2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第25讲简单的三角恒等变换（教师版）

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知识梳理
题型归纳
题型1 三角函数式的化简
【例1-1】已知，化简： ．
【分析】由条件利用二倍角公式、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【跟踪训练1-1】设，则
A．B．C．D．
【分析】由，然后结合已知角的范围进行化简即可．
【解答】解：，
则，
．
故选：．
【跟踪训练1-2】若为第四象限角，则可以化简为
A．B．C．D．
【分析】由为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解．
【解答】解：为第四象限角，
．
故选：．
【名师指导】
1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
题型2 三角函数式的求值
【例2-1】
A．B．1C．D．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
【例2-2】若，则 ．
【分析】由已知可得，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【例2-3】若为锐角，且，则
A．B．C．D．
【分析】先利用三角函数公式化简，则，从而求出的值．
【解答】解：
，
，又为锐角，
，
故选：．
【跟踪训练2-1】
A．1B．C．D．2
【分析】由已知结合二倍角公式及和差角公式对已知进行化简即可求值．
【解答】解：原式．
故选：．
【跟踪训练2-2】化简：的结果为 ．
【分析】利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．
【解答】解：．
故答案为：2．
【跟踪训练2-3】化简求值：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解；
（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
【跟踪训练2-4】若，是第三象限角，则 ．
【分析】根据题意可得，，再化简，代值计算即可．
【解答】解：，
，
，
为第三象限角，
，
故答案为：
【跟踪训练2-5】已知是方程的根，则 ．
【分析】解一元二次方程求得的值，在老鹰利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的三角函数式，可得结果．
【解答】解：是方程的根，，，
故答案为：．
【跟踪训练2-6】已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得 的值．
（2）由题意利用三角函数的恒等变换及化简所给的式子，结合（1）的结论，可得结果．
【解答】解：（1）已知，，，平方可得，
，
．
（2）．
【跟踪训练2-7】若，则的一个可能值为
A．B．C．D．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，比较各个选项即可得解．
【解答】解：，
，
的一个可能值为．
故选：．
【跟踪训练2-8】已知角，，，则 ．
【分析】从．中解出，利用配角法化简，即将其中的用，用代换，从而求出，利用三角函数值求解得的值．
【解答】解：，
，．
，
．
．
．
．
又，
．
故答案为：．
【跟踪训练2-9】已知，，．
（1）求的值；
（2）求角的大小．
【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式的应用和同角三角函数的变换的应用求出结果．
（2）利用三角函数的角的变换的应用求出结果．
【解答】解：（1）已知，
由于．
所以，
故．
（2）．
所以，
由于，
所以，
故：．
由于．
所以．
【名师指导】
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
(1)已知正切函数值，则选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则选正弦较好．
题型3 三角恒等变换与三角函数的综合应用
【例3-1】已知中，，则的形状为
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．无法确定
【分析】利用和角与差角的三角函数公式化简，进而分类讨论即可判断的形状．
【解答】解：因为，
，可得：，
当时，，为直角三角形，
当时，得，由正弦定理得，
所以是等腰或直角三角形．
故选：．
【例3-2】已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，且，求．
【分析】（1）用正、余弦的差角公式展开，再用和角公式合并化简，用周期公式得到答案；
（2）先计算角的范围，判断余弦的符号，求出的值，再用角变换得 求解；
【解答】解：（1）函数
；
所以函数的最小正周期；
（2），即，
，
，
；
；
故．
【跟踪训练3-1】在中，如果，那么的形状为
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【分析】结合和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以与一正一负，故而得解．
【解答】解：，
，
，即与异号，
又，，
与一正一负，
为钝角三角形．
故选：．
【跟踪训练3-2】已知，，
（1）求的值域；
（2）若，求的值．
【分析】（1）首先，化简函数解析式：，然后，根据，，求解的值域；
（2）根据（1）的函数解析式，因为，先求解，然后求解．
【解答】解：（1）
．
，，
，，
当，即时，有最小值0．当时，有最大值．
值域：，．
（2），得
，
，，
，，
又，
，
得，
．
的值．
【名师指导】
解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤
第一步：将f(x)化为asin x＋bcs x的形式；
第二步：构造f(x)＝eq \r(a2＋b2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))·sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))·cs x))；
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．