2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练49二项式定理与杨辉三角

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练49二项式定理与杨辉三角，共4页。试卷主要包含了的展开式中的第3项为，的展开式中x-2的系数是，对于二项式,以下判断正确的有，7的展开式中x12y2的系数为， 的展开式中的常数项为等内容，欢迎下载使用。

1.的展开式中的第3项为( )
A.3x4B.C.x2D.x2
2.的展开式中x-2的系数是( )
A.15B.-15C.10D.-10
3.若的展开式中x2的系数为,则x5的系数为( )
A.B.C.D.
4.已知(1+ax)·(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )
A.-4B.-3C.-2D.-1
5.若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )
A.3B.4C.5D.6
6.(多选)对于二项式(n∈N*),以下判断正确的有( )
A.存在n∈N*,展开式中有常数项
B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项
C.对任意n∈N*,展开式中没有含x的项
D.存在n∈N*,展开式中有含x的项
7.(x2+3y-y2)7的展开式中x12y2的系数为( )
A.7B.-7
C.42D.-42
8.设的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-17N=480,则其展开式中含x3的项的系数为( )
A.40B.30C.20D.15
9. (x2+x+1)的展开式中的常数项为( )
A.40B.80C.120D.140
10. x2+6的展开式中常数项是 .
综合提升组
11.若的展开式中二项式系数和为256,则二项展开式中有理项系数之和为( )
A.85B.84C.57D.56
12.(多选)已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15的项的系数为45
13.已知(1+λx)n的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,(1+λx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=242,则a0-a1+a2-…+(-1)nan的值为( )
A.1B.-1
C.81D.-81
14.设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡b(md m).若a=·2+·22+…+·220,a≡b(md 10),则b的值可以是( )
A.2 018B.2 019
C.2 020D.2 021
15.(多选)若(1-2x)2 009=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 009x2 009,则( )
A.a0=1
B.a1+a3+a5+…+a2 009=
C.a0+a2+a4+…+a2 008=
D.+…+=-1
创新应用组
16. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如下图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为 .
17.若(2-x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a16(1+x)16+a17(1+x)17,则a0+a1+a2+…+a16= ;a1+2a2+3a3+…+16a16= .
参考答案
课时规范练49 二项式定理
与杨辉三角
1.C ∵(a+b)n的展开式的通项为Tk+1=an-k·bk,的展开式中的第3项是T3=T2+1=x6-2x2.
2.D 的展开式的通项Tk+1=(-1)k=(-1)kxk-5,当k=3时,T4=-x-2=-10x-2,即x-2的系数为-10.
3.C 由已知得Tk+1=a8-k,令8-=2,解得k=4,所以a4=,解得a=±令8-=5,得k=2,故x5的系数为a6=
4.D 由题意知,+a=5,解得a=-1,故选D.
5.C 由题意的展开式的通项为Tk+1=x6n-kk=,令6n-k=0,得n=k,当k=4 时,n取到最小值5.故选C.
6.AD 设(n∈N*)的展开式的通项为Tk+1,则Tk+1=x4k-n,不妨令n=4,则当k=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则当k=1时,展开式中有含x的项,故C错误,D正确.
7.B 将(x2+3y-y2)7看作7个因式相乘,要得到x12y2项,需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故x12y2的系数为(-1)=-7.
8.D 由4n-17×2n=480,得n=5.Tk+1=(3x)5-k·()k=35-k,令5-=3,得k=4.故其展开式中含x3的项的系数为3=15,故选D.
9.B 的展开式的通项为Tk+1=x6-k=(-2)kx6-2k,则(x2+x+1)的展开式中的常数项为(-2)3+(-2)4=-160+240=80.
10.240 ∵x2+6的通项为Tk+1=(x2)6-kx12-3k2k,∴当且仅当12-3k=0,即k=4时,Tk+1为常数项,即T5=24=240.
11.A 的展开式中二项式系数和为256,故2n=256,n=8.Tk+1=x-k=,展开式为有理项,则k=2,5,8,则二项展开式中有理项系数之和为=85.
12.BCD 由二项展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为1024=512,故A错误;由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;若展开式中存在常数项,由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=0,解得k=8,故C正确;由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=15,解得k=2,所以展开式中含x15的项的系数为=45,故D正确.
13.B 因为(1+λx)n的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得n=5.令x=0,故可得1=a0.又因为a1+a2+…+a5=242,令x=1,则(1+λ)5=a0+a1+a2+…+a5=243,解得λ=2.令x=-1,则(1-2)5=a0-a1+a2-…+(-1)5a5=-1.
14.D a=2+22+…+220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余数为1.又因为a≡b(md10),所以b的值可以是2021.
15.ACD 由题意,当x=0时,a0=12009=1,故A正确;当x=1时,a0+a1+a2+a3+…+a2009=(-1)2009=-1,当x=-1时,a0-a1+a2-a3+…-a2009=32009,所以a1+a3+a5+…+a2009=-,a0+a2+a4+…+a2008=,故B错误,C正确;+…+=a1+a2×2+…+a2009×2009,当x=时,0=a0+a1+a2×2+…+a2009×2009,所以a1+a2×2+…+a2009×2009=-a0=-1,故D正确.故选ACD.
16 由题意第10行的数就是(a+b)10的展开式中各项的二项式系数,因此从左至右第5与第6个数的比值为
17.217+1 17×(1-216) 由题意,可化为(2-x)17=[3-(1+x)]17,由T18==-(1+x)17,可得a17=-1,令1+x=1,即x=0,可得a0+a1+a2+…+a16+a17=217,所以a0+a1+a2+…+a16=217-a17=217+1.
令g(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a16(1+x)16+a17(1+x)17=(2-x)17,则g'(x)=a1+2a2(1+x)+…+16a16(1+x)15+17a17(1+x)16=-17×(2-x)16,则g'(0)=a1+2a2+…+16a16+17a17=-17×216,又因为17a17=-17,所以a1+2a2+3a3+…+16a16=-17×216+17=17×(1-216).