2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练44椭圆及几何性质

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练44椭圆及几何性质，共6页。试卷主要包含了已知椭圆C，设F1,F2为椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且过点(0,-6)的椭圆方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
2.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12,则椭圆的短轴长为( )
A.8B.6C.5D.4
3.已知P是椭圆上一点,F是椭圆的一个焦点,则以线段PF为直径的圆和以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是( )
A.相离B.内切C.内含D.相交
4.已知F1,F2为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.0,B.0,C.0,D.
5.
(多选)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,下列式子中正确的是( )
A.a1+c1=a2+c2B.a1-c1=a2-c2
C.c1a2>a1c2D.
6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),点F关于直线y=bx的对称点Q在椭圆C上,则离心率e= ,S△FOQ= .
综合提升组
7.已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.+y2=1B.=1
C.=1D.=1
8.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
9.已知F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,P为椭圆上异于顶点的任意一点,K为△F1PF2内切圆的圆心,过点F1作F1M⊥PK于点M,O为坐标原点,则|OM|的取值范围为 .
10.设F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 .
创新应用组
11.已知椭圆E:=1(a>b>0),F1,F2为其左、右焦点,B1,B2为其上、下顶点,四边形F1B1F2B2的面积为2,P为椭圆E上任意一点,以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.
(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值,并确定此时椭圆E的方程.
(2)对于(1)中确定的椭圆E,若给定圆F1:(x+1)2+y2=3,则圆P和圆F1的公共弦MN的长是否为定值?若是,求|MN|的值;若不是,请说明理由.
参考答案
课时规范练44 椭圆及几何性质
1.B 由题意,椭圆焦点坐标为(0,-4),(0,4),可得椭圆的焦点在y轴,且c=4,
又由过点(0,-6),则a=6,所以b2=a2-c2=62-42=20,所以椭圆的标准方程为=1.故选B.
2.A 椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,则a=6,c=2,
所以b==4,则椭圆短轴长为2b=8.故选A.
3.B 不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),F,F'分别是椭圆的左右焦点,作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2+y2=a2,如图所示.
设PF中点为M,连接PF',∴OM是△PFF'的中位线,∴|OM|=|PF'|,即两圆的圆心距为|PF'|,根据椭圆定义,可得|PF|+|PF'|=2a,∴圆心距|OM|=|PF'|=(2a-|PF|)=a-|PF|,即两圆的圆心距等于它们半径之差,∴以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是内切.故选B.
4.C 由椭圆定义可知|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,
则sin∠OBF1==e,所以cs∠F1BF2=1-2sin2∠OBF1=1-2e2,
因为,
即(1-2e2)a2≥c2,(1-2e2)≥e2,
即e2所以05.BC 由题图可知a1>a2,c1>c2,
∴a1+c1>a2+c2,∴A不正确;
∵a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,
∴a1-c1=a2-c2,B正确;
由a1+c2=a2+c1,可得(a1+c2)2=(a2+c1)2,+2a1c2=+2a2c1,
即+2a1c2=+2a2c1,
∵b1>b2,∴a2c1>a1c2,C正确;
可得,D不正确.故选BC.
6 设点Q(x,y),则由点Q与椭圆的右焦点F(1,0)关于直线y=bx对称得解得代入椭圆C的方程得=1,结合a2=b2+1解得则椭圆的离心率e=,S△FOQ=|OF|1
7.
B 如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,
则|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.
由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,
得解得
∴|AF1|=a,|AF2|=a.
∴点A为(0,-b)=b.
过点B作x轴的垂线,垂足为点P.
由题意可知△OAF2∽△PBF2.
又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.
∴|F2P|=
又=b,
∴|BP|=b.∴点B
把点B坐标代入椭圆方程=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.
所以椭圆方程为=1.
8.B 由题意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|·|PF1|cs∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·cs∠PF1F2,即|PF2|=2c,
所以a==c+c,又60°<∠PF1F2<120°,所以-9.(0,) 如图,延长PF2,F1M相交于点N,
∵K是△F1PF2内切圆的圆心,
∴PK平分∠F1PF2,
∵F1M⊥PK,
∴|PN|=|PF1|,M为F1N中点,
∵O为F1F2中点,M为F1N中点,
∴|OM|=|F2N|=||PN|-|PF2||=||PF1|-|PF2||<|F1F2|=c=,∴|OM|的取值范围为(0,).
10.(3,) ∵a2=36,b2=20,
∴c2=a2-b2=16,∴c=4.
由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.
∵|MF1|+|MF2|=2a=12,
∴|MF2|=4.
设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则|F1F2|×y0=4y0.又4=4,
∴4y0=4,
解得y0=又点M在椭圆C上,
=1,
解得x0=3或x0=-3(舍去).
∴点M的坐标为(3,).
11.解(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc,所以2bc=2.
因为|A1A2|=2a=22=2,当且仅当b=c=1时,等号成立,此时a=,
所以长轴A1A2的长的最小值为2,此时椭圆E的方程为+y2=1.
(2)是定值.设点P(x0,y0),则=1,所以=1-
圆P的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=,即x2+y2-2x0x-2y0y=0,①
圆F1的方程为(x+1)2+y2=3,即x2+y2+2x-2=0,②
①-②得公共弦MN所在直线的方程为(x0+1)x+y0y-1=0,所以点F1到公共弦MN所在直线的距离
d=
=
=,
则|MN|=2=2,所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.