2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练52随机事件与概率古典概型

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1.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为( )
A.B.C.D.
2.(多选)抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A,B,C,D判断正确的有( )
A.A与B是互斥事件但不是对立事件
B.A与C是互斥事件也是对立事件
C.A与D是互斥事件
D.C与D不是对立事件也不是互斥事件
3.(多选)掷两枚硬币,若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P1,P2,P3,则下列判断中,正确的是( )
A.P1=P2=P3B.P1+P2=P3
C.P1+P2+P3=1D.2P1=2P2=P3
4.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5.将一枚质地均匀的骰子投掷两次,得到的点数依次记为a和b,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是( )
A.B.C.D.
6.算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上一颗上珠,则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠,再在这4个档中随机选择两个档位各拨一颗下珠,则所拨数字大于200的概率为( )
A.B.C.D.
7.小明需要从甲城市编号为1~14的14个工厂或乙城市编号为15~32的18个工厂中选择一个去实习,设“小明在甲城市实习”为事件A,“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B,则P(A+B)= .
8.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .
9.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .
10.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1)求该地某车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率;
(2)求该地某车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
11.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
综合提升组
12.若A,B为对立事件,其概率分别为P(A)=,P(B)=,则x+y的最小值为( )
A.10B.9C.8D.6
13.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“≡”,26可表示为“=⊥”,现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用这6根算筹表示的两位数能被3整除的概率是( )
A.B.C.D.
14.(多选)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为
15.已知实数a,b均属于{-2,-1,1},直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率为 .
16.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.
现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是 ,他属于不超过2个小组的概率是 .
17.下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).
(1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只写出结论,不要求证明)
(2)求此人到达当日空气质量优良的概率;
(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.
创新应用组
18.对于数列{xn},若x1≤x2≤x3≤…≤xn,则称数列{xn}为“广义递增数列”,若x1≥x2≥x3≥…≥xn,则称数列{xn}为“广义递减数列”,否则称数列{xn}为“摆动数列”.已知数列{an}共4项,且ai={1,2,3,4}(i=1,2,3,4),则数列{an}是摆动数列的概率为 .
参考答案
课时规范练52 随机事件与
概率、古典概型
1.A 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件,所以甲不输的概率为
2.ABD 抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,在选项A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故选项A正确;在选项B中,A与C是互斥事件也是对立事件,故选项B正确;在选项C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故选项C错误;在选项D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故选项D正确.故选ABD.
3.BCD 掷两枚硬币,出现“两个正面”的概率为P1=;出现“两个反面”的概率为P2=;出现“一正一反”的概率为P3=故A错,BCD正确.
4.D 由题意可知0,y>0),
∴(x+y)=4++1≥5+2=9,当且仅当x=2y=6时取等号.故选B.
13.D 1根算筹只能表示1,2根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9,因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77,共16个,其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除,所以所求概率为
14.ABC 对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人包含的样本点有(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),共3个,其中,甲被选中的情况有2个,故甲被选中的概率为,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.所有样本点包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7),共4个,而能构成三角形的只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式知,所求的概率是,故D错误.
15 设事件A:直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点,则可知1,即b2≤a2+1,已知实数a,b均属于{-2,-1,1},用(a,b)表示可能的结果,则b2≤a2+1包含的样本点是(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),共7个,样本空间中共有3×3=9个样本点,所以P(A)=,故直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率为
16 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为P=不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是P=1-
17.解 (1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
(2)设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=⌀(i≠j,j=1,2,…,13).设B为事件“此人到达当日空气质量优良”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=
(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A,
即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150,小于300”,由题意可知P(A)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=
18 根据题意可知,ai∈{1,2,3,4}(i=1,2,3,4),则这四个数字组成的数列有以下四类:
(1)由单个数字组成:共有4个数列;
(2)由2个数字组成:则共有=6种数字搭配,每种数字搭配又分为两种情况:由1个数字和3个相同数字组成4个数的数列(如1222,2111等),则有4=8个数列;分别由2个相同数字组成的4个数的数列(如1122等)共有6个数列,因而此种情况共有(8+6)=84种;
(3)由3个数字组成:共有=4种数字搭配(如1123等),相同数字有3种可能,则共有4×3×12=144个数列;
(4)由4个数字组成:共有=4×3×2×1=24个数列.因而组成数列的个数为4+84+144+24=256个数列.其中,符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分别为:
①由单个数字组成:4个数列均符合“广义递增数列”或“广义递减数列”,因而有4个数列;
②由2个数字组成:满足“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为(2+2+2)=36个;
③由3个数字组成:2=24个;
④由4个数字组成:则有2个数列符合“广义递增数列”或“广义递减数列”.综上可知,符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为66个.所以“摆动数列”的个数为256-66=190(个),因而数列{an}是摆动数列的概率为电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
空气质量指数
污染程度
小于100
优良
大于100且小于150
轻度
大于150且小于200
中度
大于200且小于300
重度
大于300且小于500
严重
大于500
爆表