2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第22讲三角函数的图象与性质（教师版）

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知识梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
题型归纳
题型1 三角函数的定义域
【例1-1】函数的定义域为
A．，B．，
C．，D．，
【分析】直接由的终边不在轴上求解的取值集合得答案．
【解答】解：由，得，
．
函数的定义域为，．
故选：．
【例1-2】函数的定义域是 ．
【分析】直接利用无理式的范围，推出的不等式，解三角不等式即可．
【解答】解：由得，
，．
故答案为：，．
【跟踪训练1-1】函数的定义域为
A．B．
C．D．
【分析】根据正切函数的定义域，即可求得函数的定义域．
【解答】解：函数中，
令，；
解得，；
所以函数的定义域为，．
故选：．
【跟踪训练1-2】函数的定义域为 ．
【分析】由，得或，求解后取并集得答案．
【解答】解：由，得①或②，
由①得，，；
由②得，或，．
函数的定义域为或，．
故答案为：或，．
【名师指导】
1．三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
题型2 三角函数的值域（最值）
【例2-1】函数在区间上的值域为 ．
【分析】根据的取值范围，结合正切函数的单调性求出的值域．
【解答】解：当时，，，
且在，上单调递增；
又，，
所以，
所以的值域为．
故答案为：，．
【例2-2】函数的值域是 ．
【分析】根据，求得的范围，可得的范围，从而求得函数的值域．
【解答】解：，
，
，
故函数的值域为：，，
故答案为：，．
【跟踪训练2-1】函数的值域是
A．，B．，C．，D．，
【分析】由余弦函数的单调性，函数在，上是增，在上减，由此性质即可求出函数的值域．
【解答】解：由余弦函数的单调性，函数在，上是增，在上减，故其最大值在处取到为1
最小值在处取到为0，故其值域是，；
故选：．
【跟踪训练2-2】函数，，的值域是 ．
【分析】根据，，求解的范围，结合正切函数的性质可得值域；
【解答】解：由，，
，
结合正切函数的性质可得：．
故答案为：，．
【名师指导】
求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(4)对分式形式的三角函数表达式也可构造基本不等式求最值．
题型3 三角函数的单调性
【例3-1】函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【分析】由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果．
【解答】解：对于函数，令，
求得，故函数的单调增区间为，，，
故选：．
【例3-2】函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【分析】根据余弦函数的单调递增区间，解不等式即可得出原函数的单调递增区间．
【解答】解：解得，，
函数的单调递增区间是．
故选：．
【例3-3】函数的单调递增区间为 ．
【分析】根据正切函数的单调性，解不等式，，将所得的解集化为等价的开区间，即为所求函数的单调增区间．
【解答】解：令，，，
即，，
可解得：，，
函数的单调递增区间是，．
故答案为：，．
【例3-4】已知函数在区间，（其中上单调递增，则实数的取值范围是
A．B．
C．，D．，
【分析】求出原函数的单调增区间，可得的一个增区间为，，再由函数在区间，（其中上单调递增，可得的取值范围．
【解答】解：由，
得，．
取，得，
则函数数的一个增区间为，．
函数在区间，（其中上单调递增，
．
故选：．
【跟踪训练3-1】函数的一个单调递减区间是
A．B．C．D．
【分析】解即可得出的单调递减区间，然后即可判断每个选项的区间是否为的一个单调递减区间．
【解答】解：解得，，
时，；时，；时，，
是的一个单调递减区间．
故选：．
【跟踪训练3-2】函数的单调递减区间是
A．B．
C．D．
【分析】先利用诱导公式化简函数的解析式，再由条件利用余弦函数的单调性求得的减区间．
【解答】解：因为，
令，
求得，
可得函数的减区间为，，．
故选：．
【跟踪训练3-3】函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
【分析】根据正切函数的图象与性质，即可求出函数的单调递增区间．
【解答】解：函数中，
令，；
解得，；
所以函数的单调递增区间是，，．
故选：．
【跟踪训练3-4】已知函数为正整数）在区间上单调，则的最大值为 ．
【分析】结合正弦函数的性质可知，，解不等式可求．
【解答】解：因为在区间上单调，且，
结合正弦函数的性质可知，，
解可得，即的最大值3．
故答案为：3．
【跟踪训练3-5】已知，函数在，上单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据函数的单调性求出，然后求出当，时，的取值范围，利用余弦函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：，
若函数在，上单调递减，
则，
，
若，则，
，
，
，
，
若函数在，上单调递减，
则满足，
即，
即，
故选：．
【名师指导】
1.求三角函数单调区间的方法
求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，可利用换元法转化为两个简单函数(t＝ωx＋φ与y＝Asin t)进行求解，应注意ω的符号对复合函数单调性的影响，牢记基本法则——同增异减．准确记忆基本结论：
2.已知函数单调性求参数
(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．
(2)抓住两种方法．已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．
题型4 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例4-1】函数的最小正周期是
A．B．C．D．
【分析】画出草图即可判断结论．
【解答】解：因为函数；
，；
其定义域为：，；
其图象大致为：
故其周期为：；
故选：．
【例4-2】函数是上的偶函数，则的值是
A．0B．C．D．
【分析】由给出的函数为实数集上的偶函数，所以有恒成立，展开两角和及差的正弦后移向整理，得恒成立，再根据给出的的范围可求其值．
【解答】解：由是上的偶函数，
则恒成立，
即，
也就是恒成立．
即恒成立．
因为，所以．
故选：．
【例4-3】已知点为函数图象的一个对称中心，则实数
A．B．C．D．
【分析】把点的坐标代入，利用三角函数求值即可求得结论．
【解答】解：根据题意，得，
，
，
又，
取，可得．
故选：．
【例4-4】已知函数，则函数的图象的对称轴方程为
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的解析式，结合正弦函数的对称性，可得答案．
【解答】解：由函数，
则，，得：，，
故选：．
【跟踪训练4-1】设函数在，的图象大致如图，则的最小正周期为
A．B．C．D．
【分析】由图象观察可得最小正周期小于，大于，排除，；再由，求得，对照选项，，代入计算，即可得到结论．
【解答】解：由图象可得最小正周期小于，大于，排除，；
由图象可得，
即为，，
若选，即有，由，可得不为整数，排除；
若选，即有，由，可得，成立．
故选：．
【跟踪训练4-2】下列函数中，周期为，且在，上单调递减的是
A．B．C．D．
【分析】由条件利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．
【解答】解：对于，由于的周期为，且在，上单调递减，故满足条件．
对于，由于的周期为，故不满足条件．
对于，由于的周期为，在，上，，，故函数单调递增，故不满足条件．
对于，函数的最小正周期为，函数在区间，上单调递增，故不满足条件．
故选：．
【跟踪训练4-3】函数的最小正周期为 ．
【分析】由题意利用利的周期为，得出结论．
【解答】解：函数的最小正周期为，
故答案为：6．
【跟踪训练4-4】函数是
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数
【分析】根据正切函数的周期公式以及函数奇偶性进行判断即可．
【解答】解：函数的周期，且函数为奇函数，
故选：．
【跟踪训练4-5】已知函数，是偶函数，且在，上是减函数，则 ，的最大值是 ．
【分析】首先利用三角函数的对称性的应用求出的值，进一步利用函数的单调性的应用求出的范围，从而确定结果．
【解答】解：由于函数，是偶函数，
所以．
由于在，上是减函数，
所以，
所以，
故答案为：．
【跟踪训练4-6】已知函数是偶函数，则的最小值是 ．
【分析】结合三角函数的奇偶性，建立方程关系求出的表达式即可．
【解答】解：是偶函数，
则，，
即，，
当时，取得最小值，为，
故答案为：．
【跟踪训练4-7】已知函数图象关于直线对称，则函数在区间，上零点的个数为
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据余弦型函数的对称性知，在时取得最值，由此求出值，再令，解出，即可判断在，上零点个数．
【解答】解：因为函数图象关于直线对称，
，，由知，时，．
故，令得，．
因为，，所以，1，2时，满足条件．故零点有三个．
故选：．
【跟踪训练4-8】下列是函数图象的对称轴方程的是
A．B．C．D．
【分析】根据余弦函数的对称性，求出对称轴即可．
【解答】解：令，，解得，，
当时，，选项符合题意．
故选：．
【名师指导】
1．三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法；
(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acs(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)；
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
2．有关周期的2个结论
(1)函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acs(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝eq \f(π,|ω|).
(2)函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acs(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝eq \f(2π,|ω|).
3．若y＝f(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，y＝0；若y＝f(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．
4.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)整理；对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f(x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，求x.函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定
义
域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是递增函数
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
对称中心是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
函数
单调递增区间
单调递减区间
y＝sin x
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)
y＝cs x
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
y＝tan x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)
无