水流速度，有一木船在A点要过江，如图所示。
（1）若木船相对静水速度，则木船最短渡江时间为______s；
（2）若A处下游的B处是一片与河岸垂直的险滩，为使木船从A点以恒定的速度安全到达对岸，则木船在静水中航行时的最小速度为______。
【答案】 25 1.6
【详解】
（1）[1]最短渡河时间时，船头正对河对岸行驶，渡河时间为
（2）[2]当速度最小时，正好可以到达河对岸险滩处，则船头方向与合速度方向垂直，航行轨迹如图所示
此时由几何关系得
则此时船速为
12．一条小河，河宽60m，水流速度是6m/s，船在静水中的速度是3m/s，如果它能以最短的时间渡河，则时间至少是_________s，若它能以最短的航程渡河，则航程是__________m。
【答案】 20 120
【详解】
[1] 当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，为
[2] 因为不能垂直渡河，所以当合速度的方向与静水速的方向垂直，渡河位移最短，设此时合速度的方向与河岸的夹角为θ，有
则渡河的最小位移为
题组C 培优拔尖练
三、解答题
13．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个直角形光滑槽中。已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度为vA，求此时B球的速度vB的大小。
【答案】
【详解】
如图所示
A球沿槽下滑的速度为vA时，vA可分解为沿杆方向的分速度vA1和垂直杆方向的分速度vA2.而B球沿槽上滑的速度vB可分解为沿杆方向的分速度vB1和垂直杆方向的分速度vB2.由图可知
即
故
14．甲、乙两船在静水中航行，速度分别为v甲和v乙，两船从同一渡口向河岸划去，已知甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，乙的船速小于水速，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比t甲：t乙为多少？
【答案】
【详解】
两船抵达对岸的地点相同，可知两船合速度方向相同．甲船以最短时间渡河，则甲船船头指向正对岸；乙船以最短航程渡河，则乙船船速与合速度垂直．
设甲、乙两船静水速度为v甲、v乙，合速度为v甲合、v乙合，乙船船头与河岸所成角度为θ.
两船的合位移相等，则渡河时间之比等于两船合速度大小之反比．则
15．河宽d=60m，水流速度v1=3m/s，小船在静水中的速度v2=6m/s，问:
（1）要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?
（2）要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?
【答案】(1)船头垂直河岸，10s；(2)船头与上游河岸的夹角为60°，60m
【详解】
(1)船头垂直河岸渡河时，时间最短，最短时间为
(2)设船头与上游河岸的夹角为α时，航程最短，有
解得
最短航程为
16．飞球调速器是英国工程师詹姆斯·瓦特于1788年为蒸汽机速度控制而设计，如图（a）所示，这是人造的第一个自动控制系统。如图（b）所示是飞球调速器模型，它由两个质量为m的球通过4根长为的轻杆与竖直轴的上、下两个套筒铰接。上面套筒固定，下面套筒质量为M，可沿轴上下滑动。不计一切摩擦，重力加速度为g，当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度匀速转动时（飞球调速器的旋转速度和蒸汽机相同）：
(1)求此时轻杆与竖直轴之间的夹角的余弦值；
(2)为实现对蒸汽机的自动控制（即将蒸汽机的转速控制在一定范围内），由于扰动，当套筒下移时，传动机构应使蒸汽机的转速升高还是降低？请简述其控制原理。
【答案】(1)；(2)升高。由于扰动，蒸汽机的转速降低，套筒才会下移。为保持原来的转速，传动机构应使蒸汽机转速升高。
【详解】
(1)小球受到重力mg、上下两根轻杆的拉力F1、F2，，如图所示
竖直方向上，物体处于平衡状态
水平方向上，由牛顿第二定律
且
下面套筒受到重力Mg、左右两根轻杆的拉力为F3、F4（根据对称性，F3、F4相等），由物体的平衡可知
而
联立，解得
(2)升高。
由于扰动，蒸汽机的转速降低，套筒才会下移。为保持原来的转速，传动机构应使蒸汽机转速升高。
情况
图示
说明
渡河时
间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位
移最短
当v水当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝eq \f(dv水,v船)
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1、会解决船速大于水流速度的“小船过河”问题
2、会解决船速小于水流速度的“小船过河”问题
3、会解决“绳杆连物”问题
知识精讲
如图所示，小船分别以这两种方式渡河，哪一种用的时间更短呢？
知识点01 小船过河模型
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．三种情况
【典例1】
一艘小船横渡一条河流，小船本身提供的速度大小、方向都不变，且始终垂直于河岸。已知河水流速从两岸到中心逐渐增大，则小船运动轨迹是选项图中的( )
【解析】小船沿垂直于河岸方向做匀速直线运动，河水流速从两岸到中心逐渐增大，即小船从河岸到河心时沿河岸方向做加速运动，加速度指向下游，曲线轨迹的凹侧指向下游，从河心到另一侧河岸时，小船沿河岸方向做减速运动，加速度指向上游，凹侧指向上游，故只有C正确。
【答案】C
【典例2】
河宽60 m，水流速度v1＝6 m/s，小船在静水中的速度v2＝3 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间；
(2)小船渡河的最短航程。
【解析】(1)当小船垂直河岸航行时，渡河时间最短，
tmin＝eq \f(d,v2)＝eq \f(60,3) s＝20 s。
(2)因为船速小于水速，所以小船一定向下游漂移。如图所示，以v1矢量末端为圆心，以v2矢量的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。
由图可知，最短航程为
x短＝eq \f(d,sin θ)＝eq \f(v1,v2)d＝eq \f(6,3)×60 m＝120 m。
【答案】(1)20 s (2)120 m
【典例3】
小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸。求：
(1)水流的速度；
(2)小船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。
【解析】
(1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示。
由x＝v2t1得v2＝eq \f(x,t1)＝eq \f(120,600) m/s＝0.2 m/s。
(2)船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示。
v2＝v1cs α
d＝v1sin α·t2
由图甲可得d＝v1t1
联立解得α＝53°，v1≈0.33 m/s，d＝200 m。
【答案】(1)0.2 m/s (2)0.33 m/s 200 m 53°
【即学即练1】
如图所示，甲、乙两船在同一条水流匀速的河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相同，且两船相遇不影响各自的航行，下列判断正确的是( )
A．甲船也能到达M点正对岸
B．甲船渡河时间一定短
C．两船相遇在NP直线上的某点(非P点)
D．渡河过程中两船不会相遇
【解析】乙船垂直河岸到达正对岸，说明水流方向向右；甲船参与了两个分运动，沿着船头指向的匀速运动，随着水流方向的匀速运动，故不可能到达M点正对岸，故A错误；小船过河的速度为船本身的速度垂直河岸方向的分速度vy＝vsin α，小船过河的时间t＝eq \f(d,vy)＝eq \f(d,vsin α)，故甲、乙两船到达对岸的时间相同，故B错误；以流动的水为参考系，两船相遇点在速度方向延长线的交点上；又由于乙船实际上沿着NP方向运动，故相遇点在NP直线上的某点(非P点)，故C正确，D错误。
【答案】C
【即学即练2】
(多选)如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则( )
A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了
D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了
【解析】 由于河水速度恒定，小船做曲线运动的加速度方向必定垂直河岸，由题图可知，前一阶段，加速度与小船航行速度同方向，小船航行速度增加，后一阶段，加速度与小船航行速度反方向，小船航行速度减小，故选项A错误，B正确；容易知道，小船垂直河岸运动的平均速度大于船出发时的速度，故选项C错误，D正确．
【答案】 BD
知识点02 绳杆连物模型
1．模型特点
绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
2．模型分析
(1)合速度→物体的实际运动速度v；
(2)分速度其一：沿绳或杆的速度v1；其二：与绳或杆垂直的分速度v2.
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．
4．常见模型示例
绳(杆)端速度分解的技巧
(1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度；
(2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解；
(3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．
【典例1】
如图所示，细线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A．vsin θB．vcs θ
C．vtan θD．vct θ
【解析】 如图，将光盘水平向右移动的速度v分解为沿细线方向的速度和垂直于细线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度v沿细线方向的分速度大小相等，故可得v球＝vsin θ，选项A正确．
【答案】 A
【典例2】
(多选)如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动．下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的是( )
A．笔尖留下的痕迹是一条抛物线
B．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线
C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变
【解析】 笔尖水平方向是匀速直线运动，竖直方向是初速度为零的匀加速直线运动，故笔尖做匀变速曲线运动，其轨迹是抛物线，选项A、D正确．
【答案】 AD
【即学即练1】
如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A．eq \f(vsin α,L)B．eq \f(v,Lsin α)
C．eq \f(vcs α,L)D．eq \f(v,Lcs α)
【解析】 棒与平台接触点的实际运动，即合运动方向是垂直于棒向左上方，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直向上的速度分量等于v，即ωLsin α＝v，故选项B正确．
【答案】 B
【即学即练2】
如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变D．大小和方向均改变
【解析】 本题考查运动的合成与分解．铅笔向右匀速移动，则在水平方向橡皮向右匀速运动，由于细线不能伸长，所以橡皮在竖直方向也做匀速运动，且速度大小与水平方向速度大小相等，橡皮的实际运动为这两个运动的合运动，所以橡皮运动的速度大小、方向均不变，选项A正确．
【答案】 A
能力拓展
小船过河解题思路
绳杆连物解题思路
【典例1】
如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为 ( )
A．t甲
【解析】 设水速为v0，人在静水中的速度为v，eq \x\t(OA)＝eq \x\t(OB)＝x。对甲，O→A阶段人对地的速度为(v＋v0)，所用时间t1＝eq \f(x,v＋v0)；A→O阶段人对地的速度为(v－v0)，所用时间t2＝eq \f(x,v－v0)。所以甲所用时间t甲＝t1＋t2＝eq \f(x,v＋v0)＋eq \f(x,v－v0)＝eq \f(2vx,v2－v02)。对乙，O→B阶段和B→O阶段的实际速度v′为v和v0的合成，如图所示。由几何关系得，实际速度v′＝eq \r(v2－v02)，故乙所用时间t乙＝eq \f(2x,v′)＝eq \f(2x,\r(v2－v02))。eq \f(t甲,t乙)＝eq \f(v,\r(v2－v02))>1，即t甲>t乙，故C正确。
【答案】 C
【典例2】
（多选）如图所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )
A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动
B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动
C．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vtanθ
D．半圆柱体以速度为v向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为vsinθ
【解析】O点向右运动，O点的运动使杆AO绕A点逆时针转动的同时，沿杆OA方向向上推动A点；竖直杆的实际运动(A点的速度)方向竖直向上，使A点绕O点逆时针转动的同时，沿OA方向(弹力方向)与OA杆具有相同的速度。速度分解如图所示，对O点，v1＝vsin θ，对于A点，vAcs θ＝v1，解得vA＝vtan θ，O点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan θ减小，vA减小，但杆不做匀减速运动，A错误，B正确；由vA＝vtan θ可知C正确，D错误。
【答案】 BC
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示，炮弹从炮筒中射出时，速度的大小为v、方向与水平方向夹角为，设炮弹的水平分速度为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
炮弹的速度分解为竖直和水平分速度，则可得
则
故选B。
2．如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置。则小环M的速度将（ ）
A．逐渐增大B．先减小后增大
C．先增大后减小D．逐渐减小
【答案】A
【详解】
设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为
则AB杆上小环M绕A点的线速度
将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆上分速度等于小环M绕A点的线速度v，则小环M的速度
v′＝
随着时间的延长，根据余弦函数特点，可知速度的变化率增大。
故选A。
3．一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合（设河水速度保持不变），则两船过河所用的时间之比是（ ）
A．vA∶vBB．vB∶vAC．∶D．∶
【答案】D
【详解】
两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图
两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即
而
v水=
即
csθ=
所以
故D正确，A、B、C错误。
故选D。
4．某小船在静水中的速度大小保持不变，该小船要渡过一条河，渡河时小船船头垂直指向河岸。若船行至河中间时，水流速度突然增大，则（ ）
A．小船航行速度不变
B．小船航行方向不变
C．小船渡河时间不变
D．小船到达对岸地点不变
【答案】C
【详解】
C．当船头垂直指向河岸时，渡河时间由河宽及船速决定，与水速无关
故小船渡河时间不变，C正确；
AB．由于水流速度突然增大，由平行四边形定则可知
故小船航行速度增大，合速度与河岸夹角变小，AB错误；
D．小船到达对岸地点偏向下游，D错误。
故选C。
5．一艘小船在静水中的速度为5m/s，渡过一条宽180m，水流速度3m/s的河。则该小船过河的最短时间为（ ）
A．60sB．36sC．45sD．30s
【答案】B
【详解】
当船头始终与河岸垂直时，过河时间最短，最短时间为
故选B。
6．如图所示，有一条宽为的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为，水流速度大小为。下列说法正确的是（ ）
A．小船渡河过程中的位移大小为
B．小船渡河的时间是
C．小船在河水中航行的轨迹是曲线
D．小船在河水中的速度是
【答案】B
【详解】
A．小船参与了两个方向的运动，一个是垂直于河岸的运动，一个是沿着河岸的运动，小船到达河对岸时，垂直于河岸的位移为，总位移大于，A错误；
B．由于渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直，故
解得
选项B正确；
C．小船垂直于河岸方向做匀速直线运动，沿河岸方向也做匀速直线运动，所以小船的实际运动为匀速直线运动，C错误；
D．小船在河水中的速度为
D错误。
故选B。
题组B 能力提升练
二、填空题
7．如图所示，在水平地面上，放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面上，当滑到图示位置时，B端的速度为v，则A端的速度是_________。（α为已知）
【答案】
【详解】
由速度的合成与分解，可知，将两球的速度分解，如图所示：
则有
那么两小球实际速度之比
vA：vB=csα：sinα=1：tanα
则A点速度是
点睛：本题考查运动的合成与分解，要掌握三角函数知识运用，注意两球沿着杆方向的分速度相等是解题的关键。
8．如图所示，A、B两物体放在水平面上且通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连。现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳与水平面夹角分别是α、β 时（绳始终有拉力），物体B的运动速度vB大小为________。
【答案】
【详解】
[1]由运动的合成与分解可得两个物体的速度分解如图所示，对物体B则有
对物体A则有
v绳A=v1csα
在同一绳上，由于长度不变，因此有
v绳A=v绳B
解得
9．一艘小艇从河岸上的A处出发渡河，小艇艇身保持与河岸垂直，经过t1=10min，小艇到达正对岸下游x=120 m的C处，如图所示，如果小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，则经过t2=12.5 min，小艇恰好到达河对岸的B处。则船在静水中的速度_______m/min；河宽为_______m。
【答案】 20 200
【详解】
[1][2]设河宽为d，水流速度为v1，小艇在静水中的速度为v2，小艇艇身与河岸垂直时，有
解得
小艇保持速度大小不变逆水斜向上游与河岸成角方向行驶，小艇恰好到达河对岸的B处，则有
联立解得
，
10．某河宽为600m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图所示，现船以静水中的速度4m/s渡河，且船渡河的时间最短，则渡河最短时间为_____，船离开河岸400m时的速度大小为_____。
【答案】 150
【详解】
[1]船头垂直河岸时，渡河时间最短
[2]由图可知，船离开河岸400m时，水速为2m/s，此时船的合速度为
11．一条江全长562公里，上游是高山峡谷，溪流密布；中游地段河谷狭窄，滩多水急；下游流速缓慢，有利航行。某段江面宽，水流速度，有一木船在A点要过江，如图所示。
（1）若木船相对静水速度，则木船最短渡江时间为______s；
（2）若A处下游的B处是一片与河岸垂直的险滩，为使木船从A点以恒定的速度安全到达对岸，则木船在静水中航行时的最小速度为______。
【答案】 25 1.6
【详解】
（1）[1]最短渡河时间时，船头正对河对岸行驶，渡河时间为
（2）[2]当速度最小时，正好可以到达河对岸险滩处，则船头方向与合速度方向垂直，航行轨迹如图所示
此时由几何关系得
则此时船速为
12．一条小河，河宽60m，水流速度是6m/s，船在静水中的速度是3m/s，如果它能以最短的时间渡河，则时间至少是_________s，若它能以最短的航程渡河，则航程是__________m。
【答案】 20 120
【详解】
[1] 当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，为
[2] 因为不能垂直渡河，所以当合速度的方向与静水速的方向垂直，渡河位移最短，设此时合速度的方向与河岸的夹角为θ，有
则渡河的最小位移为
题组C 培优拔尖练
三、解答题
13．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个直角形光滑槽中。已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度为vA，求此时B球的速度vB的大小。
【答案】
【详解】
如图所示
A球沿槽下滑的速度为vA时，vA可分解为沿杆方向的分速度vA1和垂直杆方向的分速度vA2.而B球沿槽上滑的速度vB可分解为沿杆方向的分速度vB1和垂直杆方向的分速度vB2.由图可知
即
故
14．甲、乙两船在静水中航行，速度分别为v甲和v乙，两船从同一渡口向河岸划去，已知甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，乙的船速小于水速，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比t甲：t乙为多少？
【答案】
【详解】
两船抵达对岸的地点相同，可知两船合速度方向相同．甲船以最短时间渡河，则甲船船头指向正对岸；乙船以最短航程渡河，则乙船船速与合速度垂直．
设甲、乙两船静水速度为v甲、v乙，合速度为v甲合、v乙合，乙船船头与河岸所成角度为θ.
两船的合位移相等，则渡河时间之比等于两船合速度大小之反比．则
15．河宽d=60m，水流速度v1=3m/s，小船在静水中的速度v2=6m/s，问:
（1）要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?
（2）要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?
【答案】(1)船头垂直河岸，10s；(2)船头与上游河岸的夹角为60°，60m
【详解】
(1)船头垂直河岸渡河时，时间最短，最短时间为
(2)设船头与上游河岸的夹角为α时，航程最短，有
解得
最短航程为
16．飞球调速器是英国工程师詹姆斯·瓦特于1788年为蒸汽机速度控制而设计，如图（a）所示，这是人造的第一个自动控制系统。如图（b）所示是飞球调速器模型，它由两个质量为m的球通过4根长为的轻杆与竖直轴的上、下两个套筒铰接。上面套筒固定，下面套筒质量为M，可沿轴上下滑动。不计一切摩擦，重力加速度为g，当整个装置绕竖直轴以恒定的角速度匀速转动时（飞球调速器的旋转速度和蒸汽机相同）：
(1)求此时轻杆与竖直轴之间的夹角的余弦值；
(2)为实现对蒸汽机的自动控制（即将蒸汽机的转速控制在一定范围内），由于扰动，当套筒下移时，传动机构应使蒸汽机的转速升高还是降低？请简述其控制原理。
【答案】(1)；(2)升高。由于扰动，蒸汽机的转速降低，套筒才会下移。为保持原来的转速，传动机构应使蒸汽机转速升高。
【详解】
(1)小球受到重力mg、上下两根轻杆的拉力F1、F2，，如图所示
竖直方向上，物体处于平衡状态
水平方向上，由牛顿第二定律
且
下面套筒受到重力Mg、左右两根轻杆的拉力为F3、F4（根据对称性，F3、F4相等），由物体的平衡可知
而
联立，解得
(2)升高。
由于扰动，蒸汽机的转速降低，套筒才会下移。为保持原来的转速，传动机构应使蒸汽机转速升高。
情况
图示
说明
渡河时
间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位
移最短
当v水
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