2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练31数列求和

这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练31数列求和，共10页。

1.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( )
A.0B.100C.-100D.10 200
2.在数列{an}中,若an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前12项和等于( )
A.76B.78C.80D.82
3.(多选)公差为d的等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30,则下面结论正确的有( )
A.d=2
B.an=2n+1
C.
D.的前n项和为
4.(多选)数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则( )
A.an=
B.数列的前100项和为
C.数列的前100项和为
D.数列{an}的第100项为50 050
5.已知Tn为数列的前n项和,若m>T10+1 013恒成立,则整数m的最小值为( )
A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023
6.若f(x)+f(1-x)=4,an=f(0)+f+…+f+f(1)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .
7.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,an+1+SnSn+1=0,则Sn= ,数列{SnSn+1}的前n项和Tn为 .
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S5=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足a4+b4=9,且公比为q,从①q=2;②q=;③q=-1这三个条件中任选一个作为题目的已知条件,求数列{an-bn}的前n项和Tn.
9.已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为10,且a1,a2,a4是等比数列{bn}的前3项.
(1)求an,bn;
(2)设cn=bn+,求{cn}的前n项和Sn.
10.已知等比数列{an}满足a1,a2,a3-a1成等差数列,且a1a3=a4.等差数列{bn}的前n项和Sn=.
(1)求an,bn;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
综合提升组
11.数列{an}满足a1=1,且对任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,则+…+=( )
A.B.
C.D.
12.(多选)已知曲线C:y2=2x+a在点Pn(n,)(a>0,n∈N)处的切线ln的斜率为kn,直线ln交x轴、y轴分别于点An(xn,0),Bn(0,yn),且|x0|=|y0|.以下结论中,正确的结论有( )
A.a=1
B.当n∈N+时,yn的最小值为
C.当n∈N+时,kn>sin
D.当n∈N+时,记数列{kn}的前n项和为Sn,则Sn<-1)
13.各项均为正数的数列{an}满足a1=1,a2=(n∈N*),那么a1·a3+a2·a4+a3·a5+…+an·an+2= .
14.已知在数列{an}中,a1=,其前n项和Sn满足-anSn+an=0(n≥2),则a2= ,S2 019= .
15.已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
创新应用组
16.(多选)已知函数f(x)=(x2+a)的图像在点Pn(n,f(n))(n∈N*)处的切线ln的斜率为kn,直线ln交x轴,y轴分别于点An(xn,0),Bn(0,yn),且y1=-1.以下结论中,正确的结论有( )
A.a=-1
B.记函数g(n)=xn(n∈N*),则函数g(n)先减后增,且最小值为1
C.当n∈N*时,yn+kn+D.当n∈N*时,记数列的前n项和为Sn,则Sn<
17.在①b1+b3=a2;②a4=b4;③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由.
问题:设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是等比数列, ,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得Sk><
参考答案
课时规范练31 数列求和
1.B 由题意,得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100.故选B.
2.B 由已知an+1+(-1)nan=2n-1,
得(-1)nan+1+an=(-1)n(2n-1),①
an+2+(-1)n+1an+1=2n+1,②
①+②得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1).当n取奇数时,an+2+an=2,当n取偶数时,an+2+an=4n.
取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=3×2+8+24+40=78.故选B.
3.ABD ∵{an}是等差数列,∴a6+a8=2a7=30,
∴a7=15,∴a7-a2=5d,又a2=5,则d=2,故A正确;
∴an=a2+(n-2)d=2n+1,故B正确;
,故C错误;
∴的前n项和为1-++…+=1-=,故D正确.故选ABD.
4.AB 因为an+1=an+n+1,所以an+1-an=n+1.又因为a1=1,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=,数列{an}的第100项为5050,故A正确,D错误;所以=2,所以数列的前100项和为21-++…+=21-=,故B正确,C错误.故选AB.
5.C =1+n,∴Tn=n+1-,∴T10+1013=11-+1013=1024-又m>T10+1013恒成立,∴整数m的最小值为1024.
6.an=2(n+1) 由f(x)+f(1-x)=4,可得f(0)+f(1)=4,…,f+f=4,所以2an=[f(0)+f(1)]+f+f+…+f+f+[f(1)+f(0)]=4(n+1),即an=2(n+1).
7 ∵an+1=Sn+1-Sn,an+1+SnSn+1=0,∴Sn+1-Sn+SnSn+1=0,
=1.
又=1,∴是以1为首项,1为公差的等差数列,
=n,∴Sn=SnSn+1=,∴Tn=1-++…+=1-
8.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,又因为Sn=na1+d,
且a1=2,所以S5=10+10d=20,故d=1,
所以an=n+1;
(2)由(1)可知,a4=5,又a4+b4=9,所以b4=4.
若选择条件①q=2,可得b1=,
Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)
=-2n-1+;
若选择条件②q=,可得b1==32,
Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)
=-26-n-64;
若选择条件③q=-1,可得b1==-4,
Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)
=+2[1-(-1)n].
9.解 (1)设数列{an}的公差为d,
由题意知a1+a2+a3+a4=4a1+d=4a1+6d=10.①
又因为a1,a2,a4成等比数列,
所以=a1·a4,
即=a1·(a1+3d),
化简得d2=a1d,
又因为d≠0,
所以a1=d.②
由①②得a1=1,d=1,
所以an=n.
b1=a1=1,b2=a2=2,q==2,
所以bn=2n-1.
(2)由(1)及cn=bn+可得,
cn=2n-1+=2n-1+,
所以Sn=20+21+…+2n-1+1-+…+
=+1-=2n-,
所以数列{cn}的前n项和Sn=2n-
10.解 (1)设{an}的公比为q,{bn}的公差为d.
因为a1,a2,a3-a1成等差数列,
所以2a2=a1+(a3-a1),即2a2=a3.
因为a2≠0,所以q==2.
因为a1a3=a4,所以a1==q=2.
因此an=a1qn-1=2n.
由题意,Sn=所以b1=S1=1,
b1+b2=S2=3,从而b2=2.
所以{bn}的公差d=b2-b1=2-1=1.
所以bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)·1=n.
(2)令cn=anbn,则cn=n·2n.
因此Tn=c1+c2+…+cn-1+cn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n.
又因为2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
两式相减得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2.
所以Tn=(n-1)·2n+1+2.
11.D 因为a1=1,且对任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,令m=1,
则有an+1=an+n+1,即an+1-an=n+1,用累加法可得an=a1+,
所以=2,
所以+…+
=21-++…+=2×1-=
12.ABD 由y2=2x+a,当x>0时,y=,y'=,
则kn=,切线方程为y-(x-n),
令x=0,则y=,令y=0,则x=n-(2n+a)=-n-a,
即有xn=-n-a,yn=,
由于|x0|=|y0|,则|a|=,解得a=1,故A正确;
由于yn=,令=t(t),
则yn=在t上递增,则有t=取得最小值,且为,故B正确;
当n∈N+时,kn=,令u=0设y=sinu-u,则y'=csu-1.
由于00,y在0即有y>0,即有kn当n∈N+时,记数列{kn}的前n项和为Sn,kn=,
由于(当且仅当a=b时取等号),则a+b,则有,
则有),则Sn=+…+[(-1)+()+…+()]=-1),故D正确.
131- 由(n∈N*),可得=anan+2,
∴数列{an}为等比数列.
∵a1=1,a2=,∴q=,∴an=,∴an·an+2=,∴a1·a3=,
∴a1·a3+a2·a4+a3·a5+…+an·an+2=+…+1-.
14.- 由题意,知-anSn+an=0(n≥2),令n=2,
则-a2S2+a2=0,即-a2a2++a2=0,
化简得a2+=0,所以a2=-因为-anSn+an=0(n≥2),an=Sn-Sn-1(n≥2),
所以SnSn-1+Sn-Sn-1=0(n≥2),
整理得=1(n≥2),又因为=2,
所以是一个以2为首项,1为公差的等差数列,所以=n+1,所以Sn=,所以S2019=
15.解 (1)设{an}的公比为q.
由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.
解得q=(舍去),q=2.
因为a1q2=8,所以a1=2.
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,bm=n.
所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
16.ACD 由f(x)=(x2+a),得f'(x)=x,则f'(n)=n,即kn=n,
∴曲线在点Pn(n,f(n))处的切线ln的切线方程为y-(n2+a)=n(x-n),直线ln与y轴交于点Bn(0,yn),
则yn=(n2+a)-n2且y1=-1,解得a=-1,故A正确.
直线ln与x轴交于An(xn,0),
∴0-(n2+a)=n(xn-n).
整理得g(n)=xn=,则x'n=,令x'n==0,解得n=1(负值舍去).
当n>1时,x'n>0,∴函数g(n)为增函数,
当n=1时,函数取最小值,且最小值为1.∴函数g(n)是单调递增的,且最小值为1,故B不正确.
在ln中,令x=0,得yn=-n2+(n2-1)=-(n2+1),
∴yn+kn+=-n2+n,
当n=1时,y1+k1+=ln当n≥2时,yn+kn+=-n2+n≤0,而ln(1+kn)=ln(1+n)>ln1=0,故C正确.
,
∴Sn<+…+.当n=1时,S1=1<
当n>1时,,∴Sn<1+++…+=2-=,故D正确.故选ACD.
17.解 根据题意,∵b2=3,b5=-81,{bn}是等比数列,
∴b1=-1,q=-3,
∴bn=-(-3,
∵b1=a5,∴a5=-1.
若存在k,使得Sk>Sk+1,即Sk>Sk+ak+1,
则ak+1<0;同理,若使Sk+10.
若选①b1+b3=a2,则a2=-10,a5=-1,∴d=3,a1=-13,
∴ak=3k-16,ak+1=3k-13,ak+2=3k-10,要使Sk+1只要∴存在k=4符合题意.
若选②a4=b4,则a5=-1,a4=b4=27,∴数列{an}为递减数列,故不存在k使ak+1<0,且ak+2>0.
若选③S5=-25,则a5=-1,∴d=2,a1=-9,∴ak=2k-11,ak+1=2k-9,ak+2=2k-7,
同理求得∴存在k=4符合题意.