2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练13数学建模__函数模型及其应用

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1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0A.100台B.120台
C.150台D.180台
3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为( )
A.3 000元B.3 300元
C.3 500元D.4 000元
4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=t2米,那么,此人( )
A.可在7秒内追上汽车
B.可在9秒内追上汽车
C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米
D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米
5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0A.15B.16C.17D.18
6.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤 次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
7.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
8.
某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);
(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.
综合提升组
9.
如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(010.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2020年B.2021年
C.2022年D.2023年
11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为 ,y的最大值为 .
12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).
(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?
(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);
(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.
创新应用组
13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).
(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?
参考答案
课时规范练13 数学建模——
函数模型及其应用
1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L,故乙车消耗1L汽油的行驶路程可大于5km,所以选项A错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B错误;甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L,故行驶1小时的路程为80km,消耗8L汽油,所以选项C错误;当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D正确.
2.C 设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(03.B 由题意,设利润为y元,租金定为(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤502=204800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3000+300=3300(元)时,公司获得最大利润,故选B.
4.D 已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D.
5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t万元,分流x人后,每年创造的产值为(100-x)[1+(1.2x)%]t,
则
解得0因为x∈N*,所以x的最大值为16,故选B.
6.8 设至少过滤n次才能达到市场要求,则2%1-n≤0.1%,即n,
所以nlg-1-lg2,解得n≥7.39,所以n=8.
7.16 当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,所以e-8b=,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.
8.解 (1)根据所给的曲线,可设y=当t=1时,由y=4,得k=4,由1-a=4,得a=3.则y=
(2)由y≥0.25,得解得t≤5.
因此服药一次后治疗有效的时间为5-(h).
9.B 设AD的长为xm,则CD的长为(16-x)m,则矩形ABCD的面积为x(16-x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内,所以a≤x≤12.当010.C 若2019年是第1年,则第n年全年投入的科研经费为1300×1.12n万元,由1300×1.12n>2000,可得lg1.3+nlg1.12>lg2,所以n×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元,故选C.
11.y= 2 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=2t×2t=2t2;
当1≤t≤2时,重叠部分为直角三角形ABC,重叠部分面积y=2×2=2(cm2);
当2综上,y=
故可得y的最大值为2.
12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.
(2)对于f(x)=x(x-q)2+p,由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,又q>1,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5).
(3)因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5),所以f'(x)=3x2-12x+9,
令f'(x)<0,得1所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌.
13.解 (1)当声强为10-6W/m2时,由公式Y=10lg,得Y=10lg=10lg106=60(分贝).
(2)当Y=0时,由公式Y=10lg,得10lg=0.
所以=1,即I=10-12W/m2,则最低声强为10-12W/m2.
(3)当声强为5×10-7W/m2时,声强级为Y=10lg=10lg(5×105)=50+10lg5(分贝),
因为50+10lg5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.