2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第21讲同角三角函数的基本关系与诱导公式（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第21讲同角三角函数的基本关系与诱导公式（教师版），共9页。试卷主要包含了同角三角函数的基本关系等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1．
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan_α(α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z)．
2．三角函数的诱导公式
题型归纳
题型1同角三角函数基本关系的应用
【例1-1】已知，是第二象限角，则
A．B．C．D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简得解．
【解答】解：，是第二象限角，
．
故选：．
【例1-2】已知，则
A．B．C．1D．3
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而化简所求即可求解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【例1-3】若，则的值为
A．B．C．D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．
【解答】解：，
解得．
故选：．
【例1-4】已知，，求下列式子的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得的值；
（2）由已知可求，，，，利用平方差公式可求，进而可求，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求的值．
（3）利用立方和公式即可求解．
【解答】解：（1），，
两边平方，可得，
解得；
（2），①
又，，
，，，
，②
由①②可得，即，整理可得：，
解得，或（舍去）．
（3）
【跟踪训练1-1】已知，，则
A．B．C．D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，结合，可得解的值．
【解答】解：，，
，即，
又，
，即，
解得，负值舍去．
故选：．
【跟踪训练1-2】若，，，则等于
A．B．C．D．
【分析】由已知利用平方关系求得，再由商的关系可得．
【解答】解：，，，
．
．
故选：．
【跟踪训练1-3】已知，则
A．B．2C．D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．
【解答】解：，
．
故选：．
【跟踪训练1-4】已知，则的值为
A．B．C．D．
【分析】由，可得，结合，可求，，代入即可求解．
【解答】解：由，可得，
又，
联立可得，或，
当时，，
当时，．
故选：．
【跟踪训练1-5】已知，则
A．B．C．D．
【分析】将已知代入所求即可化简求值得解．
【解答】解：，
．
故选：．
【跟踪训练1-6】已知，计算：
（1）；
（2）；
（3）若是第三象限角，求、．
【分析】（1）由已知化弦为切求解；
（2）分母看作1，用平方关系替换，在化弦为切求解；
（3）联立商的关系与平方关系求解．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3），，①
代入中，可得．
，得，
又是第三象限角，．
代入①式得．
【跟踪训练1-7】已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开，求出的值，再利用完全平方公式求出的值．
（2）由（1）联立求出与的值，即可计算得解．
（3）由（2）利用与的值即可计算得解．
【解答】解：（1）将，两边平方得：，即，
，
，
，，即，
则；
（2）由（1）可得，；
解得，，
；
（3）由（2）可得．
【名师指导】
1.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
2.若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
3.对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t，则sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
题型2诱导公式的应用
【例2-1】已知，则的值为
A．B．C．D．
【分析】已知关系式右边利用诱导公式化简确定出，即可求出所求式子的值．
【解答】解：，
则．
故选：．
【例2-2】若，且，，则
A．B．C．D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，结合角的范围，可求，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：，两边平方可得，
可得，
，，
，，
，
．
故选：．
【跟踪训练2-1】的值是
A．B．C．D．
【分析】由题意利用诱导公式，求得结果．
【解答】解：，
故选：．
【跟踪训练2-2】已知，那么
A．B．C．D．
【分析】由已知利用诱导公式可得，然后求出的值．
【解答】解：，
．
故选：．
【名师指导】
1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了．
题型3诱导公式与同角关系的综合应用
【例3-1】已知，且，则的值为 ．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用诱导公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：已知，且，，
则
，
故答案为：．
【跟踪训练3-1】已知，，则 ．
【分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求，，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．
【解答】解：，，
，即，
，解得，，
．
故答案为：．
【跟踪训练3-2】已知，则 ．
【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求的值，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
【解答】解：，
，解得，
．
故答案为：．
【名师指导】
求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tanα
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
基本
思路
①分析结构特点，选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式
化简
要求
①化简过程是恒等变换；
②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值