2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第04讲基本不等式（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第04讲基本不等式（教师版），共7页。试卷主要包含了算术平均数与几何平均数，利用基本不等式求最值问题等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)．
核心素养分析
理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
题型归纳
题型1利用基本不等式求最值
【例1-1】（1）已知，求的最大值；
（2）已知，是正实数，且，求的最小值．
【分析】（1）由题意可得，然后结合基本不等式即可求解；
（2）由题意可得，然后结合基本不等式可求．
【解答】解：（1）因为，则，
当且仅当即时取等号，此时取得最大值；
（2），是正实数，且，
则，
当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值．
【例1-2】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
【分析】利用消元法消元，再利用基本不等式.
【解答】 法一：(换元消元法)由已知得x＋3y＝9－xy，
因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2eq \r(3xy)，
所以3xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3y,2)))2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
法二：(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，
得x＝eq \f(9－3y,1＋y)，
所以x＋3y＝eq \f(9－3y,1＋y)＋3y＝eq \f(9－3y＋3y1＋y,1＋y)
＝eq \f(9＋3y2,1＋y)＝eq \f(31＋y2－61＋y＋12,1＋y)
＝3(1＋y)＋eq \f(12,1＋y)－6≥2 eq \r(31＋y·\f(12,1＋y))－6
＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6.
【例1-3】已知a>b>0，那么a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为________．
【解答】 由a>b>0，得a－b>0，
∴b(a－b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋a－b,2)))2＝eq \f(a2,4).
∴a2＋eq \f(1,ba－b)≥a2＋eq \f(4,a2)≥2 eq \r(a2·\f(4,a2))＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝eq \f(4,a2)，即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号．
∴a2＋eq \f(1,ba－b)的最小值为4.
【跟踪训练1-1】已知，则的最小值为 ．
【分析】由题意可得，，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因为，所以，
则，
当且仅当即时取等号，
故答案为：7．
【跟踪训练1-2】已知，，且，则的最小值是
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若，，且，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值是9；
故选：．
【名师指导】
1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
4.两次利用基本不等式求最值的注意点
当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
题型2利用基本不等式解决实际问题
【例2-1】小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设甲地到乙地的距离为，分析可得用、表示，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设甲地到乙地的距离为，
又由从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，则小王一共用了，
则，
又由，则，则，
又由，则有，
故选：．
【例2-2】某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲，乙哪个食堂的营业额较高
【分析】首先利用题意得出两个食堂的营业额为等差和等比数列，进一步利用不等式的关系式求出结果．
【解答】解：设甲乙两食堂1月份的营业额均为，甲乙两食堂9月份的营业额均为，
由题意可得，甲食堂的营业额构成等差数列，乙食堂的营业额构成等比数列，
则5月份甲食堂的营业额，
乙食堂的营业额，
因为，所以由基本不等式，
故本年5月份甲食堂的营业额较高．
故选：．
【跟踪训练2-1】近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周猪肉价格分别为元斤、元斤，家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤猪肉，家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉，试比较谁购买方式更实惠（两次平均价格低视为实惠） （在横线上填甲或乙即可）．
【分析】求出甲乙的平均单价，得出结论．
【解答】解：甲购买产品的平均单价为：，
乙购买产品的平均单价为：，
由算术平均数调和平均数，
故答案为：乙．又两次购买的单价不同，
，乙的购买方式的平均单价较小．
故答案为：乙．
【名师指导】
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
题型3基本不等式的综合应用
【例3-1】在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【分析】由已知结合向量共线定理可得，然后利用基本不等式可求．
【解答】解：因为为线段上的一点，且，
根据共线定理可知，，因为，，
所以，
则，
当且仅当且时取等号，
故选：．
【例3-2】已知直线过圆的圆心，则的最小值为
A．3B．C．6D．
【分析】直线过圆的圆心，可得．再利用“乘1法”及其基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：直线过圆的圆心，
，即．
则，当且仅当时成立．
故选：．
【例3-3】若，，则实数的取值范围为 ．
【分析】由已知不等式恒成立转化为求解最值，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为，则，当且仅当即时取等号，
因为，
所以，
故答案为：，
【跟踪训练3-1】已知向量，且向量与向量平行，则的最大值为
A．1B．2C．3D．4
【分析】先由向量平行的坐标表示可得，，然后结合基本不等式可求．
【解答】解：由题意可得，，
所以，当且仅当时取等号，
解可得，，
故的最大值为：2
故选：．
【跟踪训练3-2】已知函数，满足，均为正实数），则的最小值为
【分析】由已知可得，即可得到，再由基本不等式即可求解．
【解答】解：由，可得，
因为，，
所以，即有，
则，
当且仅当，时取等号，此时取得最大值，
故答案为：
【名师指导】
利用基本不等式解题的策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．