2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第13讲函数模型及其应用（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第13讲函数模型及其应用（教师版），共10页。试卷主要包含了几种常见的函数模型等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．几种常见的函数模型
2.三种函数模型性质比较
题型归纳
题型1用函数图象刻画变化过程
【例1-1】某地区的绿化面积每年平均比上一年增长，经过年，绿化面积与原绿化面积之比为，则的图象大致为
A．B．
C．D．
【分析】求出函数的解析式，由指数函数的图象即可得解．
【解答】解：设原来为，则，
故选：．
【例1-2】两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天的关系如图所示，则一定有
A．比节能效果好
B．的用电量在，上的平均变化率比的用电量在，上的平均变化率大
C．两学校节能效果一样好
D．与自节能以来用电量总是一样大
【分析】根据条件判断两个学校的变化率的大小即可．
【解答】解：的变化率大，的变化率小，则比节能效果好，
故选：．
【跟踪训练1-1】在内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是
A．B．
C．D．
【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．
【解答】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除，，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除．
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是．
故选：．
【跟踪训练1-2】近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务．已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是
A．B．
C．D．
【分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．
【解答】解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，
图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，
所以函数的图象应一直下凹的．
故选：．
【名师指导】
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型2应用所给函数模型解决实际问题
【例2-1】基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【解答】解：把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．
故选：．
【例2-2】模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为
A．60B．63C．66D．69
【分析】根据所给材料的公式列出方程，解出即可．
【解答】解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得，
故选：．
【跟踪训练2-1】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为
A．B．0.3C．D．
【分析】设汶川地震所释放出的能量是，唐山地震所释放出的能量是，由已知列式结合对数的运算性质求得与的值，作比得答案．
【解答】解：设汶川地震所释放出的能量是，唐山地震所释放出的能量是，
则，，
，；
．
故选：．
【跟踪训练2-2】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数），若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保鲜时间是 ．
【分析】利用已知条件求出函数的解析式，然后代入求解即可．
【解答】解：食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数），若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，
可得：，，解得，，
所以，
该食品在的保鲜时间：（小时）．
故答案为：6．
【名师指导】
求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
题型3构建函数模型解决实际问题
【例3-1】某公司生产某种产品，其年产量为万件时利润为万元，当时，年利润为，当时，年利润为．
（1）若公司生产量在且年利润不低于400万时，求生产量的范围；
（2）求公司年利润的最大值．
【分析】（1）令，解之即可；
（2）分段讨论出的最大值即可．
【解答】解：（1）当时，令，解得；
（2）当时，，
故此时在上单调递增，在上单调递减，
则此时最大值为；
当时，，则时，，
故此时在上单调递增，在上单调递减，
则此时最大值为，
综上公司年利润的最大值为480．
【例3-2】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2).
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【解析】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(01)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
单价/元
16
17
18
19
20
21
22
日销售量/盒
480
440
400
360
320
280
240