2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练47抛物线

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练47抛物线，共9页。试卷主要包含了已知A为抛物线C，已知抛物线C，已知直线y=k与抛物线C，过抛物线C，已知点M和抛物线C等内容，欢迎下载使用。

1.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2B.3C.6D.9
2.若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=( )
A.2B.4C.±2D.±4
3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p=( )
A.2B.3C.4D.8
4.
位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. mB. mC. mD. m
5.(多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是( )
A.p=2B.F为AD的中点
C.|BD|=2|BF|D.|BF|=2
6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )
A.B.C.D.
7.以抛物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A,B两点,交抛物线C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则抛物线C的焦点到准线的距离为 .
8.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l的直线与抛物线C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则直线l的斜率为 .
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在准线l上的射影为A,且直线AF的斜率为-,则△AMF的面积为 .
10.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .
综合提升组
11.已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=( )
A.6B.8C.10D.12
12.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=( )
A.4B.8C.16D.
13.已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在点A,B处的切线的交点为N.
(1)若点N在以AB为直径的圆上,求p的值;
(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.
14.
如图,已知椭圆C1:+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).
(1)若p=,求抛物线C2的焦点坐标;
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.
创新应用组
15.
(多选)如图,已知椭圆C1:+y2=1,过抛物线C2:x2=4y的焦点F的直线交抛物线C2于M,N两点,连接NO,MO并延长,分别交椭圆C1于点A,B,连接AB,△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN,S△OAB,则下列说法正确的为( )
A.若直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则k1k2为定值-
B.S△OAB为定值1
C.|OA|2+|OB|2为定值5
D.设λ=,则λ≥2
16.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线C上,且|MF|=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点P(x0,y0)为抛物线C上任意一点,过该点的切线为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.
参考答案
课时规范练47 抛物线
1.C 解析设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.故选C.
2.C ∵x2=ay,∴p==1,∴a=±2.故选C.
3.D ∵y2=2px的焦点坐标为,0,椭圆=1的焦点坐标为(±,0),∴3p-p=,解得p=8.故选D.
4.D 建立平面直角坐标系如图所示.
设抛物线的解析式为x2=-2py,p>0,
因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为m.故选D.
5.
ABC 如图,点F,0,直线l的斜率为,则直线l的方程为y=x-.
由得12x2-20px+3p2=0,解得xA=p,xB=p.
由|AF|=p+=2p=4,得p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.又xB=p=,所以|BF|=+1=,
所以|BD|=,
所以|BD|=2|BF|.
因为|BD|+|BF|==4=|AF|,所以F为AD的中点.故选ABC.
6.D 设抛物线C:y2=8x的准线为l,则直线l的方程为x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0).
如图,分别过点A,B作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,所以B为线段AP的中点.连接OB,则|OB|=|FA|,所以|OB|=|FB|,所以点B的横坐标为1.
因为k>0,点B在抛物线C上,所以点B的坐标为(1,2).
所以k=故选D.
7.4 依题意,不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0).由|AB|=4,|DE|=2,可取A,2,D-.设O为坐标原点,由|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.
8 设抛物线C的准线为m,分别过点A,N,B作AA'⊥m,NN'⊥m,BB'⊥m,垂足分别为A',N',B'(图略).
因为直线l过抛物线C的焦点F,所以|BB'|=|BF|,|AA'|=|AF|.又N为线段AB的中点,|MN|=|AB|,所以|NN'|=(|BB'|+|AA'|)=(|BF|+|AF|)=|AB|=|MN|,所以∠MNN'=60°,所以直线MN的倾斜角为120°.
又MN⊥l,所以直线l的倾斜角为30°,所以直线l的斜率为
9.4 设准线l与x轴交于点N,
则|FN|=2.
∵直线AF的斜率为-,
∴∠AFN=60°,
∴∠MAF=60°,|AF|=4.
由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,
∴△AMF是边长为4的等边三角形.
∴S△AMF=42=4
10.2 (方法1)由题意知抛物线C的焦点坐标为(1,0),则过抛物线C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k≠0).
由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.所以y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.由∠AMB=90°,得=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,即1++1+(-4)-+1=0,解得k=2.
(方法2)设抛物线的焦点为F,点A(x1,y1),B(x2,y2),则所以=4(x1-x2),所以k=取AB的中点N(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足分别为A',B',又∠AMB=90°,点M在准线x=-1上,所以|MN|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA'|+|BB'|).又N为AB的中点,所以MN平行于x轴,所以y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.
11.B 由已知得抛物线C:y2=6x的焦点坐标为,0,准线方程为x=-
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
因为|AF|=3|BF|,所以x1+=3x2+,|y1|=3|y2|.
所以x1=3x2+3,x1=9x2,
所以x1=,x2=
所以|AB|=x1++x2+=8.故选B.
12.C 设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,
因为=|AB|-1,
所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cs∠AFB=
=
,
当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.
所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.
不妨设此时直线AD的方程为y=x+1,由消去y,得x2-4x-4=0,所以x1+x3=4,
所以y1+y3=(x1+x3)+2=14.
所以|AD|=16.故选C.
13.解设直线AB:y=kx+1,点A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,
则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.
(1)由x2=2py得y'=,则抛物线C在点A,B处的切线斜率的乘积为=-
因为点N在以AB为直径的圆上,所以AN⊥BN,所以-=-1,解得p=2.
(2)由题意得直线AN:y-y1=(x-x1),直线BN:y-y2=(x-x2),
由
解得即点N(pk,-1).
因为|AB|=|x2-x1|=
=,
点N到直线AB的距离d=,所以△ABN的面积S△ABN=|AB|·d=2,当k=0时取等号.
因为△ABN的面积的最小值为4,
所以2=4,解得p=2.
故抛物线C的方程为x2=4y.
14.解(1)由p=,得C2的焦点坐标是
(2)由题意可设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0),点A(x0,y0).
将直线l的方程代入椭圆C1:+y2=1,得
(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,
所以点M的纵坐标yM=-
将直线l的方程代入抛物线C2:y2=2px,得
y2-2pmy-2pt=0,
所以y0yM=-2pt,
解得y0=,
因此x0=
由=1,得
=4+2160,所以当且仅当m=,t=时取等号,p取到最大值
15.ABCD 由已知得点F(0,1),直线MN的斜率一定存在.
设直线MN的方程为y=kx+1,点M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去y,得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,
所以k1k2==-故A正确.
设直线OA的方程为y=mx(m>0),则直线OB的方程为y=-x.由得x2=,由题图知点A在第三象限,则点A-,-,同理点B-,即点B-,所以点A到直线OB的距离
d=
=,
|OB|=
=,
所以S△OAB=|OB|·d==1.故B正确.
因为|OA|2=,|OB|2=,
所以|OA|2+|OB|2==5.故C正确.
由得x(x-4m)=0,解得x=0或x=4m,故点N(4m,4m2),所以|ON|=4m同理点M-,所以点M到直线OA的距离h=
所以S△OMN=|ON|·h=2m+2,当且仅当2m=,即m=时,等号成立.
又S△OAB=1,所以λ==S△OMN≥2.故D正确.故选ABCD.
16.(1)解由抛物线的定义,可知|MF|=m+=2.①
又点M(2,m)在抛物线C上,所以2pm=4.②
由①②解得p=2,m=1.
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)证明①当x0=0,即点P为原点时,显然符合;
②当x0≠0,即点P不在原点时,
由(1)得x2=4y,即y=,则y'=x,所以抛物线C在点P处的切线l0的斜率为x0,所以抛物线C在点P处的切线l0的方程为y-y0=x0(x-x0).
又=4y0,所以y-y0=x0(x-x0)可化为y=x0x-y0.
过点F(0,1)且与切线l0垂直的直线方程为y-1=-x.
由
消去x,得y=-(y-1)-y0.
因为=4y0,
所以y=-yy0,即(y0+1)y=0.由y0>0,可知y=0,即垂足必在x轴上.
综上所述,过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.