2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第37讲数列的综合应用（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第37讲数列的综合应用（教师版），共11页。


题型归纳
题型1 数列在数学文化与实际问题中的应用
【例1-1】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为
A．180里B．170里C．160里D．150里
【分析】设该人第天走里路，则是公比为的等比数列，利用等比数列前项和公式求解．
【解答】解：设该人第天走里路，
则是公比为的等比数列，
由题意得，
解得．
故选：．
【例1-2】《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为
A．18B．19C．20D．21
【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且，，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且，，
设公差为，由，得，
，由，得，
，则，
．
故选：．
【跟踪训练1-1】公元1202年意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记，数列的前项和为，则
A．B．C．D．
【分析】直接利用关系式的变换求出数列为等比数列．进一步利用等比数列的前项和公式求出结果．
【解答】解：由题意知：，
由于，
所以，
则．
故选：．
【跟踪训练1-2】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了
A．64里B．32里C．16里D．8里
【分析】由题意利用等比数列的求和公式，求得结果．
【解答】解：这个人每天走的路程成等比数列，公比为，6天共走了126里路．
则有，求得，
故选：．
【跟踪训练1-3】我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有浦生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．浦生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有浦生长1日，长为3尺．莞生长1日，长为1尺．浦的生长逐日减半．莞的生长逐日增加1倍．问几日浦、莞长度相等？”根据上面的已知条件，若浦、莞长度相等时，问浦的长度是
A．4尺B．5尺C．3尺D．6尺
【分析】设浦每日生长的尺数为数列，则为等比数列，且，公比．设莞每日生长的尺数为数列，则为等比数列，且，公比．当浦、莞长度相等时，有，求出，由此能求出浦、莞长度相等时，浦的长度．
【解答】解：设浦每日生长的尺数为数列，则为等比数列，且，公比．
设莞每日生长的尺数为数列，则为等比数列，且，公比．
当浦、莞长度相等时，有，
解得或（舍，
浦、莞长度相等时，浦的长度是（尺．
故选：．
【名师指导】
1．解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2．解答数列应用题需过好“四关”
题型2 数列中的新定义问题
【例2-1】对于数列，定义为的“最优值”，现已知数列的“最优值”，记数列的前项和为，则
A．2019B．2020C．2021D．2022
【分析】由已知可得，得到时，有，两式相减可得，验证时，适合上式，可得数列是公差为2的等差数列，求其前2020项的和，则答案可求．
【解答】解：，且，
，
当时，有，
两式相减可得：．
．
当时，适合上式．
．
则数列是以3为首项，以2为公差的等差数列．
．
可得则．
故选：．
【例2-2】定义：若，为非零常数），则称为“差等比数列”．已知在“差等比数列”中，，，，则的值是
A．B．C．D．
【分析】“差等比数列”的性质得，由此推导出．
【解答】解：在“差等比数列”中，，，，
，．
．
故选：．
【跟踪训练2-1】斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在数学上，斐波那契数列定义如下：，．随着的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是
A．144厘米B．233厘米C．250厘米D．377厘米
【分析】设出长，根据长和宽之间的关系代入面积计算即可．
【解答】解：设该长方形的长为厘米，则宽为；
故有：平方分米平方厘米；
厘米；
故选：．
【跟踪训练2-2】有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，如有504项的数列，，，的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，，，，的“凯森和”为
A．2014B．2016C．2018D．2020
【分析】本题根据根据“凯森和”的定义，分别写出两个数列的“凯森和”的定义式，然后进行比较，找出两个定义式的联系，进行转化并加以计算可得正确选项．
【解答】解：由题意，可知
对于504项的数列，，，，根据“凯森和”的定义，有
，
则，
对于505项的数列2，，，，，根据“凯森和”的定义，有
．
故选：．
【名师指导】
1．新定义数列问题的特点
通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．
2．新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
题型3 数列与函数、不等式的综合问题
【例3-1】记数列前项和为，若1，，成等差数列，且数列的前项和对任意的都有恒成立，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围．
【解答】解：数列前项和为，若1，，成等差数列，
所以①，
当时，．
当时，②，
①②得，整理得（常数），
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以．
所以，
则．
由于对任意的都有恒成立，
所以恒成立．
即，
当时，，
所以，解得，
所以．
故选：．
【例3-2】已知数列的前项和为，，当时，满足，，成等比数列．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：．
【分析】（Ⅰ）先利用代入题中变形整理得到，即可证明数列为等差数列且求出，再次利用即可得数列的通项公式；
（Ⅱ）先结合（Ⅰ）把表示出来变形即得到，再利用裂项相消法求和即可把求出来，进而证明．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，即，整理得：
，两边同时除以得：
，又因为，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，则
，
故．
当时，，
当 时，，
故．
（Ⅱ），
因此
，
故．
【跟踪训练3-1】若数列的通项公式为，则满足的最小的的值为
A．1009B．1010C．1011D．1012
【分析】根据通项公式直接解不等式即可．
【解答】解：，
；
又因为为正整数；
故满足的最小的的值为1011；
故选：．
【跟踪训练3-2】在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．
已知等差数列的前项和为，满足： ，．
（1）求的最小值；
（2）设数列的前项和，证明：．
【分析】（1）分别利用等差数列的定义和数列的求和求出结果．
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
【解答】解：（1）①若选择②③；
由题知：，
又因为，所以．
所以，解得．
所以．
所以，
所以
②若选择①②；
由题知：，
又因为，
所以．
所以，．
所以．
所以，
所以
③若选择①③；
由题知：，所以
由题知：，所以
所以，．
所以．
所以，
所以．
证明（2）因为，
所以
所以．
【跟踪训练3-3】已知数列满足．
（1）求数列的通项；
（2）设，若，求证：．
【分析】（1）当 时，根据即可求得，不过要注意的是记得检验首项是否也满足当 时的通项，这里是一个易错点；
（2）先由第（1）小问结果求出的表达式即，再通过对进行放缩即，最后再累加即可得到一个比结论更强的不等式．
【解答】解：（1）当 时，所以，
当 时①，
②，
由①②得，所以，
当时，也满足上式，
综上可知．
（2）因为，所以，
所以，
，
，又因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
，
又因为，
所以，
综上：．
【名师指导】
1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
2．数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．