2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷七空间向量与立体几何

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷七空间向量与立体几何，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是( )
A.棱柱的各个侧面都是平行四边形
B.底面是矩形的四棱柱是长方体
C.有一个面为多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
D.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥
2.若圆锥的表面积是底面积的3倍,则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A.B.C.πD.
3.对于不同的直线m,n和平面α,β,α⊥β的一个充分条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂α
C.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β
4.
如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为D1C1的中点.过点B1,E,A的平面截该正方体所得的截面周长为( )
A.6+4B.4+2
C.5+3D.8+4
5.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图2所示.已知球的半径为R,酒杯内壁表面积为πR2,设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1,下部分(半球)的体积为V2,则=( )
A.2B.C.1D.
6.已知利用3D打印技术制作如图所示的模型.该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直径为10 cm,母线与底面所成角的正切值为.打印所用原料密度为1 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为( )(取π=3.14,精确到0.1)
A.609.4 gB.447.3 gC.398.3 gD.357.3 g
7.已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为( )
A.B.C.1D.
8.菱形ABCD的边长为2,现将△ACD沿对角线AC折起使平面ACD'⊥平面ACB,则此时所成空间四面体体积的最大值为( )
A.B.C.1D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.在正四面体A-BCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下面四个结论中正确的是( )
A.BC∥平面AGFB.EG⊥平面ABF
C.平面AEF⊥平面BCDD.平面ABF⊥平面BCD
10.
如图,已知圆锥的顶点为S,底面圆O的两条直径分别为AB和CD,且AB⊥CD,若平面SAD∩平面SBC=l,则以下结论正确的是( )
A.AD∥平面SBC
B.l∥AD
C.若E是底面圆周上的动点,则△SAE的最大面积等于△SAB的面积
D.l与平面SCD所成角的大小为45°
11.
如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱CC1的中点,F为棱AA1上的点,且满足A1F∶FA=1∶2,点F,B,E,G,H为过三点B,E,F的平面BMN与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的交点,则下列说法正确的是( )
A.HF∥BE
B.三棱锥B1-BMN的体积为6
C.直线MN与平面A1B1BA的夹角是45°
D.D1G∶GC1=1∶3
12.如图,点E为正方形ABCD边CD上异于点C,D的动点,将△ADE沿AE翻折成△SAE,在翻折过程中,下列说法正确的是( )
A.存在点E和某一翻折位置,使得SB⊥SE
B.存在点E和某一翻折位置,使得AE∥平面SBC
C.存在点E和某一翻折位置,使得直线SB与平面ABC所成的角为45°
D.存在点E和某一翻折位置,使得二面角S-AB-C的大小为60°
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半,且其轴截面的周长是18,则该圆柱的体积是 .
14.正四棱锥P-ABCD,底面边长为2,二面角P-AB-C为45°,则此四棱锥的体积为 .
15.
《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,CA=4,PA=2,D为AB中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.①当E在AC上时,AE= ;②点E的轨迹的长度为 .
16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
(10分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别是棱AA1,AB上的点,且AM=AN=1.
(1)证明:M,N,C,D1四点共面;
(2)求几何体AMN-DD1C的体积.
18.(12分)如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证:AD⊥BM;
(2)点E是线段DB上的一动点,当二面角E-AM-D大小为时,试确定点E的位置.
19.
(12分)如图,扇形AOB的圆心角为90°,半径为2,四边形SOBC为正方形,平面SOBC⊥平面AOB,过直线SC作平面SCMN交于点M,交OA于点N.
(1)求证:MN∥OB;
(2)求三棱锥S-MON体积的最大值.
20.
(12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,且AA1=AB=AC=2,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在线段A1B1上,且=λ.
(1)求证:不论λ取何值,总有AM⊥PN;
(2)当λ=1时,求平面PMN与平面ABC夹角的余弦值.
21.
(12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AC=AA1=1,M,N,P分别为A1C1,AB1,BB1的中点,且AP⊥MN.
(1)求证:MN∥平面B1BCC1;
(2)求∠BAC;
(3)求二面角A1-PN-M的余弦值.
22.
(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB⊥底面ABCD,E为PC上的点,且BE⊥平面APC.
(1)求证:平面PAD⊥平面PBC;
(2)当三棱锥P-ABC体积最大时,求二面角B-AC-P的余弦值.
参考答案
单元质检卷七 空间向量与立体几何
1.A 对于A,根据棱柱的性质可知,棱柱的各个侧面都是平行四边形,故A正确;
对于B,底面是矩形,若侧棱不垂直于底面,这时的四棱柱是斜四棱柱,不是长方体,只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体,故B错误;
对于C,有一个面为多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,只有其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体,才是棱锥,故C错误;
对于D,直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥,如果绕着它的斜边旋转一周,形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥,故D错误.故选A.
2.C 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图扇形的圆心角为θ,
根据条件得πrl+πr2=3πr2,即l=2r,
根据扇形面积公式得=πrl,
即θ==π,故选C.
3.C A选项中,根据m⊥n,m∥α,n∥β,得到α⊥β或α∥β,所以A错误;
B选项中,m⊥n,α∩β=m,n⊂α,不一定得到α⊥β,所以B错误;
C选项中,因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β,
又m⊂α,从而得到α⊥β,所以C正确;
D选项中,根据m∥n,m⊥α,所以n⊥α,而n⊥β,所以得到α∥β,所以D错误.故选C.
4.A 如图,取DD1的中点F,连接AF,EF,
显然EF∥AB1,则四边形AB1EF为所求的截面.
因为D1E=C1E=2,所以B1E==2,AB1==4,EF==2,AF==2,所以截面的周长为6+4
5.A 设酒杯上部分(圆柱)的高为h,球的半径为R,则酒杯下部分(半球)的表面积为2πR2,酒杯内壁表面积为R2,得圆柱侧面积为R2-2πR2=R2,酒杯上部分(圆柱)的表面积为2πR×h=R2,解得h=R,酒杯下部分(半球)的体积V2=R3=R3,酒杯上部分(圆柱)的体积V1=πR2R=R3,所以=2.故选A.
6.C 如图是几何体的轴截面,因为圆锥底面直径为10cm,所以半径为OB=5cm.
因为母线与底面所成角的正切值为tanB=,所以圆锥的高为PO=10cm.
设正方体的棱长为a,DE=a,则,解得a=5.
所以该模型的体积为V=10-53=-125(cm3).
所以制作该模型所需原料的质量为-125×1=-125≈398.3(g).
7.C 设等边三角形ABC的边长为a,球O的半径为R,△ABC的外接圆的半径为r,则S△ABC=a2=,S球O=4πR2=16π,解得a=3,R=2.故r=a=设O到平面ABC的距离为d,则d2+r2=R2,故d==1.
故选C.
8.
A 设AC的中点为O,因为D'C=D'A,所以D'O⊥AC.又因为平面ACD'⊥平面ACB,平面ACD'∩平面ACB=AC,所以D'O⊥平面ABC,设∠ABC=∠ADC=α,α∈(0,π),在△ACD中,DO=ADcs=2cs,由题意可知D'O=DO=2cs,S△ABC=2×2sinα=2sinα,VD'-ABC=S△ABC×D'O=sinαcssincs2sin1-sin20