2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第26讲正弦定理和余弦定理（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第26讲正弦定理和余弦定理（教师版），共14页。试卷主要包含了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C.
3．三角形的面积公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
题型归纳
题型1 利用正、余弦定理解三角形
【例1-1】在中，角，，所对的边分别是，，．若，，，则
A．B．C．D．
【分析】由已知利用正弦定理即可计算求解．
【解答】解：因为，，，
则由正弦定理，可得．
故选：．
【例1-2】在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则
A．5B．C．29D．
【分析】直接利用余弦定理求出结果．
【解答】解：已知，，，
利用余弦定理：，
解得．
故选：．
【例1-3】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则
A．B．C．D．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合，可得，根据题意可求范围，根据正弦函数的图象和性质即可求解的值．
【解答】解：，
由正弦定理可得：，
，
，
又，
，
，可得，，
又，
．
故选：．
【例1-4】已知的内角，，所对边分别为，，，，．
（1）求的值；
（2）从①，②两个条件中选一个作为已知条件，求的值．
【分析】（1）由已知利用余弦定理可求的值，结合范围，可求的值．
（2）选择①作为已知条件，由正弦定理可求的值，结合，得为锐角，可求，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求的值；选择②作为已知条件，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求的值．
【解答】解：（1）由，，得：，
又因为，
所以．
（2）选择①作为已知条件．
在中，由，以及正弦定理，
得，解得，
由，得为锐角，
所以，
因为在中，，所以，所以．
选择②作为已知条件，
因为在中，，所以，所以．
【跟踪训练1-1】在三角形中，角，，所对的边分别为，，，其中，，，则边的长为 ．
【分析】利用余弦定理可得，解方程即可得解的值．
【解答】解：在三角形中，，，，
由余弦定理可得：，可得，
可得：，
解得，或．
故答案为：4．
【跟踪训练1-2】在中，，，对应边分别为，，，且，，，则的边 ．
【分析】由可知，然后由可求，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由可求，结合同角平方关系可求，代入，进而可求，进而根据余弦定理可求的值．
【解答】解：，
，
，
可知，
，
由正弦定理，，
于是可得，
，
，
又，可得，
，可得，
，
由余弦定理可得．
故答案为：6．
【跟踪训练1-3】在中，，，，则
A．B．C．或D．或
【分析】由已知利用正弦定理求出的值，利用大边对大角可得为锐角，即可得解的值．
【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，得，
，可得为锐角，
．
故选：．
【跟踪训练1-4】内角，，的对边分别为，，，若，，则 ．
【分析】由已知条件及余弦定理可得，再由正弦定理及的正弦值可得的正切值，再由在三角形中可得的值．
【解答】解：因为，而，所以，
由正弦定理可得，而，
所以，而，
所以
故答案为．
【跟踪训练1-5】在中，若角，，，则角 ．
【分析】利用正弦定理、三角形边角大小关系即可得出．
【解答】解：，，，
由正弦定理，可得，
，
，为锐角，
．
故答案为：．
【跟踪训练1-6】在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理将中的角化为边，得，再结合余弦定理，可求出，从而得角的大小；
（2）易知，将其代入，并结合正弦的两角差公式和辅助角公式可化简为，然后由锐角，可求得，，最后根据正弦函数的图象与性质即可得解．
【解答】解：（1）由正弦定理知，，
，，即，
又，
由余弦定理知，，
，．
（2）由（1）知，，，
，
锐角，且，，，解得，，
，，，，
故的取值范围为，．
【名师指导】
1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝eq \f(bsin A,sin B)，b＝eq \f(asin B,sin A)，c＝eq \f(asin C,sin A)，a2＝b2＋c2－2bccs A，b2＝a2＋c2－2accs B，c2＝a2＋b2－2abcs C.
2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
题型2 判断三角形的形状
【例2-1】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的形状为
A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．等边三角形
【分析】利用正弦定理将已知条件中的等式进行边化角的代换，得，再由二倍角公式知，从而得出或；再由余弦定理可推出，即，故为等边三角形．
【解答】解：由正弦定理知，，
，，即，
或，即或．
，
由余弦定理知，，
，．
不成立，符合题意，
为等边三角形．
故选：．
【例2-2】在中，若，则的形状是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【分析】运用二倍角的余弦公式和正弦定理，以及二倍角的正弦公式，化简整理即可判断三角形的形状．
【解答】解：由已知，
所以或
即或，
由正弦定理，得，
即，
因为、均为的内角，
所以或，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形．
故选：．
【跟踪训练2-1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【分析】易判断最大角为，直接由余弦定理可求，结合的取值来判断该三角形的形状．
【解答】解：由，知最大角为，
，
由于，，
，
为钝角三角形．
故选：．
【跟踪训练2-2】在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，，则的形状为 ，的大小为 ．
【分析】由正弦定理可得，由两角和的正弦公式可求得，根据，故，从而得到的形状为等腰三角形．由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合的范围即可得解的值．
【解答】解：由，
利用正弦定理可得：，由两角和的正弦公式可得：，
，
又，
，
故的形状为等腰三角形，
为的面积，，
，
，
又由余弦定理可得，
，即，
，
．
故答案为：等腰三角形，．
【跟踪训练2-3】已知中，角，，所对的边分别是，，，且，则该三角形的形状是 ．
【分析】利用正弦定理化简，通过两角差的正弦函数，求出与的关系，得到三角形的形状．
【解答】解：在中，，，所对边分别为，，，若，
所以，所以或，
所以或．
所以三角形是等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形．
【名师指导】
1．判定三角形形状的2种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
题型3 三角形的面积问题
【例3-1】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）和的面积．
条件①：，；
条件②：，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【分析】选择条件①（Ⅰ）由余弦定理求出，再结合，即可求出的值，
（Ⅱ）由正弦定理可得，再根据三角形的面积公式即可求出，
选择条件②（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得，再结合，即可求出的值，
（Ⅱ）由两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可求出．
【解答】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得，即，
，
，
，
即，
联立，解得，，
故．
（Ⅱ）在中，，
，
由正弦定理可得，
，
．
选择条件②（Ⅰ）在中，，，，
，，
，，
由正弦定理可得，
，
，
，，
故；
（Ⅱ）在中，，
，
【例3-2】在中，内角，，所对的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值．
【分析】（1）利用余弦定理将条件转化为变得关系即可求出的余弦值．
（2）由余弦定理得到，结合基本不等式得到的范围，进而可得面积的最大值
【解答】解：（1）由余弦定理可得，
整理得，
则；
（2）由余弦定理，即，
因为，所以，当且仅当时取“”
因为，则
则．
【跟踪训练3-1】中，角、、所对边分别为、、，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的面积．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由正弦定理即可求解．
（Ⅱ）由利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用余弦定理可求，的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）在中，角，，的对边分别为，，，
，
由正弦定理得：，
化简，得，
，，
，
．
（Ⅱ），，，
由余弦定理得：，解得，
解得，
．
【跟踪训练3-2】已知的外接圆半径为，，，分别是角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若是边上的中线，求的面积．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可求的值．
（2）由题意可得，两边平方可得：，利用平面向量数量积的运算可得：，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）由正弦定理，可得，，
由已知可得：，
，即，
由余弦定理可得，
，
．
（2）边上的中线，，
又，两边平方，可得：，
，整理可得：，解得，或（舍去），
．
【跟踪训练3-3】已知的内角，，所对的边分别为，，，，___且，
请从①，②，③这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时的面积．
【分析】依次代入条件①②③，均可求出，再利用正弦定理可求得，进而可求得，再利用面积公式求解即可．
【解答】解：情形一：若选择①，
由余弦定理，
因为，所以；
情形二：若选择②，则，
因为，所以，
因为，所以；
情形三：若选择③，则，
所以，
因为，所以，所以，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
【名师指导】
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．