2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷五平面向量复数

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷五平面向量复数，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设=(-3,3),=(-5,-1),则等于( )
A.(-2,4)B.(1,2)
C.(4,-1)D.(-1,-2)
2.已知i为虚数单位,则i+i2+i3+…+i2 019等于( )
A.0B.1C.-1D.-i
3.设复数z满足iz=7-i-|3-4i|,则复数z的共轭复数=( )
A.-1-2iB.-1+2iC.1-2iD.1+2i
4.设非零向量a,b满足(a-2b)⊥a,则“|a|=|b|”是“a与b的夹角为”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.在复平面内,复数z=,则复数z的共轭复数对应的点所在象限为( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
6.已知向量=(2,3),=(3,t),且的夹角不大于,则t的取值范围为( )
A.,+∞B.,+∞
C.D.,+∞
7.在△ABC中,=0,=2,||=λ||,若=9,则实数λ=( )
A.B.
C.D.
8.若平面向量a,b,e满足|a|=2,|b|=3,|e|=1,且a·b-e·(a+b)+1=0,则|a-b|的最小值是( )
A.1B.
C.D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知复数z=,则以下说法正确的是( )
A.复数z的虚部为
B.|z|=
C.z的共轭复数
D.在复平面内与z对应的点在第二象限
10.(2020辽宁大连第二十四中学高三模拟)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是( )
A.|a+b|=1
B.a⊥b
C.(4a+b)⊥b
D.a·b=-1
11.欧拉公式eix=cs x+isin x(i为虚数单位,x∈R)是由瑞土著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数之间的关系,根据此公式可知,下面结论中正确的是( )
A.eπi+1=0
B.|eix|=1
C.cs x=
D.e12i在复平面内对应的点位于第二象限
12.已知△ABC的面积为3,在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足+2=0,=2,记△APQ的面积为S,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.>0
D.S=4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图像表示法,形成由各点都对应复数的“复平面”,后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样“代数化”.若复数z满足(3+4i)·z=7+i,则z对应的点位于第 象限.
14.已知向量a=(m,1),b=(4,m),向量a在b上的投影的数量的绝对值为,则m= .
15.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=3,D,E与M,N分别是AB,AC的三等分点,且=-1,则tan A= ,= .
16.在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点.若BE⊥AD,垂足为E,则的值为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
18.(12分)如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.
(1)试用向量a,b来表示;
(2)AM交DN于点O,求的值.
19.(12分)已知向量a=(cs x,sin x),b=(cs x,-sin x),x∈0,.
(1)求|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.
20.(12分)已知向量a=(2+sin x,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k)(x∈R,k∈R).
(1)若x∈-,且a∥(b+c),求x的值.
(2)若函数f(x)=a·b,求f(x)的最小值.
(3)是否存在实数k,使得(a+d)⊥(b+c)?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.(12分)如图,扇形OAB所在圆的半径为2,它所对的圆心角为,C为弧AB的中点,动点P,Q分别在线段OA,OB上运动,且总有OP=BQ,设=a,=b.
(1)若,用a,b表示;
(2)求的取值范围.
22.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足.
(1)求的值.
(2)已知A(1,cs x),B(1+cs x,cs x),x∈0,,f(x)=-2m+||.若f(x)的最小值为g(m),求g(m)的最大值.
参考答案
单元质检卷五 平面向量、复数
1.D 因为=(-3,3),=(-5,-1),所以=(-2,-4),所以=(-1,-2),故选D.
2.C i+i2+i3+…+i2019==i2=-1.故选C.
3.B 由题可知z==-1-2i,故其共轭复数为-1+2i.故选B.
4.C (a-2b)⊥a,则(a-2b)·a=0,即a2-2a·b=0,即|a|2-2|a||b|cs=0,若|a|=|b|,则cs=,即a与b的夹角为,充分性满足;若a与b的夹角为,则|a|2-|a||b|=0,因为|a|≠0,所以|a|=|b|,必要性满足.所以“|a|=|b|”是“a与b的夹角为的充要条件.故选C.
5.C 由题意z==-1+2i,则=-1-2i,所以所对应点的坐标为(-1,-2),在第三象限.故选C.
6.B 由题意得||=,||=||=()=3t-7.设的夹角为θ,则csθ=,
∵0,∴0≤csθ≤1,即01,
解得t,即t的取值范围为,+∞.故选B.
7.D 由=0,知O为△ABC的重心,所以)=).又因为=2,
所以所以9=3()·()
=-2+3,所以2=3,λ=故选D.
8.B 由题意得|a+b-e|==2
又因为|a+b|-|e|≤|a+b-e|≤|a+b|+|e|,所以2-1≤|a+b|≤2+1,
当a+b与e同向时,|a+b|=2+1,当a+b与e反向时,|a+b|=2-1.
又因为|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=26,
所以|a-b|min=,故选B.
9.BD 复数z==-i,则复数z的虚部为,故A错误;|z|=,故B正确;
z的共轭复数=-,故C错误;在复平面内与z对应的点-在第二象限,故D正确.故选BD.
10.CD 分析知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°.a·b=1×2×cs120°=-1≠0,故B错误,D正确;
因为(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=1-2+4=3,所以|a+b|=,故A错误;
因为(4a+b)·b=4a·b+b2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥b,故C正确.故选CD.
11.AB eπi+1=csπ+isinπ+1=0,故A正确;|eix|=|csx+isinx|=1,故B正确;csx=,故C错误;依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(csx,sinx),故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cs12,sin12),显然该点位于第四象限,故D错误.故选AB.
12.
BD 由+2=0,=2,可知P为AC的三等分点,Q为AB延长线上的点,且B为AQ的中点,如图所示.
对于A,因为P为AC的三等分点,B为AQ的中点,
所以PB与CQ不平行,故A错误;
对于B,)=,故B正确;对于C,=||||csπ=-||||